基于無網(wǎng)格法的非均勻彈性地基上變厚度加筋板彎曲與固有頻率分析

楊健生, 曾治平, 韋冬炎, 彭林欣*,2

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004;2.廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

1 引 言

加筋板具有剛度大和質(zhì)量小的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于土木、航天和船舶等工程[1]。這些結(jié)構(gòu)可能發(fā)生大變形甚至斷裂，采用基于網(wǎng)格(或單元)的數(shù)值計(jì)算方法求解這類問題存在網(wǎng)格畸變或裂紋與網(wǎng)格線不重合等問題，需要重置網(wǎng)格。

無網(wǎng)格方法不依賴于網(wǎng)格或單元，用于分析上述問題時(shí)具有較大的優(yōu)勢(shì)。Aghahosseini[2]提出了一種用于分析各種介質(zhì)類型動(dòng)態(tài)斷裂的新型無網(wǎng)格方法，該方法利用了裂紋尖端附近的精細(xì)節(jié)點(diǎn)配置以及特殊的無網(wǎng)格集成技術(shù)。Lin等[3]采用無網(wǎng)格光滑流體動(dòng)力學(xué)粒子(SPH)方法模擬了變厚度功能梯度梁(FGBs)的幾何非線性彎曲變形。Peng等[4]采用無網(wǎng)格法對(duì)加筋板進(jìn)行了幾何非線性分析。宋彥琦等[5]將基于S-R定理的無網(wǎng)格法從二維發(fā)展到三維，并對(duì)三維懸臂梁進(jìn)行了幾何非線性分析。王莉華等[6]采用分區(qū)徑向基函數(shù)配點(diǎn)法分析了局部存在高梯度的大變形問題。段慶林等[7]采用基于移動(dòng)最小二乘近似的一致高階無網(wǎng)格伽遼金法進(jìn)行了彈塑性大變形分析。

采用無網(wǎng)格法研究地基板的報(bào)道較少，大多集中在地基板自身力學(xué)性能的分析，而考慮地基影響的不多。滕兆春等[8]采用微分變化法研究了非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板的固有頻率特性。熊淵博等[9]用無網(wǎng)格局部MLPG(Petrov-Galerkin)方法分析了Winkler彈性地基上正交各向異性板的彎曲問題。夏平等[10]采用無網(wǎng)格局部徑向點(diǎn)插值方法(LRPIM)研究了Pasternak彈性地基上中厚板的靜力彎曲問題。吳宇等[11]計(jì)算了彈性地基上加肋斜板的自由振動(dòng)頻率。

本文采用Winkler彈性地基模型，利用由Belytschko等[12]提出的無網(wǎng)格伽遼金方法，并結(jié)合一階剪切變形理論[13]，對(duì)非均勻彈性地基上矩形變厚度加筋板的靜力彎曲和自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。

2 變厚度加筋板基本方程

2.1 位移場

根據(jù)移動(dòng)最小二乘法(MLS)[14]近似可得第I個(gè)離散節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)在計(jì)算點(diǎn)x處的值為

NI(x)=pT(x)A-1(x)BI(x)

(1)

BI(x)=p(xI)WI(x)

式中xI和x分別為離散點(diǎn)與計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)；pT(x)={p1(x),p2(x),…,pm(x)}為基函數(shù)向量，m為基函數(shù)個(gè)數(shù)，本文采用二維二次多項(xiàng)式基函數(shù)；WI(x)為權(quán)函數(shù)，采用三次樣條權(quán)函數(shù)，矩形影響域；N為離散節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

彈性地基變厚度加筋板無網(wǎng)格模型如圖1所示。以x方向筋條為例，基于一階剪切變形理論[13]可得板及x方向筋條的位移場Up和Us x分別為

圖1 彈性地基變厚度加筋板無網(wǎng)格模型

(2)

(3)

結(jié)合移動(dòng)最小二乘法[14]近似將板和x向筋條的位移場寫成矩陣形式為

(4)

(5)

式中δp I為板上第I個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)(不是真實(shí)位移)，up I,vp I和ωp I分別為沿x，y和z方向的平動(dòng)，θp x I和θp y I分別為繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角，δs x i為x向筋條的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)，us x i和ωs x i分別為沿x和z方向的平動(dòng)，φs x i為繞y軸的轉(zhuǎn)角，N和n分別為板和x方向筋條的離散節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2.2 位移協(xié)調(diào)條件

離散時(shí)板與筋條單獨(dú)進(jìn)行互不影響，為了使二者能夠成為一個(gè)整體協(xié)同工作，利用位移協(xié)調(diào)條件對(duì)筋條進(jìn)行處理。以x向筋條為例，如圖2所示，每個(gè)筋條節(jié)點(diǎn)S在板上都存在一個(gè)P點(diǎn)(不一定是板節(jié)點(diǎn))與之對(duì)應(yīng)，二者具有相同的x和y坐標(biāo)，不考慮板厚度方向的變形，存在式(6，7)兩個(gè)位移關(guān)系，在筋條與板的接觸面上存在C點(diǎn)，C,S和P三點(diǎn)具有相同的x和y坐標(biāo)，存在式(8)的位移關(guān)系。

圖2 位移協(xié)調(diào)

[ωx]S=[ω]P,[φx]S=[θy]P,[ux]C=[u]C

(6～8)

利用式(6～8)即可進(jìn)行筋條與板之間的位移協(xié)調(diào)，得到協(xié)調(diào)矩陣Tp和Ts p x，同理可得y向筋條協(xié)調(diào)矩陣Ts p y，具體協(xié)調(diào)過程見文獻(xiàn)[15]，若改變筋條的位置，只需重新計(jì)算矩陣Tp即可，不需要重新計(jì)算平板部分。

2.3 非均勻彈性地基模型

采用Winkler彈性地基模型，結(jié)合位移場式(4)可得板與非均勻彈性地基之間的接觸勢(shì)能為式(9)，K(x,y)為彈性地基剛度系數(shù)，從剛度系數(shù)為x和y的函數(shù)可知該方法適用于任意形式非均勻彈性地基。

(9)

2.4 彈性地基變厚度加筋板的勢(shì)能

2.1節(jié)通過無網(wǎng)格模型導(dǎo)出了板的位移場式(4)，代入幾何方程可得板的平面內(nèi)應(yīng)變?chǔ)蕄和橫向剪切應(yīng)變?chǔ)藀為

(10)

(11)

式中逗號(hào)表示對(duì)相應(yīng)變量求偏導(dǎo)。板的形變勢(shì)能可以表示為

(12)

h1為圖2中板在節(jié)點(diǎn)以上部分的厚度，h2為板在節(jié)點(diǎn)以下部分的厚度，α=6/5為剪切修正因子，E，G和v分別為彈性模量、剪切模量和泊松比。將板與彈性地基之間的接觸勢(shì)能與板的形變勢(shì)能疊加得

(13)

筋條用梁模型來模擬，結(jié)合2.1節(jié)的筋條位移場式(5)與幾何方程可以得到x向筋條的形變勢(shì)能為式(14)，本文認(rèn)為筋條與板由相同材料制成，即材料常數(shù)E，v和G相同。

(14)

式中ws x為x向筋條的寬度，Ss x為x向筋條的橫截面積，同理可得y向筋條的勢(shì)能。將板的形變勢(shì)能與筋條的形變勢(shì)能以及板與地基之間的接觸勢(shì)能進(jìn)行疊加得到彈性地基加筋板的總勢(shì)能為

(15)

式中Ks x和Ks y分別為x和y向筋條的剛度矩陣。結(jié)合2.2節(jié)的位移協(xié)調(diào)矩陣Ts p x和Ts p y，則彈性地基變厚度加筋板的總勢(shì)能可以表示為

(16)

2.5 控制方程

非均勻彈性地基上變厚度加筋板在橫向荷載作用下的總能量為

(17)

由最小勢(shì)能原理δΠ=0并采用完全轉(zhuǎn)換法[16]對(duì)位移邊界進(jìn)行處理后，可得彈性地基變厚度加筋板彎曲的控制方程為

(18)

根據(jù)能量法并結(jié)合位移協(xié)調(diào)條件，自由振動(dòng)時(shí)非均勻彈性地基變厚度加筋板的動(dòng)能為

(19)

根據(jù)Hamilton原理并利用完全轉(zhuǎn)換法[16]對(duì)本質(zhì)邊界進(jìn)行處理，得到彈性地基變厚度加筋板的自由振動(dòng)控制方程為

(20)

3 算例分析

本節(jié)通過具體算例進(jìn)一步分析上述方法的有效性。算例中SSSS，SCSC，SSCC和CCCC分別表示邊界條件為四邊簡支、兩對(duì)邊簡支兩對(duì)邊固支、兩鄰邊簡支兩鄰邊固支和四邊固支，有限元模型均采用S4R單元進(jìn)行離散。

3.1 收斂性分析

為了驗(yàn)證本文方法的收斂性，采用不同均布節(jié)點(diǎn)的離散方案進(jìn)行計(jì)算分析。

一塊邊長為1 m的正方形平板，板厚h= 0.01 m，彈性模量E=3×106Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=1000 kg/m3。計(jì)算該平板在不同節(jié)點(diǎn)離散方案情況下的前十五階固有頻率，有限元模型采用30×30個(gè)單元離散，結(jié)果見表1和圖3。

由表1和圖3可以看出，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)增多，本文解與有限元結(jié)果之間的誤差越來越??；所求頻率階數(shù)越多則所需的離散節(jié)點(diǎn)數(shù)也越多，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為17×17時(shí)，前十階頻率解與有限元解之間的誤差均已小于5%，若只是求解位移，則只需要少量節(jié)點(diǎn)即可得到滿意的結(jié)果，證明了本文方法的收斂性以及收斂速度。

表1 收斂性分析數(shù)據(jù)(單位：Hz)

圖3 收斂性分析

3.2 有效性驗(yàn)證

3.2.1 變厚度板靜力彎曲

尺寸為1200 mm×1800 mm的矩形板，h1=(5+0.005x+0.005y) mm，h2=5 mm，彈性模量E=30 MPa，泊松比ν=0.3，受均布荷載q=0.1 N/m2，采用13×13個(gè)均布節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散。計(jì)算板在邊界分別為SSSS，SCSC和CCCC時(shí)的中心點(diǎn)撓度。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[17]的解列入表2。

表2 不同邊界時(shí)的中心點(diǎn)撓度(單位：×10-5mm)

3.2.2 非均勻彈性地基上矩形平板自由振動(dòng)

非均勻彈性地基板如圖4所示，板厚度為h，a/b=1，a/c=0.5，b/h=10，E=2.1 GPa，泊松比ν=0.3，采用17×17個(gè)均布節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散。對(duì)地基剛度系數(shù)K1和K2進(jìn)行無量綱化處理，分別得R1=K1×b4/(π4D)，R2=0，板的彎曲剛度D=Eh3/[12(1-ν2)]。邊界條件為SSSS，計(jì)算R1=10，100和1000三種不同情況下的前五階固有頻率。本文解與文獻(xiàn)[18]的解列入表3。

圖4 非均勻彈性地基矩形板

從以上算例結(jié)果可以看出，本文方法在計(jì)算變厚度板的彎曲和非均勻彈性地基上平板自由振動(dòng)問題時(shí)都具有較高的精度，驗(yàn)證了本文方法計(jì)算此類問題的有效性。

3.3 非均勻彈性地基上變厚度加筋板彎曲分析

有限元網(wǎng)格尺寸取0.05 m×0.05 m。無網(wǎng)格模型板采用13×13個(gè)均布節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散，筋條采用13×1個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散。

尺寸為1500 mm×1000 mm的變厚度矩形板，h1=(15+0.02x) mm，h2=15 mm，彈性模量E=2.1 GPa，泊松比ν=0.3，受q=0.01 N/m2的橫向均布荷載作用。在x=250 mm,750 mm,1250 mm處布置筋條，ws=10 mm，hs=50 mm，K1=4×106N/m3,K2=4×105N/m3,K3=4×104N/m3，地基參數(shù)如圖5所示。分別計(jì)算邊界條件為SSSS,SSCC和CCCC時(shí)變厚度加筋板的控制點(diǎn)彎曲撓度，控制點(diǎn)坐標(biāo)為1(250,500)，2(750,500)，3(1250,500)，4(750,250)和5(750,750)，如 圖5 所示，本文解與有限元解列入表4。

圖5 非均勻彈性地基矩形變厚度加筋板

表4 y向三筋條加筋板的控制點(diǎn)撓度(單位：mm)

由表4可知，本文方法分析非均勻彈性地基變厚度加筋板在不同邊界條件情況下的彎曲問題時(shí)都具有較高的精度。

3.4 非均勻彈性地基上變厚度加筋板固有頻率

邊長為1000 mm的方形板，h1=(20-0.04|x-500|)mm，h2=20 mm，密度ρ=7800 kg/m3，彈性模量E=2.1 GPa，泊松比ν=0.3，在x=500，y=500處布置筋條，ws=10 mm，hs=50 mm。K1=4×106N/m3，K2=4×103N/m3，地基參數(shù)如圖6所示。計(jì)算在邊界條件為SSSS，SSCC和CCCC時(shí)自由振動(dòng)的前五階固有頻率，本文解與有限元解列入表5。

圖6 非均勻地基方形變厚度加筋板

表5 方形非均勻彈性地基上變厚度加筋板的 固有頻率(單位：Hz)

由表5可知，本文方法分析非均勻彈性地基變厚度加筋板在不同邊界條件情況下的自由振動(dòng)問題時(shí)都具有較高的精度。

4 結(jié) 論

本文采用基于移動(dòng)最小二乘近似的無網(wǎng)格法，同時(shí)結(jié)合一階剪切變形理論，計(jì)算了非均勻彈性地基上變厚度加筋板的彎曲和固有頻率問題，并與有限元及現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)比，得出了以下結(jié)論。

(1) 所求頻率階數(shù)越高則需要的離散節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，使用本文方法，當(dāng)離散節(jié)點(diǎn)為17×17時(shí)，前十階頻率解與有限元解之間的誤差均小于5%。

(2) 本文解與文獻(xiàn)解及有限元解之間的相對(duì)誤差均小于5%，驗(yàn)證了本文方法分析非均勻彈性地基上變厚度加筋板彎曲及固有頻率問題的有效性。

(3) 采用本文方法分析非均勻彈性地基變厚度加筋板彎曲及振動(dòng)問題，當(dāng)筋條的位置改變時(shí)，不需要重新布置板的離散節(jié)點(diǎn)，只需根據(jù)筋條的幾何位置重新計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣Tp，避免有限元法網(wǎng)格重構(gòu)的問題?？梢姳疚姆椒ㄔ诶邨l位置重分布的結(jié)構(gòu)優(yōu)化計(jì)算方面具有很大的優(yōu)勢(shì)。