一道高考模擬題的多視角探究

張志剛

[摘? ?要]文章對一道三角最值問題進行多視角討論，以引導學生深刻剖析題設條件，敏銳捕捉解題靈感，觸發思維萌芽，多方位搭建解題思路，從而培育學生獨立性、批判性、發散性等創造性思維品質.

[關鍵詞]高考;模擬題;解法探索

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0034-02

波利亞說：“掌握數學就意味著善于解題.”羅增儒教授說：“解題是數學工作者數學活動的基本形式和主要內容，解題是數學工作者的一個存在目的，解題是數學工作者的一個興奮中心.”解題的重要性不言而喻.下面筆者通過對一道三角最值問題的多視角討論，引導學生深刻剖析題設條件，敏銳捕捉解題靈感，觸發思維萌芽，多方位搭建解題思路，從而培育學生獨立性、批判性、發散性等創造性思維品質，啟發學生學會解題、善于解題，積累實戰經驗.

一、試題呈現

2019年河南安陽市一模試題：

[9sin2α+1cos2α]的最小值是（）.

A. 18 B. 16 C. 8 D. 6

二、解法探索

本題設計簡潔清新，構思別具匠心，難度適中，解題角度寬廣，富含數學思想，凝聚命題專家的智慧.解答時可充分挖掘問題與隱含條件的關系，既可轉化為一般函數最值的常規解法，又可充分利用三角函數的性質（如有界性），靈活多變，耐人尋味.

視角1：常數代換

解法1：“1”的代換.挖掘隱含條件“[sin2α+cos2α=1]”，進行“1”的代換，再用基本不等式求得最值.

[9sin2α+1cos2α=9sin2α+1cos2αsin2α+cos2α][=9cos2αsin2α+sin2αcos2α+10 ][≥29cos2αsin2α?sin2αcos2α+10=16]，當[9cos2αsin2α=sin2αcos2α]即[α=±π3+kπk∈Z]時取等號.故選B.

解法2：三角函數的定義法.設[f（α）=9sin2α+1cos2α]，易求得[f（α）]的定義域是[αα≠kπ2， k∈Z].設[α]的終邊與單位圓的交點是[P（x， y）（xy≠0）]，則[x2+y2=1].

[f（α）=9sin2α+1cos2α=9y2+1x2 ][=9y2+1x2x2+y2 ][=9x2y2+y2x2+10≥29x2y2 · y2x2+10=16]，當且僅當[9x2y2=y2x2]即[x=±12]，[y=±32]時取等號.

點評：追本溯源，回歸三角函數的定義：將關于[sin α與cos α]的最值問題轉化為實數[x]、[y]的最值問題，達到簡化計算的目的.

解法3：直接代換.令[a=sin2α]，[b=cos2α]，則[a+b=1（a>0， b>0）]，

[9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+1b（a+b） ][=9ba+ab+10][ ≥29ba·ab+10=16]，當[9ba=ab]即[a=34]，[b=14]時取等號.

點評：上述3種解法均是利用二維形式的基本不等式求解，解題過程中一定要注意三個條件“一正”“二定”“三相等”是否同時成立，尤其是驗證“=”能否成立，如果“=”不能成立，就不能用基本不等式求解，而需改用其他方法，如單調性法.

解法4：柯西不等式法.

[9sin2α+1cos2α=3sin α2+1cos α2sin2α+cos2α][≥3sin αsin α+1cos αcos α2=16]，

當[3sin αcos α=1cos αsin α]即[α=±π3+kπk∈Z] 時取等號.

視角2：變元代換

令[a=sin2α]，[b=cos2α]，則[a+b=1（a>0， b>0）]，

[9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+11-a=9-8aa（1-a）].

解法5：函數單調性法.令[t=9-8a]，由[a∈（0，1）]得[t∈（0，1）]，[設? f（t）=9sin2α+1cos2α=9-8aa（1-a）=64t-t2+10t-9] [=64-t+9t+10]，[f（t）]在（1，3）上遞減，在（3，9）上遞增，故[f（t）min=f（3）=16].

解法6：導數法.[設 f（a）=9sin2α+1cos2α=9-8aa（1-a）]，[a∈（0，1）]， [f′（a）=（-4a+3）（2a-3）a2（1-a）2]，[a∈（0，1）]，

當[a∈0，34]時，[ f′（t）<0]，[ f（t）]單調遞減;

當[a∈34，1]時，[ f′（t）>0]，[ f（t）]單調遞增;

[f（a）min=f34=16].

點評：解法5、解法6都是通過消元，將二元函數轉化為[a]的單元函數，不同之處是：解法5是利用函數單調性求最值，解法6是借助導數判定單調性進而求得最值.

解法7：消元法.[9sin2α+1cos2α=9sin2α+11-sin2α=9-8sin2α-sin4α+sin2α]，令[t=9-8sin2α]，[t∈（0， 9）]，

[設? f（t）=9sin2α+1cos2α=9-8aa（1-a）=64 t-t2+10 t-9]，下同解法5.

解法8：消元法.[9sin2α+1cos2α=91-cos 2α2+11+cos 2α2=4（4cos 2α+5）1-cos22α]，令[t=4cos 2α+5]，由[cos 2α∈（-1，1）]得[t∈（1， 9）]，[設 f（t）=9sin2α+1cos2α=4t1-t-542=64t-t2+10t-9]，下同解法3.

點評：解法7、解法8都是直接從三角恒等變換入手，將解析式化為[sin α]或[cos 2α]的函數，沒有進行“[a=sin2α]，[b=cos2α]”的代換，解法殊途同歸，但運算量稍大，對學生計算能力和恒等變化有一定要求.同時在解法5、解法7、解法8中均遇到了“[一次二次]”型分式函數值域（最值）問題，處理方法均是對一次式實施換元.

視角3：判別式法

利用這種方法解題的關鍵是構造關于某個變量的二次方程，通過判別式大于等于零求得參數的最值.

解法9：判別式反解法.本題中由[sin2α∈（0，1）]得[9sin2α>9，1cos2α>1]，從而[9sin2α+1cos2α>10]，排除C、D項;

令[a=sin2α]，[b=cos2α]，則[a+b=1（a>0， b>0）]，

[9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+11-a=9-8aa（1-a）=m]，

則變形為關于[a]的方程[ma2-（m+8）a+9=0]，則該方程有解，當[m=0]時，[a=98?（0，1）]，不合題意.

當[m≠0]時，[Δ=-（m+8）2-4m×9≥0]，解得[m≤4]或[m≥16]，

又由上知[9sin2α+1cos2α>10]，故[m≥16]，即[9sin2α+1cos2α]的最小值是16，選B.

視角4：間接法

解法10：間接排除法.上同解法9排除C、D項;令[9sin2α+1cos2α=16]（※），即[9sin2α+11-sin2α=16]，解得[sin2α=34]，即[α=±π3+kπ（k∈Z）]時取等號.故方程（※）有解，故選B.

點評：解法9、解法10是間接法，首先利用弦函數的有界性排除部分選項，至于A、B選項的甄選可轉為方程的根的問題.

三、教學反思

上述單調性、基本不等式、導數、判別式法、換元法等均為解決值域（最值）問題的常見解法.尤其是對于雙變量最值問題，基本不等式是個強有力的工具.利用的難點在于充分利用定值條件，對式子進行恒等變形（如“1”的代換、拆分、重組、系數配湊等），使之可用基本不等式的形式.

反之，如果教師囿于狹隘的解題觀，就題論題，過分強調“固定題型固定解法”，則容易導致學生思維定式，導致解答失敗.

對于諸多高考真題和模擬題，教師可充分發揮其意境高深悠遠、再生能力強、探究空間大的優勢，在完成基礎的解答后，指導學生立足于問題的本質，多角度地對題目進行“二次開發”，啟迪學生運用開放性、創新性的思維方式應對問題情境，綜合運用各種方法，提出新視角、新觀點、新設想，創新性地解決生活實踐或學習探索情境中的各種問題，為數學核心素養的落地提供支撐.

（責任編輯 黃春香）