d-作用下保測(cè)系統(tǒng)的限制敏感性

張瑞豐， 朱曉凡

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

1948年，Shannon將統(tǒng)計(jì)物理中的概念引申到通道通信的過(guò)程中時(shí)提出了Shannon熵的概念，開創(chuàng)了“信息論”.隨后，1959年，Kolomogorov和Sinai借助Shannon信息論中的思想，引入了測(cè)度熵的概念，首次將熵與動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)合起來(lái).之后Adler，Konheim和McAndrew于1965年在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中用開覆蓋定義了連續(xù)映射的拓?fù)潇?1971年，Bowen利用分離集和張成集給出了拓?fù)潇氐牡葍r(jià)定義.

1971年，Ruelle[1]首次嚴(yán)格的給出了初值敏感依賴的定義，受到人們的廣泛關(guān)注.1986年，Devaney把初值敏感依賴作為定義動(dòng)力系統(tǒng)混沌的重要條件，給出了比Li-Yorke混沌更直觀的定義——Devaney混沌.熵和敏感性都是反映系統(tǒng)復(fù)雜程度的重要指標(biāo)，敏感性和熵之間的關(guān)系也一直是專家學(xué)者感興趣的研究方向.2005年Cadre和Jacob在文獻(xiàn)[2]給出了兩兩敏感的概念，并說(shuō)明弱混合蘊(yùn)含兩兩敏感，同時(shí)證明了正熵蘊(yùn)含兩兩敏感.之后，2012年，Domenico Aiello和Hansheng Diao[3]在其基礎(chǔ)上給出了限制敏感性和限制兩兩敏感的定義，并研究了限制敏感性、限制兩兩敏感性與測(cè)度熵之間的關(guān)系.

2 準(zhǔn)備知識(shí)

Λn={g=(g1，g2，…，gd)∈d∶|gi|

λn=#Λn，#Λn代表集合Λn中元素個(gè)數(shù).

定義1[6]設(shè)(X，B，μ)是一個(gè)概率空間，G為作用在空間上的d-作用，若對(duì)?g∈Λn和?B∈B，都有

g-1B∈B且μ(g-1B)=μ(B)，

則稱(X，B，μ，d)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng).

定義2[6]設(shè)(X，B，μ，d)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)，如果對(duì)任意?g∈Λn滿足g-1B=B的B∈B，必有μ(B)=0或μ(B)=1，那么稱系統(tǒng)(X，B，μ，d)是遍歷的.

定義3[6]設(shè)(X，B，μ)是一個(gè)概率空間，μ∈M(X)，G為作用在空間上的d-作用A={A1，A2，…，Ak}是一個(gè)有限可測(cè)剖分，定義剖分A測(cè)度熵為

進(jìn)一步定義G關(guān)于剖分A的測(cè)度熵為

定義G關(guān)于μ的測(cè)度熵為

hμ(G)=suphμ(G，A)，

這里A取遍X所有有限可測(cè)剖分.

定義4(X，B，μ，d)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)，ρ是X上與測(cè)度μ相容的度量.如果對(duì)μ-a.e.x∈X，存在δ>0，a>0，使得對(duì)所有ε>0，存在n∈，及存在g∈Λn有

μ{y∈Bε(x)∶ρ(gx，gy)>δ}>0，

則稱(X，B，μ，d)是限制敏感的.

定義5(X，B，μ，d)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)，ρ是X上與測(cè)度μ相容的度量.如果存在a>0，δ>0使得對(duì)μ×μ-a.e.(x，y)∈X×X，存在n∈，及存在g∈Λn使得

ρ(gx，gy)>δ，

則稱(X，B，μ，d)是限制兩兩敏感的.

稱δ為敏感性常數(shù)，a為漸進(jìn)率，根據(jù)定義，如果δ為敏感性常數(shù)，則任意δ′<δ也是敏感性常數(shù)；如果a為漸進(jìn)率，則任意a′>a也是漸進(jìn)率.

3 主要結(jié)果及證明

性質(zhì)1設(shè)(X，B，μ，d)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)，ρ是X上與測(cè)度μ相容的度量，且ρ是μ-正則的，如果(X，B，μ，d)是限制兩兩敏感的，則其也是限制敏感的.

證假設(shè)(X，B，μ，d)是有限制兩兩敏感常數(shù)δ和漸進(jìn)率a的限制兩兩敏感的，由定義可知對(duì)a.e.x∈X，a.e.y∈X，存在n∈，及?g∈Λn，使得ρ(gx，gy)>δ.

因?yàn)棣咽铅?正則的，對(duì)上述x，取c>0，使得

(1)

考慮對(duì)任意ε≤δ，εΜ=sup{ε′<ε∶μ(Bε′(x))<μ(Bε(x))}.若μ(BεM(x))=μ(Bε(x))，則取ε′<εM非常接近εM，使得

μ(Bε(x)Bε′(x))>0，μ(Bε′(x))≥cμ(Bε(x)).

(2)

μ(Bε(x)Bε′(x))>0.

根據(jù)(1)式可得

(3)

根據(jù)上述x和ε′，對(duì)a.e.y∈Bε(x)Bε′(x)，存在n∈，及?g∈Λn，有ρ(gx，gy)>δ.

由(2)，(3)式可知

μ(Bρ(x，y)(x))≥μ(Bε′(x))≥cμ(Bε(x))，

故

所以(X，B，μ，d)限制敏感的.

性質(zhì)1說(shuō)明了在ρ是μ-正則的情況下，限制兩兩敏感性比限制敏感性強(qiáng).敏感性和熵都是反映動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜程度的量，自然地，想要研究敏感性與熵之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[7]中給出了amenable群作用系統(tǒng)下非遍歷情形的Shannon-McMillan-Brieman定理，amenable群包括所有的有限群，緊致群和可解群，d是一類特殊的amenable群.

引理1(Shannon-McMillan-Brieman定理：非遍歷情形) 設(shè)(X，B，μ，d)為一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)，G為一個(gè)可數(shù)離散amenable群，對(duì)G中任何滿足增長(zhǎng)條件的temperedFφl(shuí)ner序列{Fn}以及X的有限可測(cè)剖分P，對(duì)μ-a.e.x∈X都有

且

定理1設(shè)(X，B，μ，d)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)，μ是X上的無(wú)原子概率測(cè)度，ρ是X上與測(cè)度μ相容的度量，且是μ-正則的，令A(yù)={A1，A2，…，Ak}是X的一個(gè)有限可測(cè)剖分使得對(duì)所有?i有diamAi<δ，令hμ(G，A)是G關(guān)于剖分A的測(cè)度熵.如果(X，B，μ，d)是有漸進(jìn)率a和限制兩兩敏感常數(shù)δ的限制兩兩敏感的，則有

證假設(shè)(X，B，μ，d)是有限制敏感常數(shù)δ和漸進(jìn)率a的限制兩兩敏感的，由定義知：選x∈X使得對(duì)μ-a.e.y∈X，存在n∈，及?g∈Λn使得

ρ(gx，gy)>δ.

(4)

ρ(gx，gy)<δ， ?g∈Λn

(5)

由于ρ是μ-正則的，存在c>0使得

因?yàn)棣淌菬o(wú)原子概率測(cè)度，故當(dāng)r→0時(shí)，μ(Br(x))→0.對(duì)任意的整數(shù)n，令εn滿足

e-(n-1)c>μ(Bεn(x))≥e-nc.

于是

兩邊取對(duì)數(shù)得

即

由題設(shè)可知(X，B，μ，d)是有限制敏感常數(shù)δ和漸進(jìn)率a的限制兩兩敏感的，則存在

及存在g∈Λi，使得ρ(gx，gy)>δ.由(5)可知y?Cn(x)，斷言得證.

故由斷言得

令

由Shannon-McMillan-Brieman定理

定理1說(shuō)明了對(duì)于一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，限制兩兩敏感意味著正測(cè)度熵，自然地，想要知道限制敏感與熵之間的關(guān)系.在證明定理2的過(guò)程中要用到文獻(xiàn)[8]中的amenable群作用下遍歷版本的 Brin-Katok熵公式：

其中BFn(x，ε)={y∈X∶ρFn(x，y)<ε}={y∈X∶ρ(gx，gy)<ε，對(duì)任何g∈Fn}.

定理2設(shè)(X，B，μ，d)是一個(gè)遍歷系統(tǒng)，μ是無(wú)原子概率測(cè)度，ρ是X上與測(cè)度μ相容的度量.如果則對(duì)所有x∈X，(X，B，μ，d)是有漸進(jìn)率a和敏感常數(shù)δ的限制敏感的.

證假設(shè)對(duì)所有x∈X，(X，B，μ，d)不是有漸進(jìn)率a和敏感常數(shù)δ的限制敏感的.存在一個(gè)正測(cè)集A，使得對(duì)?x∈A和δ>0，存在ε(δ)≤δ，對(duì)所有n∈，及?g∈Λn，有

μ{y∈Bε(δ)(x)∶ρ(gx，gy)>δ}=0，

(6)

對(duì)這樣的n，令

ρn(x，y)∶=max{ρ(gx，gy)∶?g∈Λn}，Bn(x，δ)={y∈X∶ρn(x，y)≤δ}，

ρ(gx，gy)≤δ， ?g∈Λn

(7)

故

利用Brin-Katok熵公式，存在x∈A使得

與已知條件矛盾，假設(shè)不成立，所以對(duì)所有x∈X，(X，B，μ，d)是有漸進(jìn)率a和敏感常數(shù)δ的限制敏感的.

4 結(jié) 論

致謝非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.