曲線磨削沖程運動速度規劃研究*

□ 趙 達 □ 劉福軍 □ 虞夢茜 □ 胡德金 □ 許黎明

上海交通大學 機械與動力工程學院 上海 200240

1 研究背景

曲線磨削是一種精密加工方式,可加工復雜輪廓曲線,加工精度高,表面質量好。輪廓曲線的實現方式為通過圓弧截面砂輪點磨削,形成待加工曲線的包絡線。加工面是以直導線、曲線組合為加工母線的輪廓曲面[1-2]。曲線磨削原理如圖1所示。

▲圖1 曲線磨削原理

曲線磨削時,砂輪架往復運動,稱為沖程運動,完成直導線方向上材料的去除。較高的沖程運動頻率可以實現較高的曲線成形精度,并提高加工效率。與此同時,沖程運動成為曲線磨削中主要的振動激勵源,會對機床產生沖擊,進而影響加工精度、表面質量、穩定性等。傳統的曲線磨削沖程運動由曲柄滑塊機構來實現,沖程運動軌跡由機構決定,無法更改,更無法實現勻速加工。采用伺服驅動結構實現砂輪沖程運動,結合現代運動控制技術,可以實現復雜的運動學規劃,為滿足新的性能需求奠定了基礎。

針對曲線磨削中的沖程運動規劃問題,筆者首先討論了速度規劃的設計思想,然后對傳統速度規劃進行了分析,進而提出基于連續急動度的速度規劃曲線,并基于沖程運動的循環特性提出進一步的改進方法,最后進行了不同規劃的理論與試驗對比。

2 速度規劃設計思想

機床進給系統常用的加減速控制方法有梯形加減速、指數加減速、S形加減速[3-6]。梯形加減速分為加速、勻速、減速三個階段,速度曲線為梯形。指數加減速分為指數衰減加速、勻速、指數衰減減速三個階段,克服了梯形加減速的不平穩問題,但是初始加速度較大,容易引起沖擊。S形加減速一般分為七段,包括加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段,速度曲線為S形,加速度曲線呈梯形。這幾種方法的急動度,即加加速度存在突變,使系統受到沖擊而產生振動。急動度是描述加速度變化快慢的物理量,在加工過程中是一個重要的影響因素,如刀具加速度的快速變化會導致刀具過早磨損,使刀具切削不均勻等。

沖程運動中有兩個宏觀參數——行程與頻率,保持相同的行程和頻率,就能比較不同速度規劃的性能。性能主要指最大加速度、最大急動度。最大加速度衡量速度規劃對機械結構強度、電機驅動能力的影響,最大急動度衡量速度規劃對系統振動的影響。

對于磨削沖程運動中的速度規劃,還需要考慮加工段的速度特性,即切削行程的速度變化規律及急動度大小。加工段是否勻速與表面加工質量關系密切,但部分適合沖程運動的速度規劃若要實現勻速加工,則會導致急動度劇烈變化。

綜合以上分析,在速度規劃的過程中主要考慮急動度的連續性、最大加速度、最大急動度、加工段的急動度大小。為了衡量不同規劃間的性能差別,在設計、仿真不同速度規劃時,保持行程與沖程頻率相同,筆者研究方案中行程取30 mm,沖程頻率為75次/min。

3 速度規劃算法

3.1 傳統速度規劃

(1) 梯形速度規劃。作為一種經典速度規劃,梯形速度規劃的速度和加速度曲線如圖2所示。梯形速度規劃中,在啟動、停止、勻速前后節點均有加速度突變,如不考慮機械系統彈性,急動度在理論上為無窮大,會產生沖擊干擾,易引發磨削過程不穩定等現象。

▲圖2 梯形速度規劃曲線

(2) 基于曲柄滑塊運動的速度規劃。傳統曲線磨床的沖程運動由曲柄滑塊機構來實現,設曲柄長為r,連桿長為l,角速度為ω,得到隨時間t變化的運動位移函數s(t)為:

(1)

對s(t)求導,可以得到速度v、加速度a、急動度j函數。曲柄滑塊機構速度規劃曲線如圖3所示。

▲圖3 曲柄滑塊機構速度規劃曲線

由圖3可以看出,曲柄滑塊機構速度規劃曲線相對梯形速度規劃曲線更為平滑,急動度有限且連續可導,但受結構所限,運動形式固定,在加工段處的急動度最大。

3.2 基于連續急動度的速度規劃

實現連續急動度的主要方法有:① 提升速度多項式的階數[7];② 采用無限可導函數,如正弦函數等,作為速度函數基底。筆者采用正弦函數疊加梯形速度規劃的方式,設計了基于連續急動度的速度規劃曲線,然后通過運動特性進行優化。

(1) 正弦函數疊加梯形速度規劃。由于梯形速度規劃中的加速度呈階躍變化,而三角函數一個周期的積分為0,因此可使加速過程中的加速度以梯形速度規劃中的加速度為基準做一個周期的正弦波動,正弦分量積分后為0,不影響原本達到的勻速過程,且一個周期中急動度的起始點與終止點都為0,實現了連續急動度。根據上述分析,正弦函數疊加梯形速度規劃的加速度方程為正弦函數加一個常數項。

速度函數v(t)為:

(2)

加速度函數a(t)為:

(3)

急動度函數j(t)為:

(4)

式中:a1、a2分別為加減速過程中的平均加速度與平均減速度;t1、t2分別為加速時間與減速時間;T為單向行程所需時間。

正弦函數疊加梯形速度規劃稱Ⅰ型疊加規劃,設計思路為通過正弦曲線疊加梯形速度規劃曲線來抵消梯形速度規劃中加速度與急動度的突變。Ⅰ型疊加規劃曲線如圖4所示。由圖4可以看出,急動度連續,整個運動過程也較為平滑,不存在無限大急動度,可以實現加工段的勻速運動,由于起始、終止加速度均為0,因此適合在單次沖程運動時使用。

▲圖4 Ⅰ型疊加規劃曲線

(2) 行程端點以最大加速度過渡的速度規劃。研究發現,曲柄滑塊機構運動的最大急動度相對更小,主要是由于在整個行程的端點處存在加速度,而傳統速度規劃在起止點的加速度為0。這類似數控系統中的速度前瞻處理[8-10]。傳統進給速度的規劃將加工路徑分為多段,每一段的路徑起末速度為0,會導致電機加減速頻繁,影響加工表面質量,速度前瞻處理通過提前計算下一段路徑,以一個非0的速度過渡。借鑒速度前瞻處理思路,筆者提出一種適用于沖程運動的速度規劃算法,行程端點處加速度不為0。

對于這類速度規劃,筆者設計了端點加速度最大的正弦函數與梯形速度規劃疊加速度規劃,稱為Ⅱ型疊加規劃,行程中點急動度為0,可插入勻速加工段。同時設計了正弦函數速度規劃,追求急動度最小,但在加工段附近的急動度會比較大。

對Ⅱ型疊加規劃進行設計,由于行程端點可有加速度過渡,因此將端點設為加速度極大點。因為如果端點不是加速度極大點,那么在端點的前后存在加速度減小、增大的過程,這樣將是低效、無意義的。由此,單個行程的過程包括減加速段、勻速段、加減速段,減加速段與加減速段對稱。

先考慮減加速段(t

j(t)=-jmaxsin(πt/tm)

(5)

式中:jmax為急動度最大值;tm為減加速段與加減速段的時間。

對式(5)進行積分,得到加速度函數a(t)。結合a(t)在t=0處為最大值,在t=tm處為0,可以得到加速度函數a(t)為:

(6)

對a(t)進行積分,得到速度函數v(t)為:

(7)

對v(t)進行積分,得到位移函數s(t)為:

(8)

對于Ⅱ型疊加規劃,待定參數有兩個——jmax與tm,因此需要兩個條件以確定整個系統的規劃。在速度規劃中已含有一個條件,即行程是固定的,所以只需要另一個條件即可確定唯一的速度規劃。

對于所需的第二個約束條件,分兩種情況:① 不需要勻速加工段的速度規劃,那么減加速段結束后立即減速,由對稱性可知,t=tm時行程為1/2,根據行程和時間可求得jmax,得到整個速度規劃過程的解;② 需要勻速加工段的速度規劃,給出需要勻速加工段的長度后,即確定了唯一的速度規劃。

對于無勻速段的Ⅱ型疊加規劃,由上述分析條件可解得jmax為8 383.5 mm/s3,tm為0.2 s。根據對稱性,整個過程的急動度函數j(t)為:

(9)

根據急動度可得加速度a、速度v,得到無勻速段Ⅱ型疊加規劃曲線,如圖5所示。由圖5可以看出,位移、速度、加速度、急動度經過一個周期均回到初始值,即以這一周期進行循環,能夠得到各參數連續,減小柔性沖擊。

▲圖5 無勻速段Ⅱ型疊加規劃曲線

需要設計勻速加工段時,可在上述曲線中的T/2、3T/2處插入兩個勻速段,由于這兩個位置的加速度及急動度都為0,因此插入勻速段不影響連續性,如圖6所示。簡單正弦函數速度規劃不具備類似特性,因為簡單正弦函數速度規劃在加工段處的急動度是極大值,若插入勻速段,勻速段的急動度為0,將引起急動度突變。

▲圖6 帶勻速段Ⅱ型疊加規劃曲線

(3) 正弦函數速度規劃。曲柄滑塊機構的速度曲線存在不對稱性,會導致局部急動度偏大,可采用完全對稱的正弦函數設計速度規劃曲線,位移函數s(t)=-Acos(ωt),A為1/2行程,正弦函數無限次連續可導,急動度連續。

3.3 速度規劃理論性能比較

針對設計的Ⅰ型疊加規劃、Ⅱ型疊加規劃、正弦函數速度規劃,以及傳統梯形速度規劃,在無勻速段,行程為30 mm,沖程頻率為75次/min的條件下,進行運動學性能比較,結果見表1。

表1 速度規劃運動學性能比較

由表1數據可見,Ⅱ型疊加規劃相比Ⅰ型疊加規劃,最大加速度與最大急動度都較小。

4 試驗研究

針對表1中的四種速度規劃方法,開展了速度規劃性能試驗,試驗平臺為自主開發的曲線磨削樣機,如圖7所示。使用開放式數控系統的電子凸輪功能實現所設計的速度規劃,試驗中行程為30 mm,沖程頻率為75次/min。

▲圖7 速度規劃性能試驗平臺

在沖程運動速度規劃設計中,主要關注最大加速度與最大急動度。為此,在試驗過程中測量兩個參數,一個是砂輪架Y軸振動加速度信號,Y軸方向的振動直接影響加工質量,另一個是驅動Z軸的伺服電機功率。采用功率采集模塊,通過測量電流及電壓信號后計算得出電機功率。分別測量表1中四種速度規劃下的振動加速度信號,如圖8所示。

由圖8可知,傳統梯形速度規劃的振動是最大的,Ⅰ型疊加規劃好于傳統梯形速度規劃,但存在部分區間振動過大的現象,Ⅱ型疊加規劃與正弦函數速度規劃的振動相對較小,說明設備所受到的沖擊較小。

▲圖8 不同速度規劃振動加速度信號

對試驗數據進行處理,得到振動加速度信號峰峰值及電機功率峰值,見表2。由表2數據可見,所設計的Ⅱ型疊加規劃的振動加速度峰峰值最小,說明產生的沖擊相對較小;電機功率峰值也最小,說明對電機性能的要求較低。

表2 試驗峰值數據

5 結束語

筆者針對曲線磨削中的砂輪沖程運動規劃問題,提出優化速度規劃的設計思想,進而設計了基于連續急動度的速度規劃方法,并針對砂輪沖程運動的特點進行了改進,使行程兩端點的加速度最大。仿真結果表明,所設計的Ⅱ型疊加規劃與傳統速度規劃相比,在運動學指標方面取得了顯著的提高。試驗結果表明,所設計的Ⅱ型疊加規劃有效降低了柔性沖擊和電機功率需求,擴大了磨削工藝選擇范圍,為優化曲線磨削沖程運動提供了參考。