“思意數學”概念課教學模式構建與實踐

林偉 羅朝舉 陳崢嶸

[摘? ?要]“思意數學”以問題引路，以“思”為魂，以“意”為核，旨在 “融思之規律、意之方法、思意于一體”.文章通過探索數學概念課教學方式，構建“思意數學”概念課教學模式，從而有效提高數學教學質量.

[關鍵詞]思意數學;概念課;教學模式

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0017-05

“思意數學”概念課通過各種教學形式、手段，對研究對象的本質屬性進行揭示和概括，引導學生理解研究對象的共同屬性，進一步認識和理解概念的內涵與外延.

一、“思意數學”概念課教學模式

概念課的教學模式，是通過“問題情境，引入概念——激學導思，形成概念——引議釋疑，理解概念——點撥提高，深化概念——精講精練，應用概念——歸納自結，升華概念”六個環節來實現（如圖1所示）.

二、“思意數學”概念課教學實施

（一）問題情境，引入概念，開啟思維

教師根據課標和教材要求，為學生創設生動形象的教學情境，根據概念類型、設計概念引入.學生依據教師創設的問題，自主嘗試，感性體驗，激發動機，思考問題，開啟思維.

（二）激學導思，形成概念，交流思維

在這一環節中，當學生根據教師創設的問題情境，學生自主創新學習的過程，學生自主歸納、概括、抽象形成概念.在自主探索過程中遇到困難時，教師應適當啟發點撥和創造性地引導學生“探究”，鼓勵學生“質疑”.在學生自主學習、小組討論、集體交流的過程中，交流思維.

（三）引議釋疑，理解概念，提升思維

教師對抽象概念過程中出現差錯的學生，進行解惑和適度的評價.學生積極參與，雙向交流，自由發表意見，提升思維.

（四）點撥提高，深化概念，優化思維

教師通過辨析變式和等價變式，讓學生對概念進一步深化的理解.學生根據教師設計概念等價深化變式，積極調動原有知識，與新學概念進行比較、分析，逐步形成新的知識結構與知識系統，通過自主思考、小組討論等形式，對概念進行更深層次的認識和把握，優化思維.

（五）精講精練，應用概念，拓展思維

教師根據學習目標和學生交流中所反饋的信息，精心選編題目，讓學生在解答、變式、探索中，深化對概念的理解，促進認知結構的內化.

（六）歸納自結，升華概念，發展思維

師生對課堂教學內容及方法做適當的總結，對研究問題的方法進行回顧、反思，使學生對所學概念、方法的認識得以升華，建立新知識體系，從而全面實現教學目標，發展思維，形成能力.

三、“思意數學”概念課教學實踐

下面以《古典概型》為例進行實踐與探索.

（一）目標和目標解析

知識與技能目標：

1.理解基本事件的概念及其特點.

2.理解古典概型及其概率計算公式.

3.會用列舉法、樹狀圖、列表法計算一些隨機事件所包含的基本事件個數及事件發生的概率.

過程與方法目標：

觀察各個試驗，歸納總結出古典概型的概率計算公式，學習掌握列舉法、樹狀圖、列表法等數學方法，學會運用轉化與化歸思想、分類討論思想、數形結合思想、集合的思想解決概率的計算問題.

情感態度與價值觀目標：

通過小組合作探究，感受合作的重要性以及實事求是的科學態度.鼓勵學生通過觀察、類比，提高發現問題、分析問題、解決問題的能力，提高學生數學思維能力.

（二）教學過程

1.創設情境，引入概念，開啟思維

師：上節課我們學習了隨機事件及其概率，我們來看下面的問題.

問題1：在一個不透明的容器中裝有標號分別為1，2，3的三個黃色乒乓球和標號為4，5，6，7的四個白色乒乓球，現從中任取一個球，那么事件“取出的球是黃色”發生的概率是多少？

問題2：如何解決問題1？你的方法可行嗎？為什么？

設計意圖：用學生剛剛學過的隨機事件的概率知識來引入古典概型的教學，將內容放在學生思維的最近發展區，符合學生的認知特點.概念引入時的情境設計以學生熟悉的生活實例為背景，容易引起學生的興趣，激發學生的求知欲望，開啟學生思維，提高他們探究新知識的積極性.

師生活動：

生1：事件“取出的球是黃色”發生的概率是[47].

師：為什么？

生1：不清楚，我猜的.

師：我們學習數學知識不能僅靠猜測，還需要有嚴謹的推理論證過程.可否結合我們前面所學知識解決呢？

生2：根據前面所學的知識，我們需要用大量重復的隨機試驗，多次抽取、觀察并計算“取出的球是黃色”這個事件的頻率，再用事件發生的頻率的穩定值進行估計.

生3：這個方法可行，也很方便，但是工作量太大，不能保證試驗結果的穩定性.

師：我們有沒有更為簡便易行，工作量不大，結果準確，或者說試驗結果穩定的求概率的方法呢？

2.激學導思，形成概念，交流思維

問題3：擲一枚質地均勻的硬幣一次，會出現哪幾種結果？

問題4：擲一枚質地均勻的骰子一次，觀察向上的點數，會出現哪幾種結果？

問題5：從標號為[a， b， c， d]的四個球中任意取出兩個，會出現哪幾種結果？

設計意圖：從學生熟悉的實例入手研究，有助于學生建立新的知識體系.另外，對基本事件特點的準確把握，有利于學生進一步歸納古典概型的特點及利用古典概型求事件發生概率的步驟.

師生活動：

生1：擲一枚質地均勻的硬幣一次，會出現“正面朝上” “反面朝上”兩種結果.

生2：擲一枚質地均勻的骰子一次，觀察向上的點數，會出現“1點” “2點” “3點” “4點” “5點” “6點”六種結果.

生3：問題5可用樹狀圖（如圖2）來表示.

從標號為[a， b， c， d]的四個球中任意取出兩個，會出現[a， b]，[a， c]，[a， d]，[b， c]，[b， d]，[c， d]六種結果.

師：當結果比較多時，如何確定你的結果的準確性？

生4：可以采用樹狀圖、列表法、棋盤圖的形式.

師：回答得非常好.

師：在問題3的試驗中，結果只有兩個，即“正面朝上” “反面朝上”.它們都是隨機事件;在問題4的試驗中，所有可能的試驗結果只有6個，它們都是隨機事件;在問題5的試驗中，所有可能的試驗結果只有6個，它們也都是隨機事件.我們把這類隨機事件稱為基本事件.

基本事件有如下特點：

（1）任何兩個基本事件是互斥的;

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

3.引議釋疑，理解概念，提升思維

問題6：在擲骰子的試驗中，隨機事件 “2點”和“4點”能同時發生嗎？為什么？

問題7：在擲硬幣的試驗中，如何用基本事件表示必然事件？

問題8：在擲骰子的試驗中，隨機事件“出現偶數點”包含哪幾個基本事件？發生的概率是多少？為什么？

問題9：在從標號為[a， b， c， d]的四個球中任意取出兩個的試驗中，隨機事件“球[a]被取出”包含哪幾個基本事件？發生的概率是多少？為什么？

問題10：觀察對比，以上三個試驗的共同點是什么？

設計意圖：用一系列問題進行辨析，為學生解決疑難問題，進一步學習古典概型打下基礎.從問題的辨析和概念的逐步抽象過程中，引導學生正確理解基本事件的概念.

師生活動：

生1：根據基本事件的特點，任何兩個基本事件都是互斥的，所以在擲骰子的試驗中，隨機事件 “2點”和“4點”不可能同時發生.

生2：在擲硬幣的試驗中，必然事件由“正面朝上”和“反面朝上”兩個基本事件組成.

生3：在擲骰子的試驗中，隨機事件“出現偶數點”包含基本事件“2點”“4點” “6點”，發生的概率為[12]，是因為向上的點數為奇數和偶數的可能性相同，各占一半.

生4：在從標號為a，b，c，d的四個球中任意取出兩個的試驗中，隨機事件“球[a]被取出”包含3個基本事件，分別為[a， b]，[a， c]，[a， d]，發生的概率是[12]，因為球[a]被取出和不被取出可能性相同.

對于問題10，學生陷入沉默中.

師：大家可以結合前面學習的一些概率試驗，相互交流討論一下.

學生深入討論后回答.

生5：以上試驗中所有可能出現的基本事件的個數只有有限個;每個基本事件出現的可能性都相等.

師：回答得非常好，上述試驗的共同特點是：（1）試驗中所有可能出現的基本事件的個數只有有限個;（2）每個基本事件出現的可能性都相等.我們將具有這兩個特點的概率模型叫作古典概率模型，簡稱古典概型.

問題11：以下概率模型是否為古典概型？

（1）從集合[x∈R1

（2）擲一枚質地不均勻的骰子一次，觀察向上的點數.

設計意圖：問題11的設計是為了讓學生更加準確地理解與把握古典概型的兩個基本特征.對于突破教學難點，即如何判斷一個試驗是否為古典概型提供幫助.

師生活動：

生1：（1）不是古典概型，因為試驗中基本事件的個數是無限個.

生2：（2）不是古典概型，因為試驗中每個基本事件發生的可能性不相等.

師：古典概型有兩個特點，簡單地說是有限性和等可能性.

4.點撥提高，深化概念，優化思維

師：請同學們分組填寫表1，結合表格數據，嘗試歸納出古典概型的計算公式.

設計意圖：以表格形式給出思維發展的過程，使得學生在表格填寫過程中經歷從具體到抽象、從特殊到一般的抽象概括活動，思維得到鍛煉，能力得到提高.

師生活動：學生按學習小組，填表、討論歸納得出古典概型的概率計算公式，并總結求古典概型下隨機事件概率需要具備的條件.

生1：擲一枚質地均勻的硬幣一次的試驗中，基本事件有“正面向上”“反面向上”.基本事件總數為2，事件A包含的基本事件個數為1，事件A發生的概率為[12].

生2：擲一枚質地均勻的骰子一次的試驗中，基本事件有“1點” “2點” “3點” “4點” “5點” “6點”. 基本事件總數為6，事件A包含的基本事件個數為4，事件A發生的概率為[23].

生3：問題5的試驗中，基本事件有[a， b]，[a， c]，[a， d]，[b， c]，[b， d]，[c， d].基本事件總數為6，事件A包含的基本事件個數為3，事件A發生的概率為[12].

師：發現什么規律沒有？

生4：由上面的表格可以看出，對于古典概型，事件A發生的概率為：

[P（A）=A包含的基本事件的個數基本事件的總數].

師：對于古典概型，任何事件的概率都滿足上面的公式嗎？

生5：我們認為應該是.

師：好.我們可以看出求古典概型中事件發生概率的基本步驟有哪些？

生6：第一步，根據古典概型的兩個特點，判定試驗是否為古典概型;第二步，計算總的基本事件個數;第三步，計算事件A包含的基本事件個數;第四步，代入公式計算.

師：在使用古典概型的概率公式時，首先要判斷所用概率模型是不是古典概型.

5.精講訓練，應用概念，拓展思維

問題12（口答）：單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內容，他可以選擇唯一正確的答案.假設考生不會做，他隨機地選擇一個答案，問他答對的概率是多少？

問題13：假設他用所學知識排除了[C]答案，那么他答對的概率是多少？

問題14：假設有20道單選題，如果有一個考生答對了17道，他是隨機選擇的可能性大，還是他掌握了一定的知識的可能性大？

問題15：新課程改革背景下，數學科考試中出現了多項選擇題，這種題型不容易得滿分，為什么？

設計意圖：題目來源于學生最熟悉的考試中選擇題的得分問題，貼近學生生活實際，是學生愿意思考的問題.讓他們理解數學來源于生活，并且服務于生活.通過對問題及其變式的探討，使學生進一步理解古典概型的兩個特征.

師生活動：學生討論后回答，教師適當點評.

生1：問題12，他答對的概率為[14].

師：誰能用今天學習的古典概型的知識解釋一下？

生2：當這位考生在不會做的情況下，他隨機選擇四個答案（有限性）中任意一個是等可能的（等可能性），所以符合古典概型的兩個特點.基本事件的總數是4，事件“選對答案”包含的基本事件個數是1，所以事件“選對答案”的概率是[14].

師：回答得非常好.

生3：問題13，假設他用所學知識排除了C答案，那么他答對的概率是[13].解釋跟問題12類似.

師：由此看來，排除法也是我們解選擇題的一種方法.

生4：問題14，假設有20道單選題，如果有一個考生答對了17道，他掌握了一定的知識的可能性比較大.因為如果他隨機選擇，每一題答對的概率都是[14].20道題，他答對的題數可能是5道，但是他答對了17道，說明他掌握了一定知識的可能性比較大.

師：回答得非常棒！

生5：多項選擇題不容易得滿分.這類題目一般有A、B、C、D四個選項，所有可能的基本事件有[A， B]，[A， C]，[A， D]，[B， C]，[B， D]，[C， D]，[A， B， C]，[A， B， D]，[A， C， D]，[B， C， D]，[A， B， C， D]，共11個，而正確答案只有一個，得滿分的基本事件只有1個，得滿分的概率為[111]，所以說多項選擇題不容易得滿分.

師：分析得很到位.

[例1]同時擲兩枚質地均勻的骰子，計算向上的點數之和是5的概率是多少？

設計意圖：利用實例引導學生理解古典概型的兩個特點，進而把一些實際問題轉化為古典概型來計算概率，深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解.

師生活動：師生共同分析，利用剛剛學習的利用古典概型求概率的步驟來解決問題.教師引導學生利用樹狀圖、列表法，形象直觀地列出所有基本事件，做到不重不漏.學生自己解答，教師巡視.

師：我們可以根據利用古典概型求概率的步驟來解決這個問題，同學們嘗試把這道題目分解為三個小問題.

生1：可以分解為三個小問題：（1）同時擲兩枚質地均勻的骰子，觀察向上的點數這個試驗是不是古典概型？（2）基本事件總數是多少？（3）向上的點數之和是5這個事件包含的基本事件個數是多少？

師：好的，下面我們圍繞分解的這三個小問題進行分析討論.

生2：我認為這個試驗不是古典概型，因為雖然試驗滿足有限性，但是不滿足等可能性.

師：解釋一下你的結論.

生2：可以用樹狀圖來解釋.

共有21個基本事件，但是每一個基本事件出現的可能性是不同的，如1-1包含的基本事件只有一個，而1-2，2-1則有兩個.

師：你認為1-2和2-1是同一種結果.外表相同的骰子有沒有區別呢？

學生陷入疑惑中.

生3：我們組認為這個試驗是古典概型，可以用列表法來解釋.

把兩個骰子分別標記為1號骰子和2號骰子，因為試驗包含的基本事件有36個，滿足有限性，而且每個基本事件發生的可能性是相等的，都是[136].

師：從剛才兩個小組同學的回答，我們看到，用古典概型計算概率時，一定要先判斷所給試驗是否為古典概型.

解：擲一個骰子的結果有6種.我們把兩個骰子標上記號1，2以便區分，由于1號骰子的每一個結果都可與2號骰子的任意一個結果配對，組成同時擲兩個骰子的一個結果，因此同時擲兩個骰子的結果共有36種，向上的點數之和為5的結果（記為事件[A]）有4種.

由于所有36種結果是等可能的，因此，由古典概型的概率計算公式可得

[P（A）=436=19].

6.歸納自結，升華概念，形成能力

問題16：基本事件有什么特點？

問題17：古典概型有哪些特點？古典概型的概率計算公式是什么？

問題18：求古典概型中事件發生概率的基本步驟有哪些？

設計意圖：通過小結回顧，將學生在本節課學習的知識融入自身的知識系統中.

師生活動：師生共同歸納總結本節課所學知識.

生1：基本事件有兩個特點：（1）任何兩個基本事件是互斥的;（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

生2：古典概型有兩個特點：（1）試驗中所有可能出現的基本事件的個數只有有限個;（2）每個基本事件出現的可能性都相等.

古典概型的概率計算公式：

[P（A）=A包含的基本事件的個數基本事件的總數].

生3：求古典概型中事件發生概率的基本步驟：第一步，根據古典概型的兩個特點，判定試驗是否為古典概型;第二步，計算總的基本事件個數;第三步，計算事件[A]包含的基本事件個數;第四步，代入公式計算.

（三）目標檢測設計

1.課堂檢測

（1）假設儲蓄卡的密碼由6個數字組成，每個數字可以是0，1，2，…，9十個數字中的任意一個.假設一個人忘記了自己的儲蓄卡密碼的后四位，問他到自動取款機上隨機試一次就能取到錢的概率是多少？

（2）同時拋擲三枚均勻的硬幣，會出現幾種結果？求 “至多出現兩枚正面向上”的事件的概率.

設計意圖：讓學生進一步掌握古典概型及其概率公式，并能夠學以致用，加深對本節課的理解.

2.課后檢測

A，B，C，D 4名學生按照任意次序站成一排照相，試求事件“A，B都不在邊上”的概率.

設計意圖：在理解掌握古典概型及其概率公式的基礎上，學生能夠自行探索較為簡單的排列組合問題，列舉基本事件時做到考慮全面，不重不漏.

四、教學反思

本節課的教學以問題為主線，學生圍繞問題不斷思考、交流、概括、歸納，從而獲取新知識，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力.

（一）對教學內容反思

本節課是圍繞古典概型的概念、特征及其概率計算，會判斷那些隨機事件為古典概型的探索是教學重點，所以對于基本事件個數的復雜計算不做探討.為了讓學生能把握判斷的關鍵，從大量實例反復推敲、比較，螺旋式上升，穩扎穩打，落實重點.

（二）培養合情推理和合理應用的意識

關注古典概型知識的合情推理，即它是現實生活中普遍存在的一種概型，通過學生舉例，發現這種概率模型在我們身邊隨處可見，研究它有廣泛的意義.另外，公式只在古典概型下適用，問問學生這一點在哪里體現，回顧古典概型的兩個特點，完善知識體系，在邏輯上明確合理性.

（三）反思預設與生成

學生一直都有事做，思維一直保持活躍，熱情不能冷卻，這些都是預設的期望.在教學設計時，保證在學生思維的最近發展區提問和組織教學活動，為學生搭建思維的臺階.但是學生的思維是有區別的，如果教師搭建的臺階都一般高，那顯然不能夠因材施教，因此教師要有角度看問題和問問題.這就像面對一個多面體，角度不同，生成的也就不同.

（責任編輯 黃桂堅）