基于中徑和預緊摩擦力匹配的導軌副裝配研究*

俞福春，歐 屹，王 凱，馮虎田

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

0 引言

滾珠直線導軌副具有運動精度高、磨損小、潤滑簡便等優點，是數控機床的核心功能部件，其性能的優劣對數控機床整體性能以及精度有著重要的影響[1]。滾珠直線導軌副滾道中徑的偏差量是高精度機床的重要性能指標，其精度直接影響滾珠直線導軌副的預緊摩擦力與裝配尺寸。

針對滾珠直線導軌副型面參數偏差對導軌副預緊摩擦力影響的研究，孫健利等[2-3]分析差動潤滑和彈性滯后對滾珠直線導軌副摩擦力的影響，得到滾珠過盈量與摩擦力之間的關系，未涉及關于導軌副中徑的影響。張巍等[4]通過分析每個滾珠的受力、變形與預緊力，建立了剛度、預緊力、接觸角、摩擦力和臨界載荷與滾珠直線導軌磨損之間的關系模型，其側重于滾珠變形對導軌副剛性影響，未涉及導軌副中徑偏差帶來的預緊摩擦力變化。陸艮峰[5]基于Hertz接觸理論，建立導軌副靜剛度理論模型，重點分析外載荷、預緊力和滾道曲率比對導軌副剛度的影響，側重于力學模型的建立。以上研究主要分析滾珠直徑偏差以及幾何誤差對滾珠直線導軌副摩擦力的影響，但尚未涉及滑塊、導軌滾道中徑偏差對導軌副摩擦力的影響。

針對滾珠直線導軌副滑塊中徑測量的研究，目前工廠主要采用手持式測量，這種方式受人為因素影響大。李桂明[6]提出了一種接觸式測量滾珠直線導軌副滑塊中徑的量具，并且給出了滑塊中徑測量方法以及誤差分析。針對滾珠直線導軌副高效裝配的研究，韓軍君等[7]根據理論計算與基準導軌裝配滑塊組件的方式，確定具體的導軌副中徑加工精度，但沒有給出預緊摩擦力計算方式。呂祎[8]從導軌副關鍵精度著手，確定關鍵工序加工方法、精度保證手段和檢測方法，使得優化后預緊力滿足要求。以上研究缺乏針對已加工的導軌副，在滿足預緊摩擦力條件下實現高效裝配。

本文在前人研究的基礎上，提出了根據中徑偏差計算預緊摩擦力的方法，并設計非接觸式導軌副滾道測量裝置。以預緊摩擦力精確控制為主要目標，通過測量導軌副滾道中徑參數，經過對預緊摩擦力的計算完成組件的匹配，實現滾珠直線導軌副的高效裝配。

1 滾道中徑及滾珠直徑偏差對間距影響

1.1 滾珠直線導軌副滾珠滾道接觸模型

常用滾珠直線導軌副(以下稱為導軌副)幾何特征及滾道分布如圖1所示。滾珠直線導軌副主要由滑塊、導軌以及滾珠三個部分組成，本文研究的滾珠直線導軌副為四列對稱結構的滾珠型直線導軌副。

圖1 滾珠直線導軌副結構及滾道分布

滾珠直線導軌副滾道中徑如圖2a所示，四列滾珠分別編號為i=1,2,3,4，設滑塊與導軌之間的四列滾珠的初始接觸角均為α，以導軌副的對稱中心為原點建立空間直角坐標系o0-x0y0z0，x0軸方向為滑塊沿導軌滑動方向，y0軸方向為水平線上沿導軌徑向方向，z0軸與x0軸、y0軸滿足右手系準則。其中，Ls表示滑塊左列滾道(i=2,3)與右列滾道(i=1,4)曲率中心的距離，記為滑塊滾道中徑；Lg表示導軌左列滾道(i=2,3)與右列滾道(i=1,4)曲率中心的距離，記為導軌滾道中徑。本文涉及導軌副滾道中徑包括滑塊滾道中徑以及導軌滾道中徑。滾珠直線導軌副滾道間距如圖2b所示，滑塊滾道曲率中心與導軌滾道曲率中心連線上，分別與滑塊滾道、導軌滾道相交于M、N點，線段MN即為導軌副的滾道間距。

(a)導軌副滾道(b)滾道間距圖2 導軌副滾道中徑及滾道間距

導軌副中徑的偏差直接影響導軌副滾道間距變化，這里將導軌副滾道中徑偏差分為4種情況，如圖3所示。與標準導軌副相對比，導軌滾道中徑偏大稱為導軌外擴，如圖3a所示；導軌滾道中徑偏小稱為導軌內縮，如圖3b所示；滑塊滾道中徑偏小稱為滑塊外擴，如圖3c所示；滑塊滾道中徑偏大稱為滑塊內縮，如圖3d所示。

標準中徑導軌副 中徑偏差導軌副圖3 導軌副滾道中徑偏差

(1)

滾珠直線導軌副的預緊力是通過增大滾珠直徑，與滑塊滾道、導軌滾道之間的過盈配合來實現。以此來提高滾珠直線導軌副的剛性，消除滾珠與滾道之間的間隙。由于滑塊與導軌的剛度相對于滾珠剛度強，產生預緊力的形變主要是源于滾珠的形變，本文在假設滑塊與導軌為剛體的基礎上進行研究。

下面以某公司生產的HGH35HA型滾珠直線導軌副為研究對象，該型號導軌副參數如表1所示。

表1 HGH35HA型滾珠直線導軌副參數

滾珠在預緊力的作用下滾珠的彈性接觸變形量記為2δ0，滾珠直徑為R，對應的預緊力為Q0。式(2)中，i表示導軌副的滾道數,i=4；z表示單列承載區滾道數量；Q0表示單個滾珠所受預壓力。

(2)

結合Hertz理論[9]，可計算得滾珠在預緊力的作用下滾珠接觸變形量2δ0=0.027 mm。

(3)

式中，δ0為滾珠的形變量；K,μ為與接觸橢圓的橢圓率相關系數；v,E為導軌副材料的泊松比與彈性模量；∑ρ為滾珠直徑及滾道曲率相關系數。

1.2 導軌副滾道中徑偏差與接觸角的關系

標準導軌副 偏差后導軌副圖4 導軌副滾道中徑與接觸角關系

2RB(fS+fG-1)-2δ0

(4)

(5)

針對導軌外擴模型與滑塊外擴模型，如圖4a、圖4b所示幾何關系可知：

(6)

如令fG=fS=f,則導軌外擴模型與滑塊外擴模型滾道中徑偏差之后的導軌副接觸角α*為:

(7)

針對導軌內縮模型與滑塊內縮模型，如圖4c、圖4d所示幾何關系可知：

(8)

如令fG=fS=f,則導軌內縮模型與滑塊內縮模型滾道中徑偏差之后的導軌副接觸角α*為：

(9)

相對于標準滾動直線導軌副滾道中徑尺寸，導軌外擴模型與滑塊外擴模型的滾道中徑偏差量記為正值，導軌內縮模型與滑塊內縮模型的滾道中徑偏差量為負值。在導軌副初始接觸角為45°情況下，導軌副中徑偏差量ΔL對接觸角的影響如圖5所示。

圖5 導軌副滾道中徑偏差與接觸角關系

如圖5所示，對于導軌外擴模型與滑塊外擴模型，隨著滾道中徑偏差量的增加，導軌副接觸角減??；對于導軌內縮模型與滑塊內縮模型，隨著滾道中徑偏差量的增加，導軌副接觸角增大。

1.3 導軌副滾道中徑偏差與滾道間距模型

標準導軌副 滾道輪輪框圓 偏差后導軌副圖6 導軌副滾道中徑偏差與滾道間距關系

(10)

(11)

(12)

即：

(13)

滾道間距在導軌副初始接觸角為45°情況下，導軌副中徑偏差量ΔL對滾道間距的影響如圖7所示。記在相對于標準滾動直線導軌副滾道中徑尺寸情況下，橫軸方向：導軌外擴模型與滑塊外擴模型的滾道中徑偏差量為正值，導軌內縮模型與滑塊內縮模型的滾道中徑偏差量為負值。縱軸方向：滾道間距增大為正值，滾道間距減小為負值，滾道中徑偏差對滾道間距的影響幾乎成線性關系。

圖7 不同滾道中徑下滾道間距

1.4 導軌副滾道中徑偏差與滾珠直徑偏差等效關系

滾珠直線導軌副的滑塊滾道以及導軌滾道均為圓柱面，對于滾珠和兩個圓柱面之間的剛性接觸，運動學約束[10]要求接觸點位于一條平行于圓柱表面曲率點連線的直線上。如圖8a所示，當滾珠與圓柱面之間沒有彈性形變時，接觸點連接線與曲率中心連接線平行；如圖8b所示，當滾珠與圓柱面之間由于擠壓發生彈性形變時，接觸點與曲率中心共線，即接觸點位于滾道間距上。

(a)無擠壓狀態(b)擠壓狀態圖8 剛性滾動接觸

本文滾珠與滾道之間存在彈性形變，剛性滾動接觸情況如圖8b所示,滾珠與兩圓柱面接觸點位于兩圓柱面的曲率中心連線上。此時滾珠直徑偏差量2δ2等于滾珠沿滾道間距方向形變量2δb，即:

δ2=δb

(14)

針對實際加工中出現的由于滾珠直線導軌副滾道中徑偏差而產生的預緊摩擦力變化的問題，根據導軌副中徑偏差與滾道間距的關系模型以及滾珠直徑偏差與滾道間距的關系，建立導軌副滾道中徑偏差與滾珠直徑偏差等效關系。應用于裝配過程中，在已測得導軌副滾道中徑的情況下，通過改變滾珠直徑大小，來解決由于滾珠直線導軌副滾道中徑偏差而產生的預緊摩擦力變化的問題，實現高效裝配。

根據式(13)、式(14)，令滾道間距變化量相等，得到導軌副滾道中徑偏差與滾珠直徑偏差等效關系式，即：

(15)

(16)

(17)

2 滾道中徑及滾珠直徑偏差對預緊摩擦力影響

本文研究滾珠直線導軌副滾道中徑對滑塊滾道、導軌滾道與滾珠之間預緊摩擦力的影響，該摩擦力受滾珠與滑塊滾道、導軌滾道之間摩擦系數以及滾珠沿滾道間距方向上形變量的影響。其中摩擦系數固定，滾珠沿滾道間距方向上的形變量分為兩種情況：滾珠自身直徑偏差引起的滾珠沿滾道間距方向上的形變量；滑塊滾道中徑偏差、導軌滾道中徑偏差引起的滾珠沿滾道間距方向上的形變量。

2.1 導軌副預緊摩擦力的計算

滾珠直線導軌副在運動過程中，導軌副預緊摩擦力由滑塊內滾珠的內循環系統以及刮油片的阻力產生。內循環系統由滑塊中的滾珠經由反向器連接承載區與非承載區構成。滾珠于承載區與非承載區的摩擦特性不相同，承載區的摩擦力與法向載荷Q相關，非承載區的摩擦力遠小于承載區摩擦力，可以忽略不計。滾珠在承載區的摩擦狀態，可視為滾珠在平面上的摩擦運動，服從庫侖定律。則導軌副預緊摩擦力關系式為：

Ff=4·μ0·z·Q+S

(18)

其中，μ0表示滾珠在承載區的摩擦系數，常數4表示滑塊溝槽數，z表示導軌副中每列承載滾珠數，Q表示單個滾珠所受法向載荷，S表示刮油片阻力，HGH35HA型滾珠直線導軌副刮油片阻力為3.04 N。本文所研究的滾珠所受法向載荷來自于滾珠的彈性型變而產生的載荷。結合Hertz理論公式(3)可得：

(19)

當滾珠沿滾道間距方向變形量已知，結合式(18)、式(19)求得導軌副運動過程中的摩擦力，即：

(20)

2.2 滾珠直徑偏差對導軌副預緊摩擦力的影響

滾珠直徑的偏差影響滾珠沿滾道間距方向的形變量，進而影響滾珠所受法向載荷，最終改變摩擦力大小。根據式(19)可得滾珠直徑偏差下的滾珠法向載荷Qb：

(21)

聯系滾珠預加載荷式(3)以及摩擦力式(18)，可得滾珠直徑偏差與導軌副預緊摩擦力的關系：

Ffb=4·μ0·z·Qb+S

(22)

2.3 滾道中徑對導軌副預緊摩擦力的影響

導軌副滾道中徑偏差影響滾珠沿滾道間距方向的形變量，進而影響滾珠所受法向載荷，最終改變摩擦力大小。根據式(19)可得導軌副滾道中徑偏差下的滾珠法向載荷QL：

(23)

聯系滾珠預加載荷式(3)及摩擦力式(18)可得，導軌副中徑偏差與導軌副預緊摩擦力的關系：

FfL=4·μ0·z·QL+S

(24)

圖9 不同滾道中徑下的預緊摩擦力

如圖9所示，為滾道中徑偏差與導軌副預緊摩擦力之間的對應關系。其中，K(0，11.552)表示中徑偏差量為0 mm時，對應的導軌副預緊摩擦力，即標準導軌副在有初始預加載荷情況下的導軌副預緊摩擦力。由圖9可知，在預緊摩擦力范圍內，導軌副預緊摩擦力與中徑偏差量成非線性關系。對于導軌外擴模型與滑塊外擴模型，隨著中徑偏差量的增加，導軌副預緊摩擦力變化速率增加；對于導軌內縮模型與滑塊內縮模型，隨著中徑偏差量的增加，導軌副預緊摩擦力變化速率減小。

3 試驗驗證

為了驗證導軌副中徑偏差對預緊摩擦力的影響，依次改變滑塊滾道中徑、導軌滾道中徑或者滾珠直徑大小，通過更換不同尺寸的部件重新裝配后測量導軌副預緊摩擦力。并根據導軌副的裝配實驗，可以驗證高效裝配方案的可行性。

3.1 試驗設備及方法

針對導軌副型面參數對于摩擦力影響的研究，采用控制變量法，設計如下三組試驗：

(1) 導軌滾道中徑、滾珠直徑不變，分別測量5個不同滑塊滾道中徑值下的導軌副預緊摩擦庫倫力；

(2) 滑塊滾道中徑、滾珠直徑不變，分別測量5個不同導軌滾道中徑值下的導軌副預緊摩擦力；

(3) 滑塊滾道中徑、導軌滾道中徑不變，分別測量5個不同滾珠直徑下的導軌副預緊摩擦力。

針對導軌副滾道型面特點，設計了非接觸式導軌副型面檢測試驗臺對滑塊滾道中徑、導軌滾道中徑進行測量，如圖10所示，試驗臺包括驅動裝置、測量裝置、控制臺、導軌副托架等部分。測量方案如圖11所示，分別采用兩對傳感器1、2和3、4平行滾道軸線X方向移動掃描，獲取滑塊底面與側面基準面內兩條直線數據，來反映兩基準面平面度；由于滑塊滾道中心距限制，傳感器無法直射滾道面，將傳感器5、6斜置于滑塊、導軌外側，平行Z軸方向移動來獲取滑塊、導軌滾道截面。

圖10 非接觸式導軌副中徑檢測試驗臺

(a)滑塊測量 (b)導軌測量

利用滾動直線導軌副預緊摩擦力測量試驗臺對導軌副預緊摩擦力進行測量，如圖12所示，試驗臺包括控制柜、測量裝置、驅動裝置以及花崗巖床身。測量裝置當中，通過力傳感器推動被測滑塊沿導軌勻速運動時，力傳感器測量的數值即為導軌副中的摩擦力。

(a)測量試驗臺 (b)測量裝置

3.2 預緊摩擦力測量結果分析

以1 m/min采集導軌副的正向摩擦力，每組摩擦力測量三次取其平均值。本文為獲取不同滑塊、導軌滾道中徑值，分別測量不同廠家的相同理論尺寸的導軌副。其中以某廠家的HGH35HA型滾珠直線導軌副的滑塊滾道中徑值、導軌滾道中徑值、滾珠直徑值作為標準型面參數值，記為標準導軌副，如表2、表3、表4中第一行所測值，分別為33.780 mm、33.820 mm、6.347 mm。

表2 滑塊滾道中徑偏差下導軌副預緊摩擦力

表3 導軌滾道中徑偏差下導軌副預緊摩擦力

圖13 滾道中徑偏差下理論與實測預緊摩擦力對比

根據試驗(1),導軌滾道中徑、滾珠直徑不變，分別測量5個不同滑塊滾道中徑值下的導軌副預緊摩擦力，測量結果如表2所示；根據試驗(2) ,滑塊滾道中徑、滾珠直徑不變，分別測量5個不同導軌滾道中徑值下的導軌副預緊摩擦力，測量結果如表3所示。表2、表3中，對中徑測量的數據取平均值后，計算每一組相對第一組平均值的中徑偏差值；利用中徑偏差值計算對應的理論預緊摩擦力，進而求解相對試驗預緊摩擦力的偏差值。在標準導軌副的基礎上，分別替換表2所測得不同滑塊滾道中徑的滑塊、表3所測得不同導軌滾道中徑的導軌，重新裝配測量導軌副的預緊摩擦力，得到如圖13所示的導軌副的理論、試驗預緊摩擦力隨滾道中徑變化關系。

綜上所述，試驗(1)、試驗(2)測量值與理論計算所得導軌副預緊摩擦力變化趨勢相同；測量結果與理論計算預緊摩擦力最大偏差為6.89%，總體精度滿足要求。實驗測得的導軌副預緊摩擦力小于理論計算所得導軌副預緊摩擦力，主要原因可能是數值計算中滑塊視為剛體，忽略了滑塊自身的形變影響。試驗驗證了滾道中徑對導軌副預緊力影響關系的準確性。

根據試驗(3)，滑塊滾道中徑、導軌滾道中徑不變，分別測量5個不同滾珠直徑下的導軌副預緊摩擦力，測量結果如表4所示。

表4 滾珠直徑偏差下導軌副預緊摩擦力

對滾珠直徑測量數據取平均值，計算每一組相對第一組平均值的直徑偏差值；利用直徑偏差值求解出理論預緊摩擦力，與試驗測得預緊摩擦力相比較得出預緊摩擦力的偏差值。測量結果與理論計算預緊摩擦力最大偏差為5.65%，總體精度滿足要求，驗證了滾珠直徑偏差對導軌副預緊力影響關系的準確性。

綜合表2、表3所得中徑偏差值，根據導軌副滾道中徑偏差與滾珠直徑偏差等效關系求得對應等效滾珠偏差，再由等效滾珠偏差計算對應理論預緊摩擦力，并計算與試驗預緊摩擦力偏差值，得到表5。其中預緊摩擦力最大偏差值為6.79%，總體精度滿足要求，驗證了導軌副滾道中徑偏差與滾珠直徑偏差等效關系的正確性。

表5 滾道中徑偏差與滾珠直徑偏差等效預緊摩擦力

3.3 導軌副高效裝配試驗驗證

按照如圖14所示流程，在已知標準導軌副滾道中徑基礎上測量實際導軌副滾道中徑，求解出滾道中徑的偏差值。根據滾道中徑偏差值，分別求得實際導軌副預緊摩擦力與等價滾珠直徑偏差值。判斷實際導軌副預緊摩擦力是否在目標預緊摩擦力范圍內，如是，則原始滾珠即為適配滾珠；如否，則根據式(22)由實際與目標預緊摩擦力差值求得對應滾珠變形量，再加上等價的滾珠直徑變形量，得到符合目標預緊摩擦力要求的滾珠。導軌副裝配試驗如圖15所示。

圖14 高效裝配流程圖

圖15 導軌副裝配

本文試驗對象為HGH35HA型滾珠直線導軌副，預壓等級為重預壓，目標預緊摩擦力為14.7～17.1 N。根據該型號滾珠直線導軌副參數，通過適配滾珠以達到目標預緊摩擦力。

如表6所示，針對一對滑塊和導軌的裝配，當熟練的操作工可以一次性匹配合適尺寸公差的滾珠時，本文方案優勢難以體現；當需要兩次以上裝配才達到目標預緊摩擦力時，本文裝配方案的效率提升明顯，對于三次人工裝配的耗時，本文方案的裝配效率提高已超過50%。考慮到目前的生產線大多為大批量零部件的統一裝配，本文方案更加適合在構建零部件尺寸數據庫后完成快速裝配。

表6 高效裝配方案與傳統人工反復裝配效率

表6中，Tc為高效裝配方案中計算用時；Tt為檢測滑塊、導軌滾道中徑用時；Ta為導軌副裝配用時；Td為導軌副拆卸用時。

4 結論

(1) 建立導軌副滾道中徑偏差與滾道間距模型，得到滾道中徑偏差與導軌副預緊摩擦力的關系，結合滾道中徑偏差與滾珠直徑偏差等效關系、滾珠直徑偏差對導軌副預緊摩擦力的影響，實現在已知導軌副中徑情況下，選取適配的滾珠裝配以達到目標導軌副預緊摩擦力的目的。

(2)經滾珠直線偏差對導軌副預緊摩擦力影響關系計算所得的理論預緊摩擦力與試驗測量值最大偏差為6.45%，滿足總體精度，驗證本文建立模型的準確性。

(3)高效裝配方案與人工反復適配目標預緊摩擦力相比，當人工安裝適配次數達到兩次時，效率提高；當人工適配次數三次時，效率提高超過50%，體現了高效裝配方案的可行性。