一類加權Kirchhoff方程非線性Liouville定理

曹悅璠，方鐘波

(中國海洋大學數學科學學院，山東青島266100)

1.引言

本文中，我們考慮一類具有加權函數的Kirchhoff方程

其中N≥1，a，b∈R，加權函數ω1和ω2均為滿足適當條件的正函數且可能為Hardy勢函數，非線性項f為非負函數且可取為Gelfand(或Liouville)項eu.一般地，具有Hardy勢函數的橢圓方程(1.1)的解可能具有奇性，故很自然需要在一個適當的加權Sobolev空間中研究(1.1)的弱解.類似于文[1]，對我們定義

眾所周知，方程(1.1)可理解為粘彈性振動理論中Kirchhoff型波動方程及達朗貝爾波動方程的穩態問題.從數學角度來說，方程(1.1)不是逐點恒等式，因此方程(1.1)是非局部問題且與局部問題相比有著較大的難度.迄今為止，許多學者致力于橢圓型方程穩定解的存在性與非存在性及正則性的研究并取得了許多進展.我們注意到，在這些進展中人們對有限Morse指數解或者在緊集外穩定解感興趣.大部分學者對這些解的Liouville型定理感興趣的原因在于有界區域中穩定解的非存在性與對應方程穩定解的先驗估計有十分緊密的聯系.其中，關于局部方程-Δu=f(u)的研究方面見專著[2]及相關文獻;關于具有加權函數的局部方程研究方面，我們參考了文[3-7].比如，Cowan和Fazly[7]研究了加權半線性橢圓方程Liouville型定理

其中非線性項f(u)=eu，up(p＞1)，-u－p(p＞0).他們得到了穩定上解和下解的存在性與非存在性結論且其依賴于維數、指數以及權函數在無窮遠處的行為.在有些結論中，給ω1適當的單調性假設，也能得到相同的結果.此外，具有加權指數源項的p-Laplacian方程柯西問題穩定解的Liouville定理的研究方面，我們重點參考了文[1].

本文中，我們的目的在于建立具有加權函數的Kirchhoff方程新的Liouville型定理.實際上，Lions在文[8]中首次在泛函分析框架下研究Kirchhoff模型，之后，Kirchhoff型方程受到了廣泛的關注且已有很好的成果，讀者可以參看關于Kirchhoff問題可解性的文[9-13](具有乘冪型源項)及文[14-16](具有指數型源項).最近，Le等[16]考慮了Hardy-Henon型Kirchhoff方程

其中常數a，b≥0，a+b＞0.他們在適當的條件下證明了方程不存在非平凡穩定解的結論.Huynh等[17]考慮如下Henon型的Kirchhoff方程:

其中a∈R，b∈R{0}.他們利用試驗函數法得到了在適當的條件下問題弱解的非存在性及具有指數型源項問題穩定解的非存在性.

綜上所述，具有加權函數的Kirchhoff方程(1.1)弱解與穩定解的非存在性(Liouville型定理)研究還未十分完整.其主要難點在于找到空間的維數、加權函數在無窮遠處的行為或單調性、非線性項f(u)及Kirchhoff算子對問題解的非存在性的影響.由此啟發，我們利用構造試驗函數技巧，建立方程(1.1)新的Liouville定理.

本文的剩余部分結構如下:在第2節中，我們引入一些記號，方程(1.1)弱解和穩定解的定義及引理.第3，4節中，我們陳述主要結論，并利用構造試驗函數的技巧，證明方程(1.1)弱解的非存在性及具有指數型源項的方程(1.1)穩定解的非存在性.

2.準備知識及主要結論

本節中，我們給出一些記號，問題(1.1)弱解與穩定解的定義、引理并陳述主要結論.

為了描述簡便，我們用C表示一般的常數且每行的常數C可能表示不同的常數;同時，當某個常數依賴于ε時用Cε表示.BR表示以0∈RN為中心半徑為R的球.空間X的定義如下:若若.

由Hardy勢導致橢圓方程(1.1)解可能具有奇性，故一般考慮弱解.下面，我們給出問題(1.1)弱解及穩定解的定義.

定義2.1若函數u∈X滿足且對有

則稱函數u是方程(1.1)的弱解.

定義2.2若(1.1)的弱解u滿足：對有

則稱u是方程(1.1)的穩定解.

注2.1由前述的定義知，函數u是方程(1.1)的弱解意味著u是能量泛函E(u)的臨界點，而穩定解則表明能量泛函E(u)在u處的第二變分是非負的，即，對有E′′(u)[φ，φ]≥0.這里，問題(1.1)對應的能量泛函為

則我們有

于是

因此I′(0)=0等價于

即E(u)的臨界點u是問題(1.1)的弱解.

其次，我們求I′′(0).

故有

且

因此，我們易知I′′(0)≥0等價于

即E(u)的極小值點u是問題(1.1)的穩定解.

緊接著，我們導出主要定理的證明所需的引理.

引理2.1若u是方程(1.1)的穩定解，則對有

證利用加權的Hlder不等式，我們有

由穩定解定義(2.2)及(2.4)，我們得到

引理2.1證畢.

注2.2由稠密性理論知，對前述的(2.1)，(2.2)及(2.3)式同樣成立.

注2.3如果ab≥0且a+b＞0，勢函數ω1(x)保證可積，非線性函數f是嚴格單調遞增的且u是方程(1.1)的穩定解，則事實上，我們取試驗函數滿足:0≤φ≤1，且

其中常數C不依賴于R.

將φ代入到(2.3)中，并利用的φ性質，我們導出

在上式中，兩邊取極限R→∞，即可得

RN ω2(x)f′(u)dx=0.

現在，我們詳細陳述本文的主要結論.

定理2.1假設a∈R，b0，非線性函數f為一個非負函數.若對于a.e.x∈RNBR0，有0≤ω1(x)≤A|x|p且ω2(x)≥B|x|q，其中A，B及R0為正常數，則方程(1.1)滿足

的弱解u∈X不存在.

推論2.1在定理2.1的條件下，則滿足下列條件之一的方程(1.1)不存在弱解:

1)p＜1，N≤1-p;

2)infRf＞0，q∈(-∞，-N]

推論2.2定理2.1的條件成立且若f非減(或非增)，則方程(1.1)不存在有下界(或上界)的弱解.

對非線性項f(u)為指數函數情形，我們得到了如下穩定解的非存在性結論.為了描述方便，我們簡記如下表達式:

定理2.2假設ab≥0且a+b＞0，f(u)=eu.如果存在當R→∞時滿足J→0且K→0，則方程(1.1)不存在穩定解.

推論2.3假設ab≥0且a+b＞0，對于a.e.x∈RNBR0有0≤ω1(x)≤A|x|p，ω2(x)≥B|x|q，其中A，B及R0為正常數，若則方程(1.1)不存在穩定解.

注2.4由定理2.2的證明過程易知，對ω1給定適當的單調性假設也可得到方程(1.1)穩定解不存在性結論.

定理2.3假設ab≥0且a+b＞0，f(u)=eu.且對充分大的|x|，ω1(x)滿足?ω1(x)·x≤0，如果存在當R→∞時滿足J→0，則方程(1.1)不存在穩定解.

推論2.4假設ab≥0且a+b＞0，f(u)=eu，ω2∈L∞，若對充分大的|x|有

推論2.5若在推論2.4中勢函數ω1的條件換成:對充分大的|x|有

3.弱解的非存在性

對?R＞R0，我們介紹滿足0≤φ≤1，且

其中常數C不依賴于R.

定理2.1的證明假設方程(1.1)存在滿足(2.5)式的弱解u∈X.選取試驗函數φ，我們有

結合(3.1)及(3.2)，我們導出

再由條件(2.5)知，存在R′∈N，R′＞R0使得當R＞R′時滿足

結合(3.3)及(3.4)易知，當R＞R′時，我們有

其中C不依賴于R.

取R=R′，R′+1，R′+2，···且對(3.5)式左右兩邊關于R求和，我們得到

推論2.1的證明利用反證技巧.假設方程(1.1)存在弱解u.顯然，當p＜1，N≤1-p時，弱解u滿足(2.5)式.與定理2.1的結論矛盾.

又有

且若q∈(-∞，-N]，則積分發散.因此，由(3.6)知(2.5)式成立且與定理2.1矛盾.

且將上式代入(3.6)中，我們得到

對(3.7)式兩邊取R→∞極限，易知(2.5)式成立且與定理2.1的結論導致矛盾.推論2.1證畢.

推論2.2的證明利用反證法.若f非減且方程(1.1)存在有下界的弱解u.記u的下界為u1，則infRf=f(u1)且與推論2.1導致矛盾.關于f為非增情形類似，故此處省略.推論2.2證畢.

4.穩定解的非存在性

由u∈X易知，u不一定是局部有界.因此，我們不能取φ=eαuψ為試驗函數.類似于文[1，17]，我們利用截斷技巧來克服這個困難.對每個k∈N定義如下正函數ak(t)和bk(t)∈C1(R):

及

其中α＞0為待定常數.同時，直接通過計算得到，對?t∈R，我們有

其中C僅依賴于α.此外，由知

定理2.2的證明利用反證技巧.假設方程(1.1)存在穩定解u.

現在，基于ak(u)，bk(u)的定義，我們的證明將分為四個步驟展開.

步1對任意的ε∈(0，1)任意的k∈N，及任意的非負函數存在一個常數Cε＞0使得

為了證明(4.2)，根據弱解定義，我們取試驗函數為φ=bk(u)ψ2代入(2.1)中并利用帶ε的Young不等式，我們導出

且整理后，我們得到

步2對任意的k∈N，及任意的非負函數有

為了證明(4.3)，我們取試驗函數φ=ak(u)ψ.直接計算，我們有

且根據穩定解定義，及引理2.1，我們導出

對(4.4)最后一項，通過分部積分直接計算得到

整理后，我們有

將(4.5)代入(4.4)，我們得到

步3存在常數C=C(α)＞0使得對任意非負函數我們有

為了證明(4.6)，結合(4.2)，(4.3)，并利用(4.1)，我們可導出

并整理后，我們有

其中常數C僅依賴于α.

在(4.8)式中取k→∞極限并利用單調收斂定理，我們得到

步4當R→∞時，J→0，K→0，則方程(1.1)不存在穩定解.

為了證明上述結論，我們令R＞0且取ψ=ξm，其中m＞0待定，滿足0≤ξ≤1，且

其中常數C不依賴于R.

再由(4.6)式，我們有

其中常數C1，C2＞0僅依賴于α，m.

及

將(4.10)及(4.11)代入(4.9)中，再由ξ的性質，我們導出

且有

對(4.13)式兩邊取R→∞極限并由條件:當R→∞時，J，K→0易知

且導致矛盾.定理2.2證畢.

推論2.3的證明根據ω1(x)，ω2(x)的假設，我們取?R＞R0，有

和

其中常數C＞0均不依賴于R.

再由定理2.2得到方程(1.1)不存在穩定解.推論2.3證畢.

下面，我們證明本文的第三個定理.

定理2.3的證明利用反證法.假設方程(1.1)存在穩定解u并類似于定理2.2的證明，我們取相同的ak(u)和bk(u)的函數.下面的證明將分為四個步驟展開.實際上，第一步到第三步的證明過程與定理2.2的證明相同，因此只給第四步的證明過程.

步4當|x|充分大，ω1(x)滿足?ω1(x)·x≤0，且對某個當R→∞時，J→0.則方程(1.1)不存在穩定解.

為了證明第四步，我們令R＞0且取ψ=ξm，其中m＞0待定，滿足0≤ξ≤1，且

其中常數C不依賴于R且函數c(x)≥0.

由(4.6)式，我們有

其中常數C1，C2＞0僅依賴于α，m.

下面，估計(4.14)式右邊兩個積分項.對第一個積分，利用Hlder不等式，并取充分大的m滿足m≥α+1，則我們得到

由?(ω1(x))·x≤0且?ξ=-c(x)·x，其中c(x)≥0，我們有

將(4.15)及(4.16)式代入(4.14)中，并利用ξ的性質，我們導出

且

利用條件:當R→∞時，J→0并在(4.17)式兩邊取R→∞極限，我們易知

且導致矛盾.定理2.3證畢.

推論2.4的證明由假設ω2(x)∈L∞及當|x|充分大，有ω1(x)≤Cω2(x)，|?ω1(x)|≤Cω2(x)知

知

推論2.5的證明由假設ω2(x)∈L∞及當|x|充分大，有ω1(x)≤Cω2(x)且?ω1(x)·x≤0，我們得到