具有三類商品市場的一般均衡價格的動力學研究

楊宇哲，汪芳

(武漢理工大學經濟學院，湖北武漢430070)

1.引言

一般均衡理論是“局部均衡論”的一般化，是關于整個經濟中，商品和生產要素的價格以及供求量決定的一種經濟理論和分析方法.當今經濟學主要研究的對象為產品市場、要素市場等局部市場的均衡問題.但在現實中，生產要素的價格與商品的價格往往是相互影響的，例如高科技附加值的產品，因為技術以及科研的投入使得其商品價格的偏高等等.因此，將一般均衡理論研究的視角從局部市場到整體市場更符合現實的客觀市場，也更能解決實際問題.探討整體市場產品價格的穩定性，則對經濟發展有著至關重要的意義.

諾貝爾經濟學獎、約翰·貝茨·克拉克獎得主、新古典增長理論的奠基人索洛認為，競爭性的一般均衡理論是目前為止唯一可以作為包羅一切的理論候選者.一般均衡理論在經濟學上的分析價值主要體現在對市場經濟的社會福利效應作出解釋；對市場經濟的效率進行評價；作為宏觀經濟的分析工具對宏觀經濟進行分析研究[1].

眾所周知，市場均衡價格的穩定性是經濟學中一個具有十分重要意義的課題[2－9].然而，由于市場經濟運作機制的復雜性，迄今沒有統一的穩定性理論，甚至對三類商品的穩定價格機制也沒有一般的理論.因此人們往往針對不同的情形依據不同的假設對此進行研究.比如，Walsh等[10]針對兩類商品的情形就滿足一定市場條件的均衡價格的唯一性和穩定性做了深入的探討.

Keenn等[11]在討論市場動力學時，要求過度需求函數的雅可比矩陣滿足對角線元素為負，并稱之為需求律(law of demand)，在此條件下對市場動力學給予初步理論探討.Mukherji[12]在滿足解需求律的trDpZ(p)＜0的情形下討論了三個商品的經濟系統行為，在一定的假設下得到了均衡價格的全面漸進穩定性.

本文運用平面動力系統的定性理論，進一步研究了具有三類商品市場的一般均衡價格的動力學問題.證明了具有三類商品市場價格動態系統的吸引區域的存在性.特別的，本文運用單調動力系統理論證明了不滿足需求律的市場在滿足有總替代關系條件下，市場均衡價格仍然具有吸引性這一新穎結果.

考慮微分方程

定義1.1給定一點y∈Rn，若存在一個時間序列tn→∞，n→∞，使得

那么y稱為解φ(，tn)中的一個極限點，簡稱為的極限點，所有的極限點構成的集合稱為的正向極限集，表示為ω().

文[13]對平面系統有如下基本結果：

引理1.1設解φ(，t)，t∈[0，∞)含于R2中的一個有界閉集K，且K中含有有限個平衡點，則必有如下情形之一:

(i)ω()是一個平衡點;(ii)ω()是一周期解;(iii)ω()是連接有限平衡點的異宿環.

2.三類商品的均衡價格動力學分析

三個商品的價格動力學可由三維向量函數

刻畫.其中Z(p)是過度需求向量函數，={p=(p1，p2，p3)|p1≥0，p2≥0，p3≥0}是價格空間，={p=(p1，p2，p3)|p1＞0，p2＞0，p3＞0}，依據文[13]我們假定Z=(Z1(p)，Z2(p)，Z3(p))，且滿足以下條件：

(A1)Z(p)連續可微.并滿足瓦爾拉斯條件及零階齊次條件:

(A2)Z=(Z1(p)，Z2(p)，Z3(p))滿足邊界條件：

由條件(A1)可得系統(2.1)本質上是一個二維系統.因此，不失一般性，依照慣例，讓商品3作為計價標準，于是可令p3=1，轉而考慮如下平面系統：

關于系統(2.4)有以下事實：

引理2.1[12]假設(A1)、(A2)條件成立，則存在εi＞0，i=1，2;使得若pi≤εi則Zi(pi，pj)＞0，i/j.從而得出：是系統(2.4)的正向不變集.

下面我們證明一個重要結論：

定理2.1存在一個有界集合D?使得D是一個吸引區域，即對任一P∈，式(1.2)中的以P為初始條件的解φ(t，p)，滿足存在T≥0，當t≥T時，φ(t，p)∈D.

證令其中，ε1，ε2如引理2.1所定，考慮函數則該函數沿系統(2.4)解對時間的導數為

現在考慮函數p1Z1(p，1)+p2Z2(p，1)，由瓦爾拉斯條件可得，對任一(p，1)=(p1，p2，1)，有

從而

由邊界(A2)可得，存在r＞0使得當＞r時，有Z3(p，1)，于是只要有‖p‖＞r，便有

作為定理2.1的推論，有以下結論：

推論2.1使得Z(，1)，即存在均衡狀態.

注文[11]中僅證明系統(2.4)的解有界性，本文則證明了吸引域D存在性這一更強的結論.

定理2.2假定在吸引域D中不變號，則有

(b)若D中有p滿足0，則有≤0.

證設φ(t，p)是系統(2.4)的以p為初始條件的解，由常微分方程理論知，給定t＞0，則得到吸引域D上一個映射，即φ(t，p):D→D是一個可微映射，并且φ(t，p)?D，由劉維爾公式推可得

故若有p∈D，使得便有D的像φ(t，D)的面積A(φ(t，D))大于D的面積A(D)，但φ(t，1)∈D，由上定理假定可得對D中任意區域?D都有因此，必有≤0.

這表明系統(2.4)在D中不能有同周期軌，同宿軌及異宿環，由平面系統的極限理論[13]知，對D中的任意一點p，其極限集ω(p)只能是平衡點.證畢.

3.不滿足需求律的均衡價格分析

在實際市場的交易過程中，購買生活必需品時，消費者的需求-價格彈性可能出現等于零甚至大于零的情況(如疫情后豪華車優惠力度小銷量卻更大，或消費者購買吉芬商品時)，從而＜0不一定成立.因此考慮不滿足上述需求律的價格均衡動力學是十分有意義的.迄今為止，不滿足需求律的情形研究似乎還沒有見諸于文獻.本節我們將討論在需求-價格彈性不嚴格小于零的情況，為此，我們將討論市場產品滿足總替代關系條件下均衡價格是否還具有某種穩定性.

定義3.1如果超額需求函數滿足

那么我們就稱該市場上的產品具有總替代關系.顯然滿足定義3.1、定理2.2的系統(2.4)是一個二維合作系統，為此我們回顧以下一個相關定理：

設K?Rn是一個具有非空內部的錐，給定一個系統

對任一x∈Rn，考慮其對應x點的線性系統：

其中Df是f在x處的雅可比矩陣.

定義3.2若對任一x∈Rn，K都是線性化系統(3.3)的正向不變集，那么系統(3.2)稱作K-合作[14]系統.

為方便本節的討論，我們將引用下述結果，其詳細討論見文[12].

引理3.1假定f是區域D?R2上的一個K-合作系統，如果φ(，t)∈D，t≥0并且D是緊致的，那么ω()是一個單平衡點.

本節的主要結論如下：

定理3.1若系統(2.4)滿足總替代關系的條件，則任意價格p∈都將趨于一個均衡價格.

證令K=，以下證明系統(2.4)在是一個-合作系統.

首先證明若矩陣

滿足a12≥0，a21≥0，則系統是系統(1.1)的正向不變集，在正半軸{x1≥0，x2=0}上有

在正半軸{x1=0，x2≥0}上有

由于定理2.1中的D是一個吸引域，并且是有界閉集，故以中任一點為初始條件的正半{φ(p1，t)，t≥0}都含于一個緊致的集合中，于是由引理3.1知，中任一解都趨向于均衡點，特別地若價格均衡點唯一，則該均衡點是全面吸引的.

4.結語討論

在本文中，我們運用平面動力系統的定性理論研究了具有三類商品市場的一般均衡價格的動力學問題.具體的，我們證明了具有三類商品市場價格動態系統的吸引區域的存在性，特別的，我們運用單調動力系統理論證明了市場在滿足產品滿足總替代關系的條件下，三類商品市場均衡價格仍具有吸引性這一新穎的結論.

從完全競爭市場角度講，一般經濟均衡定理的穩定性往往考慮一般商品，卻忽略了當商品的價格需求曲線向上傾斜或者與價格坐標軸平行的情況.這種情況在現實生活中是真實存在的：生活必需品的價格高低并不會影響個人對其的需求;新冠疫情結束后各4S店優惠力度小了，豪華品牌汽車銷量卻激增.這些經濟現象中商品的價格是否也存在均衡點？特別的，當三類這樣的商品存在于一個市場時是否存在均衡的價格？如疫情過后，豪華車的價格上漲需求反而增加，那么在豪華車市場上寶馬、奔馳、奧迪三種品牌車輛是否存在均衡點？對這個問題的探討是十分新穎且有必要的，在滿足具有總替代關系的三種商品市場上的價格若存在均衡點則能很好的解釋疫情以后出現的豪車價格與銷量同時持續上升的經濟現象.

經過本文的討論，發現在三種商品滿足總替代關系的市場情形下，即便商品不滿足一般需求律也存在穩定的均衡價格.