組合賦權VIKOR法的重型機床動立柱設計優化*

朱金波，王秋林，李 勇，王 玲，殷國富

(1.成都航空職業技術學院工程實訓中心，成都 610100；2.四川大學機械工程學院，成都 610065)

0 引言

立柱作為重型龍門機床重要的支撐和導向結構件，其性能好壞直接影響機床整體性能。近年來諸多學者對重型機床立柱設計優化進行了研究，李宇鵬等[1]仿生王蓮的葉脈和竹子的竹節設計了一種立柱結構并采用拓撲優化和靈敏度分析等方法進行優化，提升了立柱的靜動態性能；鄭文標等[2]采用拓撲優化重構了臥式加工中心立柱結構件，使其質量減輕，固有頻率提升；史安娜等[3]采用神經網絡和遺傳算法，并結合靈敏度分析對立柱筋板尺寸進行了優化，有效改善了立柱的動態性能；楊建交等[4]通過模態分析和諧響應分析,確定了立柱動靜剛度的薄弱環節，結合多目標優化達到了優化目的。上述學者對機床立柱的研究思路本質上是先選定了一種立柱結構件的內部筋板布局結構或整體結構，然后對其進行局部的結構或尺寸優化，雖然也能夠提高機床立柱的靜、動態性能，但難以滿足研發高精度、高可靠性重型機床對立柱高剛度、高抗振性、輕量化等綜合需求。探究新的重型機床立柱優化設計方法是發展重型精密機床亟待解決的問題。

重型機床立柱結構件設計的重點在兩方面：一是立柱內部筋板結構布局或整體結構布局；二是立柱局部的結構或尺寸優化，其中前者更為重要。目前研究人員在進行立柱結構件優化設計時，重點放在立柱局部的結構或尺寸優化方面而對立柱內部筋板結構布局或整體結構布局研究不足。組合賦權VIKOR法的重型機床動立柱設計優化是從動立柱內部筋板結構布局或整體結構布局出發的一種多方案多指標優化設計方法，克服了目前僅從一種特定結構出發進行優化設計的缺陷，可以實現動立柱部件多項性能指標的綜合提升和多方案的合理取舍，為機床結構件設計研究提供理論支撐。

1 動立柱綜合優化思路

組合賦權VIKOR法的重型機床動立柱綜合優化首先以動立柱內部筋板結構布局或整體結構布局為重點，在綜合考慮立柱傳統結構、仿生結構、新材料的應用等方面后設計出8種動立柱結構件。接著針對每一種動立柱設計方案利用拓撲優化、靈敏度分析和多目標優化等有限元方法優化其內部結構或尺寸；然后建立動立柱性能評價指標模型，并通過有限元軟件計算評價指標性能參數；最后再綜合考慮CRITIC法計算的評價指標的客觀權重和專家打分、排秩計算得到的評價指標的主觀權重的基礎上，應用VIKOR法對動立柱結構件進行綜合評價，找出最優結構。動立柱的綜合優化設計思路如圖1所示。

圖1 動立柱綜合優化思路

2 動立柱設計、優化及評價指標計算

2.1 重型龍門機床動立柱

重型龍門機床由動龍門、定龍門、數控轉臺等部件組成，結構如圖2所示。動龍門工作時整體需沿著床身導軌移動，高速進給和高速切削時動力柱等運動部件慣量很大，將導致動龍門及整個機床產生沖擊振動，并最終影響機床的加工精度，降低機床可靠性和使用壽命[5]。動立柱是動龍門的重要承載和導向部件，連接床身并支承著橫梁和滑枕等機床關鍵部件，其靜動態特性對機床整體性能影響顯著。

圖2 龍門機床整體結構

2.2 動立柱設計

在不改變動立柱外形安裝尺寸，不影響機床整體結構及安裝的條件下對動力柱內部筋板結構進行優化排列布局、并對動立柱整體或局部進行合理的材料選用，得到了8種動立柱結構件設計方案。方案F1為原機床動立柱的橫豎筋板結構；方案F2動立柱側壁為斜“井字”筋板結構；方案F3為模仿“芭蕉葉柄”結構進行的仿生設計，動立柱側壁設計為輻射狀“太陽筋板”[6]；方案F4為模仿“蜂巢”結構進行的仿生設計；方案F5為模仿“葉脈”結構進行的仿生設計；方案F6動立柱整體選用鑄鐵材料，內部筋板為橫豎筋板結構；方案F7動立柱整體選用玄武巖纖維增強樹脂混凝土(BFPC)，動立柱豎直方向為“太陽”筋板；方案F8動立柱為泡沫鋁夾芯結構，動立柱外壁材料為Q235結構鋼，內部夾裹泡沫鋁。8種動立柱結構件的具體設計方案如表1所示。

表1 8種動立柱結構方案

2.3 動立柱優化、評價指標計算

利用有限元軟件ANSYS Workbench對設計的8種動立柱結構件分別進行靜力學分析、模態分析和拓撲優化，找出動立柱結構件的薄弱環節和質量冗余部位，并據此進行必要的結構加強或質量剔除[7]；利用多目標優化和靈敏度分析功能對動立柱筋板結構尺寸進行優化設計，找出其最佳尺寸[8]。選取動立柱結構件導軌的最大靜態變形量、考慮環境溫度和熱傳導的熱變形量，動立柱的固有頻率、質量和最大應力等14個指標作為性能評價指標，使用有限元分析軟件計算動立柱性能評價指標數值，最終計算結果如表2所示。

表2 動立柱性能評價指標計算結果

3 組合賦權VIKOR法

多準則妥協排序法(VIKOR)是針對備選方案存在多個性能評價指標且多個指標間可能存在沖突性的多方案多指標綜合優選排序方法。VIKOR法相比TOPSIS等其它優選方法，其選出的方案通常更接近理想方案[9]。VIKOR評價法優選時需要首先確定機床動立柱14個評價指標各自的權重。由于CRITIC法計算評價指標客觀權重時可能存在個別指標權重失真，而專家打分確定權重又太過主觀，因此采用把CRITIC法計算的客觀權重和專家打分確定的主觀權重進行綜合的組合賦權法確動立柱各個評價指標的權重。

3.1 確定評價指標綜合權重

(1)構建并標準化決策矩陣

構建決策矩陣。設構建的動立柱性能評價體系中有m個備選方案，n個評價指標，則動立柱的評價矩陣A為：

(1)

式中，aij為動立柱第i個評價方案的第j個評價指標，i=1,2，…m，j=1,2，…n。

標準化決策矩陣。為消除評價指標單位和量級的影響，需要對決策矩陣進行標準化處理。矩陣標準化處理方法有極差變化法、線性比例變化法、量化歸一法等，為了能夠更好的體現指標值的差異性，動立柱的性能評價決策選擇量化歸一法對決策矩陣進行標準化處理，其計算公式為：

(2)

標準化處理后得到的動立柱標準化決策矩陣B為：

(3)

(2)CRITIC法確定評價指標的客觀權重

CRITIC法是由Diakoulaki提出的一種以評價指標的對比強度和沖突性為基本概念的客觀權重計算方法。對比強度以標準差為基礎量化，同一指標內某一備選方案的標準差數值越大，表明該方案相對于其它方案取值差距越大，對比強度越顯著。沖突性通過評價指標之間的相關性量化，正相關性越強，沖突性越低。

評價指標間的對比強度量化值hj和沖突性量化值cj計算公式為：

(4)

(5)

(6)

確定評價指標客觀權重。評價指標客觀權重αj計算公式為：

(7)

(3)確定評價指標的主觀權重

主觀權重采用專家打分計算，假設有z位專家對n個評價指標評估后打分，分數依次為fjk(k=1,2，…z；j=1,2，…n)。對專家打分進行排秩，得到分數的秩次記為rjk。排秩時若出現相同的分數時，使用平均秩計算分數秩次。一組相同的分數計為一個結，總共結的個數計為g，相同分數的個數計為結長[10]τq(q=1,2，…g)。各評價指標的秩和記為Rj。為確保專家打分標準一致，對專家打分進行Kendall檢驗，Kendall協同系數為：

(8)

若統計量z(n+1)W>χ0.052(n-1)時，認為具有統計相關性，打分有效。經Kendall協同系數檢驗認定專家打分有效后，求解指標的主觀權重βj：

(9)

(4)確定評價指標的綜合權重

把CRITIC法確定的客觀權重和專家打分確定的主觀權重進行綜合，得到評價指標的綜合權重γj：

γj=μαj+(1-μ)βj

(10)

為克服主觀權重和客觀權重均衡化分配的缺陷，在計算綜合權重時引入層次分析法確定各分量的變異系數[11]GAHP。

(11)

(12)

式中，n為評價指標的個數，主觀權重值βj從小到大排序計為P1,P2,…Pj。

3.2 VIKOR法計算原理

(1)計算正負理想解

(13)

(14)

式中，bij為標準化后的決策矩陣B中的元素。

(2)計算備選方案最大群體效益Ei和最小個體遺憾Fi，計算公式為：

(15)

(16)

式中，γj為第j個指標的綜合權重值。

(3)確定備選方案的利益比率值Gi。

(17)

式中，ε為決策系數，采用“大多數準則”決策機制[12]。ε∈[0,1]，當ε=1時，表示所有人贊同；當ε=0時，表示所有人都不贊同；當ε在0和1之間時，表示部分人贊同部分人不贊同。利益比率值Gi越小，方案越優秀。

4 動立柱結構件綜合評價

4.1 構建并標準化決策矩陣

根據公式(1)，結合表2中8個動立柱備選方案的14個性能評價指標數值，構建動立柱結構件綜合評價決策矩陣A。根據公式(2)對決策矩陣A進行標準化，得到標準化后的動立柱綜合評價決策矩陣B為：

4.2 計算評價指標綜合權重

(1)計算評價指標客觀權重

根據式(4)～式(7)對矩陣B中的數據進行處理，得到動立柱14個評價指標的客觀權重αj=[0.012 0.032 0.046 0.038 0.019 0.105 0.149 0.039 0.061 0.064 0.099 0.096 0.078 0.161]。

(2)計算評價指標主觀權重

對3位專家的打分進行排秩，確定每個評價指標的秩次，如表3所示。

表3 專家打分及秩次

自由度為13，顯著水平為0.05的卡方分布臨界值為22.36，使用公式(8)對表3數據進行Kendall檢驗，求得專家打分的卡方值為40.19，大于卡方分布臨界值，證明專家打分標準一致，可行有效。根據公式(9)計算得到動立柱14個評價指標專家打分的主觀權重βj=[0.105 0.056 0.056 0.067 0.129 0.056 0.056 0.067 0.113 0.094 0.046 0.021 0.129 0.010]。

(3)計算評價指標綜合權重

在把CRITIC法計算得到的客觀權重和專家打分得到的主觀權重進行綜合時，根據公式(12)計算各分量的變異系GAHP為0.345，根據公式(11)得到權重分配比例系數μ=0.371,最后根據公式(10)得到動立柱14個評價指標的綜合權重γj=[0.071 0.047 0.052 0.056 0.088 0.074 0.091 0.057 0.094 0.082 0.066 0.048 0.110 0.066]。

4.3 VIKOR法評價機床動立柱結構件

根據式(13)和式(14)確定動立柱各個評價指標的正負理想解，根據式(15)和式(16)計算各個備選方案的最大群體效益值和最小個體遺憾值。最后依次選取決策系數ε的值為：0.7、0.5、0.3，根據式(17)計算各方案的利益比率值，計算結果如表4所示。

利益比率值越小，方案越優秀，根據表4利益比率值的大小對各方案進行排序。在決策系數ε取值為0.7時，利益比率值的排序結果為：F8

表4 各方案的利益比率值

4.4 評價結果分析

把組合賦權VIKOR法優選出的最優方案F8和原方案F1的主要技術指標進行比較，如表5所示。由于各個方案動立柱結構件的最大應力數值均小于材料的許用應力，此處最大應力數值就不作比較。

表5 優化前后動立柱主要評價指標數值

方案F8動立柱為泡沫鋁夾芯結構，該方案和原方案F1相比，質量減輕10.4%，1階固有頻率提升74.7%，總體方向靜變形量減小31%、熱變形量減小13.8%，表明經過優化后動立柱結構件靜態性能和動態性能顯著提升，驗證了組合賦權VIKOR法的重型機床動立柱設計優化方法有效可行。

5 結論

組合賦權VIKOR法的重型機床動立柱設計優化具有一下特點：

(1)系統研究了重型機床動立柱可能的內部筋板結構布局及可能選用的新材料和新結構，對其它機床立柱結構設計具有借鑒意義。

(2)把動立柱整體內部筋板結構布局或整體結構布局的優化和動立柱局部的結構或尺寸優化進行了有機結合，更有利于找出整體性能優異的立柱結構件。

(3)把VIKOR法引入到重型機床結構件優化設計中，并在計算動立柱各性能評價指標權重時采用組合賦權，能夠客觀定量的評價動立柱方案之間的優劣，找到最佳方案。