行列式的幾何意義及多面體體積的計算

何朝葵， 鄭蘇娟， 孫中喜

(河海大學 理學院，南京211100)

1 引 言

行列式作為線性代數中一個重要的基本內容，為了讓學生深刻理解行列式的概念有學者在行列式教學中嘗試了新的方法[1]，也有學者從有向體積的幾何直觀視角來探討行列式[2].在一般的線性代數教材關于向量的混合積時，都會介紹三階行列式的幾何意義，那么對于任意一個n階行列式，它是否也具有類似的幾何意義呢？本文學習有限元方法中的面積坐標的概念[3]，引入體積坐標，利用多重積分證明了行列式和多面體體積的關系，從而解釋了行列式的幾何意義.

2 有趣的結論

結論1如果P0(x0)和P1(x1)為數軸上兩點，令

則|D|=|x1-x0|=d(P0P1),即二階行列式D的絕對值為數軸上點P0(x0)和P1(x1)之間的距離.

結論2若P0(x0,y0),P1(x1,y1)和P2(x2,y2)為平面上三個點，令

則三階行列式|D|=2SΔP0P1P2,其中SΔP0P1P2為這三點確定的三角形面積.

結論3若Pi(xi,yi,zi)(i=0,1,2,3)為空間中的四個點，令

則

根據向量混合積的幾何意義有|D|=V平行六面體=6V(ΩP0P1P2P3),其中V平行六面體為以P0Pi(i=1,2,3)為鄰邊的平行六面體的體積，ΩP0P1P2P3表示由這四點形成的四面體，V(ΩP0P1P2P3)為ΩP0P1P2P3的體積.

從以上三個結論，猜想

定理設Pi(xi1,xi2,…,xin) (i=0,1,2,…，n)為n維空間中n+1個點，令

則有|D|=n!V(ΩP0P1…Pn),其中ΩP0P1…Pn為n維空間中由這n+1個點兩兩連接所確定的n+1面體，V(ΩP0P1…Pn)表示這個n+1面體在n維空間中的體積.

證由于

消去L0,得

所以

=……

因而 |D|=n!V(ΩP0P1…Pn).

3 行列式的幾何意義及多面體體積的計算

根據上面的分析，對于任意一個行列式

令P0(0,0,…,0),Pi(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…，n),由于

則|D|可以理解為n維空間中由這n+1個點Pi(i=0,1,…，n)所構成的n+1面體體積V(ΩP0P1…Pn)的n!倍.利用行列式的幾何意義可以求空間中多面體的體積，例如在空間中有如下一個多面體(圖1)，其中各個點的坐標分別為

圖1 圖2

通過連接點P2和P4,把多面體分割成4個四面體(圖2)：ΩP1P2P4P5,ΩP1P2P3P4,ΩP6P2P4P5,ΩP6P2P3P4, 由于

因此該多面體體積等于

V=V(ΩP1P2P4P5)+V(ΩP1P2P3P4)+V(ΩP6P2P4P5)+V(ΩP6P2P3P4)

5 結 論

對行列式的幾何解釋有助于加深對行列式概念的理解.對于空間中的一個多面體，可以利用剖分軟件把多面體剖分成多個四面體單元，從剖分信息中提取每個四面體單元四個結點的坐標，就可通過行列式求得它們的體積，把所有四面體單元體積累加求和就得到多面體的體積，這很容易在軟件上編程實現，如果多面體有邊界面為曲面，則可對邊界面部分剖分加密，從而得其體積的近似值.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家的建議.