基于幾何視角的線性代數教學改革與實踐

李泓霖

(重慶師范大學物理與電子工程學院 重慶 401331)

線性代數與高等數學最大的區別在于，線性代數突顯操作性和實用性。是一類表征數據的基本工具，可對數據進行特定的變換，以便研究人員清晰直觀地把握數據的關鍵特征和不同維度的信息。隨著大數據、人工智能、深度學習的日益發展，線性代數的重要性愈加明顯，其是深入探索這類高階知識強有力的工具，因此，線性代數的核心地位不言而喻。然而，需要說明的是，相當一部分同學在完成線性代數課堂的學習后，并沒有深刻的體會和深入的理解，留下的知識大多是具體的一些計算方法和技巧，如行列式的計算、逆矩陣的定義、矩陣秩的求法等。宏觀地看，這是整個線性代數課程體系的共通問題：課堂講授偏重定義定理和運算技巧，缺乏對學科內涵及內在邏輯脈絡的深刻理解，更不能進一步挖掘線性代數與當下各前沿技術的交叉問題[1]。大部分同學雖然考試成績優秀，但一遇到具體問題則心有余而力不足。

明確了不足之處，我們當下的任務則是針對傳統授課的薄弱環節進行集中突破，合理設計一條明確、有針對性的學習路徑。首要工作是圍繞行列式、矩陣、線性方程組、線性空間這些線性代數的主要問題，環環相扣地展開線性代數核心知識教學，幫助學生深刻理解如何用矩陣表示數據、處理數據、分析數據，最后串聯起整個學科的主干內容，從而達到授課目標。針對上述線性代數課程的特點，我們從多方面進行了初步探索，發現從幾何視角解釋相關知識點可使學生又好又快地理解線性代數的重要概念，并達到預期的教學目的。

一、線性代數教學現狀

（一）教學模式落后

如何高質高效地完成線性代數課程的講授這一問題一直困擾著廣大教師。目前普遍采取的方式還是傳統的數學教學模式，即遵循定義/定理—性質—例題—作業的順序實施教學任務，以考試成績衡量教學效果已成定勢。為了保證知識體系的嚴謹性，授課過程中不得不加入大量的推導和證明，學生參與度低、內容抽象難懂。我院的線性代數課程安排在大一上學期，和高等數學同時進行。此時學生不僅要適應高數的教學節奏，還要逐漸培養適合線性代數的學習策略。這些使大一學生容易產生畏學厭學情緒，影響學習效果[2]。對于我院電子專業本科生而言，基于應用型人才的培育目標，應適當省略晦澀難懂的理論推導，以掌握線性代數基本方法為要求、以解決問題為關鍵、以科學高效地使用相關知識為目標。

（二）理論與實際應用聯系不強

目前，大多數高等院校使用同濟版的《線性代數》（第六版）。總體來看，該教材理論性較強，側重于知識本身，與實際應用聯系較少，對工科類學生難度偏大，學生不能感性地理解線性代數的真正應用價值。這種情況普遍存在于我院電子專業學生的必修課中，比如概率論與數理統計、半導體物理、傳感器與傳感器原理等[3]。教學中很多時候不可避免地脫離實際情景去講述重點難點，這樣教學模式就顯得單一，內容難免枯燥難懂。只是照本宣科，忽視理論之上的實際應用，為了應付考試而被動接受，無法激發學生的主觀能動性。

（三）課程設置不合理，知識體系抽象難懂

隨著近年來兄弟院校人才培養方案的不斷更新與調整，調研發現各大高校的線性代數教學安排普遍為32學時，考慮到實際情況，我們學院增加到了48學時，但實際教學過程中仍感到學時略顯不足。為了盡可能高質高效地完成教學目標，僅完成知識點本身的講解和分析后剩余的課時就已捉襟見肘。因此，教學中關于線性代數的很多重要思維模式、認知方法的講授就突顯不足，這對學生創新思想的發展、創新能力的培育及應用技能的掌握十分不利[4]。此外，目前流行的線性代數教材第1章均從逆序數引出行列式的定義，這種方式的知識編排常讓大一新生感到困惑和迷茫。而后又有大量課時被分配在行列式的性質和計算方面，實際情況是高階行列式的計算是無須手工完成的。橫向對比來看，戴偉·C·雷的《線性代數及其應用》一書中將線性方程組放在第一位，而后是矩陣、行列式等。這種知識的編排方式可以使學生自然而然地理解和接受矩陣這個新概念。

二、教學改革實踐與改進措施

（一）改進教學模式，整合優質教育資源

受新冠疫情影響，2020年以來，全國高等院校迅速開啟了線上教學模式。教師和學生應充分利用公開課、MOOC、學習通等優質資源完成對課堂教學的補充和完善。這些豐富的教學資源拓展了學生學習的途徑與方法，教師應根據學生的學習情況進行必要的指導和推薦，選取優質的線性代數教學課程進行共享學習。值得注意的是，這個環節需要加強學生對線性代數知識的理解并為后續綜合應用打好基礎。從程序本身講，線性代數中的絕大部分知識點都可用MATLAB來進行實踐，我們需要做的是適當合理地引導學生，使其熟練掌握這些可以由程序完成的具體操作。通過前期協調，我們將MATLAB也安排在了大一上學期，這樣兩門課程的互聯互通可以快速提高學生運用知識的能力。線性代數的教學重點不應僅放在學生的手動計算能力上，對知識的深入理解和融會貫通是另一個重要的學科素養。

（二）提高線性代數功能屬性，明確其重要性

如果不能及時明確線性代數與相關專業的密切聯系，學生將無法直接體會其在培養計劃里的重要地位，會影響學生進一步學習的積極性。對于我院電子專業工科學生來講，如果只注重抽象的理論知識，學生就會覺得線性代數與生產應用的聯系不大，從而失去探索欲。在教學過程中，理論教學必須與實際應用相結合，用新視角、新方法、新模式激發學生的好奇心，提升學生的主觀能動性[5]。這就要求教師需認真思考如何將線性代數的理論知識恰當地與相關專業問題結合，使學生真正認識到線性代數確實對專業學習有至關重要的作用。為達到上述目標，需調整傳統單一的授課模式，順應高校教學發展，將專業軟件、數學建模、數據分析等融入日常教學，充分利用好工科專業的實訓環境與硬件資源，培養學生實際操作分析能力。我院近年來不斷加強線性代數與python、MATLAB、科學計算等課程的整合聯結，讓學生真實體會到了線性代數的價值與魅力。

（三）增加自主實踐環節

線性代數涉及的計算普遍較為復雜，一些計算量大的題目會增加學生的厭學情緒。如果將線性代數知識點與軟件結合起來，則可以提高學生的學習興趣。根據實際教學經驗，可加入課程實踐考查環節，占總成績的10%。課程實踐采用課后作業形式自由發揮，遴選具有一定抽象性與發散性的知識點，結合實際背景，讓學生充分討論、分析，查閱文獻等相關資料，并以電子文檔形式給出解決方案。結合MATLAB等軟件進行線性代數的學習。這類軟件以矩陣為存儲單位，簡單易學、容易理解。例如，MATLAB中det(A)為計算行列式的命令，inv(A)為求逆矩陣的命令。從教學效果看，這類自主實踐環節受到了學生的好評，課后反饋良好。

三、基于幾何視角實踐教學探索

在線性代數學習中，許多知識點有明顯的幾何意義，如果利用幾何知識加以闡述，學生接受起來將容易得多。例如，二階行列式就是以行向量為邊的平行四邊形的面積，而三階行列式則可看成三個行向量組成的平行六面體的體積。諸如此類的應用案例還有很多可供借鑒。要對線性代數學進行教學改革，理論聯系實際則成了不可或缺的環節。最好的方式是讓學生自己動手，依托所學知識進行相關的具體研究與操作。

以第二章矩陣及其運算章節為例，矩陣與數的乘法是將數乘矩陣A中的每一個元素。我們在解釋矩陣與數的乘法這一知識點時，讓學生做出一個矩陣圖形，然后對其進行數乘操作，可以非常直觀地理解為什么需要將數乘以矩陣A中的每一個元素。圖1為學生實際作出的矩陣圖形，從中可看出圖像的不同面高低極值等特征。如果對其進行數乘運算，則圖形整體將發生變化，這能使學生直觀地看出為什么矩陣的數乘運算要對矩陣中的每一個元素進行操作，明白其中的關聯[6]。同時可加深學生對作圖細節等技能的理解和掌握，為后續深入學習打好基礎。根據我們的觀察分析，加入這種從幾何視角切入實踐的環節能明顯提高學生的主動性和積極性，激發他們的創新思維和鉆研精神，改善線性代數的教學效果，讓學生更深入地理解線性代數的關鍵知識點。

圖1 利用MATLAB從幾何視角觀察矩陣圖形（學生作業）

四、結束語

線性代數是建立在計算機、信息學、圖形學等多種學科交叉基礎上形成和發展起來的以應用為主的學科。本文簡要分析了線性代數的教學現狀，從學生角度進行了教學改革的初探，取得了一定的效果。線性代數是一門緊跟時代發展的課程，各種知識技能的合理交叉綜合使用能達到事半功倍的效果。只有堅持思考和不斷探索，持續關注教育新理念，才能為社會培養出更多優秀的人才。