《特征值與特征向量》教學實錄及反思

郭建峰

[摘? ?要]通過《特征值與特征向量》教學的研究及反思，得到幾點啟示：創(chuàng)設合理的問題情境是課堂教學的基礎，重視數(shù)學概念的建構是課堂教學的核心，恰當?shù)厥褂媒虒W媒體是課堂教學的保障.

[關鍵詞]特征值;特征向量;教學實錄;反思

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0027-02

[教材分析]《特征值與特征向量》是蘇教版高中數(shù)學選修4-2《矩陣與變換》的內(nèi)容.利用二階矩陣[M]的特征值、特征向量給出[Mnα]簡單的表示，了解它的幾何意義，知道它的簡單應用，并為下一節(jié)中種群問題的研究做好鋪墊.

[學情分析]學生已掌握伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變等初等變換及其對應的初等變換矩陣;知道矩陣乘法的幾何意義即是平面變換的復合.當連續(xù)對向量實施[n（n>1， n∈N?）]次變換時，能通過矩陣對向量的多次乘法得到變換后的向量或通過幾何直觀得到初等變換矩陣對向量多次變換所得向量.

[教學目標]

（1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義;

（2）會求二階矩陣的特征值與特征向量;

（3）利用二階矩陣[M]的特征值、特征向量給出[Mnα]簡單的表示.

[教學重點]特征值、特征向量的概念及其應用.

[教學難點]特征值、特征向量的概念.

[教學過程]

一、概念教學

情境： 已知[M=10012]，[β=17]，試計算[Mβ]，[M2β]，[M3β].

學生很快得到以下答案：

[Mβ=122117=159]，[M2β=1221159=3339]，[M3β=12213339=111105].

師：你能計算出[M50β]嗎？

設計意圖：連續(xù)對向量實施[n（n>1， n∈N?）]次變換，當次數(shù)較少時上述方法可以求出變換后的變量，當次數(shù)較多時上述方法就不易操作.從而說明本節(jié)內(nèi)容學習的必要性.

已知[M=10012]，[α=24]，[β=10]，[γ=03]，試計算[Mα]，[Mβ]，[Mγ]，并觀察這三個向量與向量[α]，[β]，[γ]的關系.

生： 其中[Mβ=β]，[Mγ=12γ]，存在部分向量[α]，使得[Mα=λα].即變換后的向量與原向量共線.

設計意圖：通過初等變換矩陣對一些特殊向量作用后得到的向量與原向量共線，從而引出特征值與特征向量，讓特征值與特征向量概念的建構顯得自然而不生硬.

師：你能再舉幾個具有這種特征的向量并加以驗證嗎？

生：[M20=20]，[M30=30]，[M-120=-120]…

[M03=1203]，[M04=1204]，[M0-2=120-2]…

師：存在[α]，使得[Mα=1?α];存在[β]，使得[Mβ=12?β].我們將[12，1]稱為矩陣M的特征值，對應的向量稱為特征向量.

1.特征值與特征向量的定義

設A 是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)[λ]，存在一個非零向量[α]，使得[Aα=λ?α]，那么[λ]稱為A的一個特征值，而[α]稱為A的屬于特征值[λ]的一個特征向量.

師：你們覺得特征值與特征向量的概念有哪些注意點呢？

在學生充分討論的基礎上，師生共同總結出特征值與特征向量這一概念的幾個注意點：

（1）特征向量為非零向量;

（2）屬于特征值[λ]的特征向量不唯一，若向量[α]是A的屬于特征值[λ]的特征向量，則[tα（t≠0）]也是屬于特征值[λ]的特征向量.

練習1：矩陣[A=100-1]的特征向量是什么？怎樣從幾何直觀的角度加以解釋？

[TA：xy→x'y'=x-y]，[A10=10]，∴[λ1=1]，[α1=10]，[A01=0-1]，∴[λ2=-1]，[α2=0-1] .

師：初等變換矩陣可以從幾何直觀角度求出特征值與特征向量.非初等變換矩陣，如情境中的矩陣M如何求出其特征值與特征向量呢？

設[λ]是二階矩陣[A=abcd]的一個特征值，它的一個特征向量為[α=xy]，則[Axy=λxy]，

即[ax+by=λx ，cx+dy=λy ，] 所以[（λ-a）x-by=0 ，-cx+（λ-d）y=0.]

[D=λ-a-b-cλ-d]，[Dx=0-b0λ-d=0]，[Dy=λ-a0-c0=0].

上述方程即[D?x=Dx=0D?y=Dy=0]，由于特征向量[α]為非零向量，所以[x，y]不全為零，若要上述方程組有不全為零的解，則必須[D=λ-a-b-cλ-d=0].

2.特征多項式的定義

設[A=abcd]是一個二階矩陣，[λ∈R]，

我們把行列式[f（λ）=λ-a-b-cλ-d=λ2-（a+d）λ+ad-bc]稱為矩陣A的特征多項式.

其中方程[f（λ）=0]的根為矩陣A的特征值（最多兩個），將[λ]的值代入二元一次方程組可得特征向量.

二、應用概念

[例1]求出矩陣[A=100-1]的特征值與特征向量.

設計意圖：呼應練習，通過初等變換矩陣總結出一般矩陣特征值與特征向量的求法：[f（λ）=λ-a-b-cλ-d];解方程組[f（λ）=0]得特征值;將[λ]的值代入方程組的特征向量.

練習2：求矩陣[M=10012]的特征值與特征向量，并思考如何計算[M2013]的值.

解答：特征值[λ1=1]，[λ2=12]，對應的特征向量分別為[α1=10]，[α2=01].

[Mα1=λ1α1]，[M2α1=M（λ1α1）=λ1（λ1α1）=λ12α1]，[M3α1=M（λ21α1）=λ1（λ21α1）=λ31α1]…[M20α1=λ120α1=12010];同理，[M20α2=λ220α2=122001].

師：向量[13]并不是特征向量，該如何處理？能否用特征向量線性表示？

[13=1?10+3?01=α1+3α2]，

所以[M2013=M20（α1+3α2）=M20α1+3（M20α2）=λ120α1+3λ220α2=…]

師：從幾何直觀看，對向量[13]連續(xù)實施20次TM后，橫坐標依然不變，縱坐標變?yōu)閇3220]，幾乎“壓扁”為零了.

設計意圖：再次從初等變換矩陣入手研究對任意向量連續(xù)實施多次變換的幾何意義以及具體的求法，這樣可以自然過渡到問題情境中所提出來的問題.

[例2]已知矩陣[M=10012]，[β=17]，試計算[M50β]的值.

設計意圖：幫助學生進一步理解求[M50β]可以轉(zhuǎn)化為對[M]的特征向量實施多次變換，回應了問題情境.

三、回顧總結

（1） 概念：特征值與特征向量.

（2） 求法：特征值與特征向量的求法;[M50β]的求法.

（3） 思想：由特殊到一般.

四、教后反思

1.創(chuàng)設合理的問題情境是課堂教學的基礎

本節(jié)課通過一個小練習導入新課，讓學生輕松解決的同時，提出一個原有方法不易操作的問題，創(chuàng)設了恰當合理的問題情境，讓學生學習新知的同時，感受到無比輕松.

2.重視數(shù)學概念的建構是課堂教學的核心

本節(jié)課上，特征值與特征向量的概念不是教師講解的，而是在教師引導下，學生從已學知識出發(fā)，通過觀察、操作、比較、類比等思維活動，逐步建構而得到. 這樣不僅使學生對概念有深刻的理解，還讓學生充分體驗到解決問題的過程及思想方法，學生的主體地位得到充分體現(xiàn).

3.恰當?shù)厥褂媒虒W媒體是課堂教學的保障

新課程理念強調(diào)，現(xiàn)代教育技術在課堂教學中的合理應用.本節(jié)課通過交互式電子白板與課堂教學的有機整合，為課堂教學內(nèi)容的呈現(xiàn)及教學活動的開展帶來了全新的變化，充分調(diào)動了學生的學習積極性.

（責任編輯 黃桂堅）