“圖形與幾何”數學實驗教學案例舉隅

【摘 要】“圖形與幾何”這部分課程內容的教學，可以結合學生實際，設計一些能引導學生探究發現的實驗活動，讓學生在實驗探究的過程中掌握知識、形成技能、感悟數學思想方法、積累數學活動經驗。

【關鍵詞】數學實驗;動手操作;初中數學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）37-0048-05

【作者簡介】黃秀旺，南京市江寧區教學研究室（南京，211100）副主任，高級教師，江蘇省特級教師。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）非常重視數學實驗教學，如2011年版課標在“課程基本理念”中指出“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”。數學實驗是一種探索性學習活動，在實驗過程中，學生的手腦眼都要“動”起來，這樣的活動有利于促進學生全面發展，也是提高學生數學核心素養的重要途徑。

“圖形與幾何”是2011年版課標界定的課程內容之一，內容包括三個部分：圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標。我們可以把這些內容分為數學概念，數學基本事實，數學規律（定理、公式、法則、運算規律），問題解決（或知識應用）四大部分。認真研究這些內容就會發現，大部分內容都可以通過教師設計的問題，引導學生做數學實驗活動完成學習任務。以下筆者舉部分案例來作說明。

一、數學概念

數學概念是構成數學教材的基本結構單位，是數學知識的核心。數學公式、法則、規律和定理等都是反映數學對象和概念之間關系的具體知識。概念學習至關重要，數學概念本身就是2011年版課標強調的基礎知識，是學生感悟基本思想和方法的載體，也是學生進行分析、判斷、歸納與推理等活動的重要依據。

對于從現實生活中抽象概括而來的一些數學概念，我們可以充分利用實物模型或通過數學實驗來學習。

案例1：全等形與全等三角形的引入過程。

（1）觀察下面三組圖片，你能發現什么現象？你能把每組中的兩張圖片疊合在一起嗎？

（2）觀察圖2中的左、右兩個圖形，二者的形狀和大小分別有怎樣的關系？你能驗證這些關系嗎？相互交流。

（3）每個同學先任意剪一個三角形硬紙片，在三個頂點處標上A，B，C，記為△ABC。兩個同學作為一組互換自己剪好的三角形硬紙片。

（4）每個同學以手中拿的三角形硬紙片為“模板”，再剪一個與其完全一樣的三角形硬紙片，記為△A'B'C'（圖3），請問△ABC與△A'B'C'能重合嗎？他們是全等形嗎？

【設計意圖】全等形是指能夠完全重合的兩個平面圖形，而全等三角形是全等形的子概念，在現實生活中有著廣泛的應用，所以在現實生活中存在著大量的“原型”或“模型”。根據2011年版課標在“教材編寫建議”提出的“呈現內容的素材應貼近學生現實”的要求，我們設計了上述4個小問題。在學生觀察、思考（1）（2）問題的基礎上，教師給出全等形的概念。問題（3）（4）是引導學生進行實驗操作的環節：學生通過自己剪硬紙片三角形的活動可以很自然地發現圖3所示的△A'B'C'與△ABC是全等的。

教學時，教師可拿著某個學生剪好的硬紙片三角形進行演示，讓學生自己發現這個同學剪的硬紙片三角形與它的三角形“模板”是完全重合的，所以這兩個三角形是全等三角形，并及時給出對應頂點、對應邊和對應角的概念。

“圖形與幾何”中的很多概念，如軸對稱、軸對稱圖形、線段的垂直平分線、角的平分線、位似圖形、圓的切線、割線等，都可以在教師創設好的問題引導下，讓學生動手實驗，再給出這些概念。這樣導學有助于學生動手操作能力、創新發現能力的形成與發展，能培養、發展和提高學生的數學核心素養。

二、基本事實

2011年版課標在“圖形與幾何”部分給出了九個基本事實：①兩點確定一條直線;②兩點之間線段最短;③過一點有且只有一條直線與這條直線垂直;④兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，則兩直線平行;⑤過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行;⑥兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等;⑦兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等;⑧三邊分別相等的兩個三角形全等;⑨兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

對于這些基本事實，幾乎都可以通過實驗，讓學生自己發現。

案例2：“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”的發現過程。

2011年版課標給出的第五個基本事實是“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”。對于這個基本事實，我們可以引導學生通過下面的實驗自主發現：

（1）P是直線a外的一點，請按照下頁圖4所示的步驟，利用三角尺和直尺過點P畫直線b，使b∥a。

（2）請用自己的語言把畫圖的步驟敘述出來，并相互交流。

（3）你認為經過點P能畫幾條與已知直線a平行的直線？相互交流。

【設計意圖】第一個問題是讓學生按照圖4給定的程序進行畫圖活動，這個程序展現了利用三角尺和直尺過直線外一點畫已知直線平行線的全部過程。

教學時，教師應要求學生正確理解圖4中四個圖例的意義，并把握好操作要點：①把三角尺的斜邊與已知直線a重合;②把直尺緊靠三角尺中的短直角邊;③用左手按住直尺不動，右手將三角尺沿直尺向上推動，一直推到三角尺的斜邊恰好經過點P為止，這時沿上面三角尺的斜邊畫出直線。按照這三步畫出的圖形④中的b就是所要畫的圖形，即b∥a。在學生理解了圖4中四個圖例的意義并畫出直線b以后，自然就能對第二個問題給出準確的敘述。在畫圖的基礎上，經過相互交流，學生對第三個問題也能給出確定的回答。

對于基本事實，除了要求學生能自主發現外，還要讓學生能利用這些基本事實完成下面任務：（1）證明涉及線段、角、直線、三角形、四邊形性質的約40個定理;（2）探索圓、相似形的一些性質;（3）了解圓、相似形中某些定理的證明。

三、數學規律

這里的“數學規律”泛指2011年版課標中的數學定理、公式、性質、法則、運算規律等。對于數學規律，幾乎都可以讓學生在實驗操作的過程中自主發現。

案例3：勾股定理的逆定理的發現過程。

（1）首先取一根長度為24cm的細繩，將它首尾接在一起，然后用細繩圍成一個△ABC，使三邊的長度分別為AC=6cm，CB=8cm，BA=10cm，最后用圖釘把△ABC釘在一塊木板上（圖5）;

（2）驗證△ABC各邊的長度是否滿足a2+b2=c2;

（3）用量角器度量∠C的大小，你有何發現？由此得出怎樣的判斷？

（4）再取一根長度為30cm的細繩，圍成一個邊長為5cm，12cm，13cm的三角形，然后重復（2）（3）兩個步驟（圖6）。你有何發現？

（5）一般地，如果△ABC的三邊為a，b，c（圖7），且滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形嗎？你能給出證明嗎？

【設計意圖】2011年版課標要求“探索勾股定理以及逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”。為了讓學生通過實驗、操作等系列活動，得到邊長分別等于a，b，c且滿足a2+b2=c2的三角形是直角三角形，我們設計了上面的實驗活動。

學生在第（1）個問題引導下，通過動手得到了一個邊長分別為6，8，10的三角形，通過計算發現它三邊的長度滿足a2+b2=c2，在用量角器實際度量的基礎上，得出△ABC是直角三角形的結論。為驗證結論具有普遍性，又作了邊長分別為5，12，13的三角形，得到了相同的結論。于是由“實驗—計算—度量”等活動猜想出勾股定理的逆命題是正確的。為了用數學的方法給出一般性的證明，設計了問題（5），學生對這個問題的證明可能有一定的難度，教學時，教師要給出必要的點撥，引導學生利用“同一法”給出證明，從而得到勾股定理的逆定理。有了這個定理，學生就可以根據三角形的邊長判定它是否為直角三角形了，這個方法實質上是運用代數方法解決幾何問題，用三角形“邊長”的數量關系，判斷三角形“形狀”的性質，在這個過程中，學生可以感受到數學內部“數與形”之間存在的實質性聯系。

四、問題解決

強化問題解決是2011年版課標提出的課程目標，實施問題解決教學能讓學生“運用數學的思維方式進行思考”，并且增強學生發現問題、提出問題的能力以及分析問題、解決問題的能力。在進行問題解決教學時，需要解決的問題往往有個產生的“背景”，這就是教師應下力氣“探索設計”的地方。通過實驗操作給出問題情境是常用的方式之一。下面的這道中考題為這樣的教學設計提供了一個有益的嘗試。

例4：折疊正方形中的問題。（2019年山西中考卷）

動手操作——

第一步：如圖8①正方形紙片ABCD沿對角線AC所在的直線折疊，展開鋪平，再沿過點C的直線折疊，使點B，點D都落在對角線AC上。此時，點B與點D重合，記為點N，且點E，點N，點F三點在同一條直線上，折痕分別為CE，CF。如圖8②。

第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖8③。

第三步：在圖8③的基礎上繼續折疊，使點C與點F重合，得到圖8④，展開鋪平，連接EF，FG，GM，ME，如圖8⑤。圖中的虛線為折痕。

問題解決：

（1）在圖8⑤中，∠BEC的度數是? ?，[AEBE]的值是? ?;

（2）在圖8⑤中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由;

（3）在不增加字母的條件下，請你以圖8⑤中的字母表示的點為頂點，動手畫出一個菱形（正方形除外），并寫出這個菱形：? ? ?。

【思路分析】（1）通過折疊轉化角相等，進而利用內角和求∠BEC的度數，再利用45°的三角函數解決線段的比值問題;（2）第1問啟示我們可以通過折疊求角的度數，進而得到四邊形各內角的度數為90°，利用三個內角為90°的四邊形是矩形，進而可以判定四邊形是矩形;（3）利用多次折疊可以得到很多相等的線段以及互相垂直的線段，可以利用四邊相等的四邊形是菱形或對角線互相垂直平分的四邊形是菱形來得到符合條件的菱形。

【設計意圖】考題以學生常見的“正方形”為出發點，以反復折疊正方形紙片為手段，分為“動手操作”“問題解決”兩大環節，第一個環節“動手操作”部分，對一個正方形紙片進行了連續的三次折疊，并且給出了四個折疊圖以及打開后的圖形⑤;第二個環節“問題解決”部分，針對圖形⑤提出了三個問題要求學生解答。題目主要考查的知識點有折疊、三角形內角和、三角函數、矩形、菱形等，屬于綜合性的“壓軸題”。這樣的問題有助于培養學生的數學閱讀理解能力、動手操作能力、猜想發現能力以及數學推理能力等。

從以上案例看，“圖形與幾何”部分的很多內容都可以通過實驗操作而獲得。教師應認真研讀教材內容，結合學生實際，在學生的“最近發展區”內設計一些能引導學生通過實驗活動去探究的問題，讓學生在實驗探究的過程中達到掌握“四基”，形成技能，感悟思想方法以及積累數學活動經驗的目的。

【參考文獻】

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]李樹臣.中學數學課程內容選取的原則[J].中學數學，2010（6）：1-5.