簡單隨機抽樣的一個注記

董俊超

(煙臺大學 數學與信息科學學院, 山 煙臺264005)

1 引 言

簡單隨機抽樣是抽樣調查課程中最簡單的一種抽樣方法，因為其在實踐中操作簡單，所以使用最為廣泛.關于它的定義一般有兩個：一個是基于全樣本過程(whole sample procedure)的抽樣(見下文定義1)，另一個是基于逐個抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的抽樣(見下文定義2).關于這兩個定義的關系, 國內一般的教科書及一些專著，比如馮士雍等[1],杜子芳[2]，孫山澤[3]的著作中都略有論述.本文的目的則是更詳盡地討論它們的關系，說明在一定意義下，它們是等價的；在另外的意義下，它們是不等價的；同時指出也可以有其它的方法來實現簡單隨機抽樣.

另外需要指出的一點是，在一般的《數理統計》教課書中所說的抽樣方法是放回的簡單隨機抽樣，而在抽樣調查課程中所說的抽樣方法要多很多.現在越來越多的人都在用抽樣調查的方法來研究實際問題，比如孫華娟等[4]，胡良劍等[5]就用抽樣調查方法來研究問題.

2 變概率抽樣可作為簡單隨機抽樣的例子

為了下面敘述的方便，把馮士雍等[1]著作中的定義敘述如下:

定義2[1]從總體的N個單元中，逐個不放回地抽取單元，每次抽取到尚未在樣本(未入樣)中的任何一個單元的概率都相等，直到抽足n個單元為止，這樣所得的n個單元組成一個簡單隨機樣本.

為了區分定義1與定義2，不妨稱定義1中的簡單隨機抽樣為基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機抽樣；定義2中的簡單隨機抽樣為基于逐個抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的簡單隨機抽樣.

一般的統計學課程中考慮的是無序樣本，只要樣本的分布是一樣的，這樣的抽樣就認為是等價的.因此從這個意義上講，由于基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機抽樣(定義1)與基于逐個抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的簡單隨機抽樣(定義2)所得的樣本分布是一樣的，可以說這兩個定義是等價的.這個在在馮士雍等[1]中已有說明.

但是從另外意義上來講，抽樣調查不僅要考慮樣本的分布，還要考慮抽樣過程的設計，因為利用抽樣過程所包含的信息可以設計出更好的估計量.這個在著作[1]中的第五章中就有論述，更詳盡的論述可參看MURTHY[6]及DES R[7].定義1得到的是一個無序樣本，它只說明了最終的樣本分布，而不包含抽樣的過程；而定義2得到的是一個有序樣本(盡管我們不考慮它的順序)，它不僅包含抽樣的過程，還有與定義1有相同的樣本分布.定義2包含的信息比定義1包含的信息要多，所以在這個意義下，不能說定義1與定義2是等價的.

為了更清楚地說明這一點, 不妨借助于變概率抽樣(varying-probability sampling) 這個概念來說明變概率抽樣也可以實現定義1中的簡單隨機抽樣.關于變概率抽樣，文獻中并沒有給出精確的說法, 只有一個比較籠統的說法，比如在戈文達拉玉盧[8]中略有介紹.為了下面說話方便, 給出一個精確性的定義：

定義3在由N個單元組成的總體中，逐個從總體當中抽取單元(可以是放回抽樣也可以是不放回抽樣)；如果至少有一次在抽取尚未在樣本中的單元時，它們被抽到的概率不都相等，直到抽足n個單元為止，則這樣的一種抽樣方法稱為變概率抽樣(varying-probability sampling).

定義3實際上就是與定義2相對立的概念, 即不滿足定義2的概念我們稱為定義3(在不放回抽樣時). 下面將說明，變概率抽樣也可以滿足定義1.

用pi表示逐個抽樣抽取第一個樣本單元時，第i個單元被抽到的概率；用pj|i表示抽取第二個樣本單元時，在第1次抽到第i個單元的條件下第2次抽到第j個單元時的概率；其它記號以此類推.

現考慮一個從由N=4個單元組成的總體中，抽取容量為n=2的一個樣本,pi及pj|i(i,j=1,2,3,4;i≠j)的定義分別見表1及表2.

表1 pi的值

表2 pj|i的值

顯然上面定義的抽樣是一個變概率抽樣，因為無論是抽取第1個樣本單元還是抽取第2個樣本單元，抽取它們的概率并不都相等；現計算任意一個樣本{i,j}被抽中的概率p(i,j)：

p(i,j)=pipj|i+pjpi|j，i≠j;i,j=1,2,3,4.

分別計算之，比如

注1 定義2只是定義1的一個實現；變概率抽樣也可以是定義1的一個實現.

3 進一步的討論

對于抽樣設計，除了前面提到的全樣本方法(whole sample procedure)，逐個抽取不放回方法(draw-by-draw without replacement procedure)外；還有逐個抽取放回方法(draw-by-draw with replacement procedure).逐個抽取放回抽樣也可以實現定義1的簡單隨機抽樣，見SAMPFORD M R[9], 不再討論.

表3 總體容量N=6樣本容量n=3的一個抽樣分布

π12=P{1,2,3}+P{1,2,4}+P{1,2,5}+P{1,2,6}=0.04+0.03+0.04+0.09=0.2，

注2 不等概率抽樣(定義4)也可以有與滿足定義1抽樣一樣的性質(限于一階矩及二階矩).

由此，不妨給出簡單隨機抽樣的更具一般性的(廣義)定義：

4 結束語

本文給出了變概率抽樣(定義3)以及廣義簡單隨機抽樣(定義5)的定義.指出了不僅基于逐個抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的簡單隨機抽樣(定義2)可以實現基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機抽樣(定義1)，而且變概率抽樣(定義3)也可以實現基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機抽樣(定義1)；基于一階矩及二階矩，不等概率抽樣(定義4)也可以實現基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機抽樣(定義1).但變概率簡單隨機抽樣在實際當中很難操作，它只是一個理論結果，實際當中的簡單隨機抽樣還是用定義2所確定的簡單隨機抽樣.本文的結論只是對簡單隨機抽樣理論的一個補充，希望對有關人員有所裨益.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見，使得本文的論述更加清晰，準確.