基于滑模自適應控制的雙關節機械手軌跡跟蹤*

楊明博，周紫陽

(北方工業大學機械與材料工程學院，北京 100043)

0 引言

近年來，隨著機器人技術和智能控制技術的不斷發展，機械手作為機器人技術和控制技術的載體吸引了眾多研究人員的目光[1]。其中雙關節機械手是通過兩個關節共同協作來進行物體的抓取和移動。雙關節機械手具有可靠度高、靈活性強、速度快、處理能力強，工作高效等特點，被廣泛應用到醫療和工業生產等領域中[2-4]。

目前針對機械手的軌跡跟蹤控制，研究人員提出了不同的控制方法。比較經典的算法有PID控制[5-7]、自適應控制[8-10]、神經網絡控制[11-13]、反步控制[14-15]等。在實際應用的過程中，PID算法應用較為廣泛，但是PID算法更適合相對簡單情況，當被控對象結構復雜時，機械手的軌跡跟蹤精度難以得到保證。文獻[16]中采用傳統PID控制，通過調節PID參數進行移動液壓機械手的軌跡跟蹤控制，仿真結果能大致追蹤到機械手的軌跡。但是此方法的誤差較大，并且調節參數需要的時間較長，當控制能量需求較大時也很難滿足需求。神經網絡控制在針對非線性和不確定系統有著明顯的優勢，也是較先進的控制方法[17]。文獻[18]中運用神經網絡控制算法對機械手進行動力學建模，對未知部分進行分析與逼近，最后通過在線建模和前饋補償來實現對機械手軌跡的高精度跟蹤。自適應控制是指系統能夠根據環境的變化來調整自身的行為或性能。文獻[19]采用自適應控制，通過自動調節不確定項來減小誤差，提高控制精度。但是系統的控制性能明顯依賴于增益值，要獲得更好的性能，就必須使用較高的增益。文獻[20]在采用自適應思想設計控制器時，引入在線可調參數，使得控制器能夠跟蹤所給定的有界參考信號，跟蹤誤差也能收斂到包含零點的很小鄰域內。文獻[21]采用傳統的滑模控制進行控制器設計，雖然最終滑模控制的切換增益大于不確定項或未建模項的上限，可以實現系統的魯棒穩定，但是較大的切換增益導致抖振現象的產生，進而導致機械臂在滑模面附近產生振蕩，控制精度受到影響。

本文采用滑模自適應控制策略來進行機械手的軌跡跟蹤控制，相比其他文章，本文考慮了內部不確定因素的干擾，設計干擾的自適應律并且優化自適應參數，加快了誤差收斂速度，提升了機械手的軌跡跟蹤精度。最后本文采用模糊控制和PID控制作為對照組實驗，仿真結果表明了本文控制算法的有效性和優越性。

1 機械手的動力學模型

1.1 坐標系的建立

描述機械手運動狀態最主要的量是位姿，為了描述機械手在同一位置所處的不同狀態，一般選擇在連桿處建立固定的坐標系，坐標系如圖1所示。

圖1 機械手坐標系示意圖

由圖1可知，桿1的質心為m1；桿2和未知重物的質心為m2；桿1長為l1；桿2長為l2；桿1質心到原點的距離記為d1；關節到桿2和未知重物的質心距離為d2；桿1和桿2關節旋轉角度分別為θ1和θ2；桿1的轉動慣量為I1；桿2和未知重物的轉動慣量為I2；γ為桿2和未知重物運動時旋轉的角度。

1.2 動力學模型

動力學模型描述了機械手系統控制輸入轉矩和結構運動之間的關系。本文運用歐拉拉格朗日法來建立機械手的動力學模型。因為拉格朗日力學法只需要提供機械臂的運動速度，而不需要求內作用力，這使得模型在運算中得到簡化。通過歐拉拉格朗日法進行運算簡化可得雙關節機械手的動力學方程描述為如下形式[22]：

(1)

C為哥式力和離心力矩陣，具體表述為：

G為機械臂的重力矩陣，具體表述為：

將自身參數的不確定性表述為α、β、ε、η這4個量。相應的具體表達式為如下形式：

ε=m2l1d2cosγ

η=m2l1d2sinγ

其中，各矩陣中的n1、n2表達式為：

n2=g/l1

2 控制器的設計

設計滑模函數為：

(2)

由于雙關節機械手依靠力矩驅動整個系統運動，所以設計控制器時主要進行力矩的設計。設計控制器的表達式為：

(3)

由機械手的動力學特性可知，H是對陣的正定矩陣，并且有界。所以可設計為如下形式的李雅普諾夫函數，具體為：

(4)

τ1、τ2、τ3、τ4均大于0。于是對李雅普諾夫函數進行求導可得：

(5)

將式(3)帶入進行運算可得：

(6)

將T的表達式帶入進一步運算可得：

(7)

根據機械手動力學方程的線性化特性有：

(8)

(9)

由雙關節機械臂動力學模型特性式可知[23]：

因為sTYPe=PeTYTs，并且sTYPe是對稱矩陣，進一步化簡得：

(10)

因為本文研究的是內部未知因素對擾動的影響，故以未知量作為自適應律，并且設計自適應律為如下形式[24]：

(11)

所以可得到：

(12)

3 仿真研究分析

根據理論部分的推理結果進行仿真分析。首先是系統基本參數的確定，取機械手的關節1質量為m1=2 kg；桿1長l1為1 m；桿2和未知重物的質量m2=4 kg；桿1質心到原點的距離d1為0.5 m；桿1的轉動慣量I1為0.125；關節到桿2和未知重物的距離d2為1 m；桿2和未知重物的轉動慣量I2為0.4；將γ設定為0°；關節1的理想運動軌跡為sin3πt；關節2的理想運動軌跡sin2πt；

;kd=50 00 50;λ=3 00 3

仿真結果如圖2～圖4所示。

圖2 關節1和關節2的角度跟蹤

圖3 關節1和關節2的角 度跟蹤誤差圖4 α、β、ε、η收斂情況

根據仿真得到的結果進行分析。從圖2可以看出，機械手系統的期望運動軌跡能夠被穩定跟蹤到；圖3則反應了跟蹤量的誤差，可以看出誤差在隨著時間變化逐漸趨近于0，這反映出了控制器具有不錯的跟蹤精度。其中關節1在3 s時，角度能夠被穩定跟蹤到，關節2在3.2 s時，角度能夠被穩定跟蹤到。通過以上分析可以看出通過運用滑模自適應控制策略設計的控制器能很好的跟蹤到期望軌跡，保證了跟蹤的精度，證明了這種控制策略的有效性。此外，系統自身未知參數由α、β、ε、η來確定，根據表達式可計算出α、β、ε、η值，分別為α=9.025，β=4.4，ε=4，η=0。為方便進行分析，對這4個量進行歸一化處理并進行仿真。根據圖4的仿真結果可以看出，這4個量均呈現收斂狀態并且收斂速度較快，由此反映出系統的未知參數能夠很好的得到抑制，使系統的控制精度得到保證。

圖5 模糊控制關節1和 關節2角度跟蹤 圖6 模糊控制關節1和 關節2角度跟蹤誤差

根據圖5和圖6仿真實驗結果可以看出，雖然在角度跟蹤方面能大致跟蹤到理想值，但是誤差相對滑模自適應算法較大，并且誤差呈現出震蕩狀態，沒有趨近于零的趨勢。導致這一點的原因可能是在設計模糊規則及隸屬函數時是完全憑經驗進行的，而且這種簡單的模糊處理會導致系統的控制精度降低和動態品質變差。第二組對照組仿真實驗采用PID控制算法，如圖7和圖8所示。仿真結果可以看出采用PID算法也能很好的跟蹤到所設定的軌跡，并且具有較高的精度。但是PID算法在調節3個環節的參數時相對繁瑣，如果參數選取的不合適，超調現象相對嚴重。可以看出，相比PID控制和模糊控制，文本提出的控制策略具有一定的優越性。

圖7 PID算法關節1角度跟蹤 圖8 PID算法關節1和關節2 角度跟蹤誤差

4 結論

(1) 提出了一種滑模自適應控制算法，該算法可以在受內部參數的不確定性影響下提高機械手軌跡跟蹤精度。

(2) 優化了自適應參數，提高了誤差收斂速度和軌跡跟蹤精度。

(3) 通過采用模糊控制和PID控制進行仿真對比，證明本文提出的滑模自適應控制算法的優越性。