兩階段休假M/M/c排隊驅動的流體模型性能分析

李子坤，徐秀麗

(燕山大學理學院，河北秦皇島066004)

1.引言

流體模型是一個輸入輸出系統，其中流體受外部驅動系統控制連續地流入和流出一個緩沖器.如今的信息時代，傳統的離散排隊模型有很大的局限性，流體模型已經廣泛應用于各個領域中，尤其在通信網絡和計算機技術中起到頗為重要的作用.

Virtamo和Norro[1]研究了由M/M/1排隊驅動的流體模型，并把驅動系統推廣到了有限狀態環境的排隊系統.Sericola和Tuffin[2]考慮了一個具有有限或無限等待空間的馬爾可夫隊列驅動的流體模型，導出了一種計算穩態緩沖器容量的一種新方法.Kulkarni[3]提出了使用譜方法分析有限狀態馬爾可夫過程驅動的流體模型的理論框架.Nabli[4]研究了一般馬爾可夫流體模型的瞬態解，并分析了其漸進行為.Malhotr等[5]對具有兩個擁塞閾值控制的反饋流體隊列進行了分析，得到了穩態下緩沖器占用率的表達式，緩沖區延遲分布和吞吐量.

近些年來，有學者將休假策略加入到流體模型的驅動系統中，MAO等[6]分析了多重休假M/PH/1排隊驅動的流體模型，得到了穩態庫存量的LST及空庫概率.XU等[7]把文[6]中驅動系統的休假策略拓寬到工作休假策略，并給出平均吞吐量，服務器利用率及穩態庫存量的均值表達式.考慮到更加復雜的實際情況，有學者將休假策略發展到兩階段休假的情況，YE等[8]研究了兩階段休假M/M/1排隊驅動的流體模型，得到流體模型穩態庫存量的LST，導出穩態緩沖器庫存量的表達式.另一方面，把外部環境進一步推廣到多服務臺排隊系統，XU等[9]分析了多重工作休假M/M/c排隊驅動的流體模型，得到流體模型的性能指標.

太陽能LED路燈照明控制系統設計是當今城市亮化和市政優化的重要項目.在路燈太陽能充電過程中，天氣變化會影響到太陽能的傳送效率，從而導致太陽能轉化率變慢或者沒有太陽能進行轉化，相當于傳輸系統處于工作休假或經典休假.在此基礎上，本文構建了兩階段休假策略的M/M/c排隊驅動的流體模型，該策略包括休假和工作休假兩個階段，導出流體模型的各項性能指標，分析參數變化對模型性能指標的影響，進一步將結果應用到路燈太陽能充電過程中，以提高充電效率，提高太陽能的有效利用.

2.驅動系統的基本描述

在驅動系統中，假設顧客到達時間間隔和正規忙期的服務時間分別服從參數為λ和μb的指數分布，當系統中的所有顧客都完成服務后，服務員進入一次隨機長度的工作休假，工作休假時間服從參數θw的指數分布.在工作休假期間，服務員進入一種低速率服務的狀態，此時的服務時間服從參數μv(μv＜μb)的指數分布．一次工作休假完成時，若系統中有顧客正在接受服務，則從低速率μv服務狀態切換到正規忙期的服務率μb，重新開始服務被中斷的顧客，系統進入一個正規忙期;否則，服務員進入正常休假期，正常休假時間服從參數θv的指數分布.一次正常休假完成時，若系統中無顧客，則繼續進入下一次正常休假;否則，系統進入正規忙期.

假設到達時間間隔、服務時間、休假時間和工作休假時間兩兩相互獨立.另外，采用先到先服務(FIFO)的排隊規則.

設L(t)表示時刻t系統中的顧客數，J(t)=0，1，2分別表示時刻t系統處于休假期、工作休假期和忙期，則{L(t)，J(t)，t≥0}形成一個擬生滅過程，狀態空間為Ω={(0，0)∪(0，1)∪(k，j)，k≥1，j=0，1，2}.將狀態空間按照字典順序排序，得到二維隨機過程的無窮小生成元矩陣Q，即

其中

引理2.1[8]若系統負載ρ=λ/cμb＜1，則二次方程R2B+RA+C=0存在最小非負解

記二維隨機過程{L(t)，J(t)，t≥0}的穩態分布為Ω，引入穩態分布向量π0=(π00，π01)，πk=(πk0，πk1，πk2)，k≥1，記x=(π0，π1，···，πc).眾所周知，隨機過程{L(t)，J(t)，t≥0}的穩態分布存在當且僅當二次方程R2B+RA+C=0最小非負解的譜半徑SP[R]＜1，且xB[R]=0有正解，其中

由xB[R]=0可得方程組

為獲得其穩態分布，引入函數分布

利用矩陣幾何解方法，根據式(2.2)計算可得

定理2.1如果系統負載ρ＜1時，隨機過程{L(t)，J(t)，t≥0}的穩態分布為

其中K=πc－1，0由歸一化條件=1確定.

3.流體模型的構建與描述

設X(t)為緩沖器在t時刻的容量，則X(t)就是一個非負的隨機變量.設緩沖器的凈輸入率(流入率-流出率)為三維隨機過程{X(t)，L(t)，J(t)，t≥0}的函數

其中σ＜0，σ2＞σ1＞σ0＞0.驅動系統處于忙期時，緩沖器庫存量以速率σ2增加;驅動系統處于工作休假期間，且驅動系統中有顧客存在時，緩沖器庫存量以速率σ1增加;驅動系統處于休假期間，且驅動系統中有顧客存在時，緩沖器庫存量以速率σ0增加;驅動系統處于工作休假或休假期間，且驅動系統中沒有顧客存在時，緩沖器庫存量以速率-σ減少，直至緩沖器庫存量為空.保持這種狀態直到系統中再次有顧客進入，一直按照這種規律循環下去.

流體模型的平均漂移為

其中πkj，(k，j)∈Ω，見定理2.1.由文[3]可知，當d＜0，ρ＜1，流模型是穩定的.記流體模型的穩態隨機向量為(X，L，J)，這里的隨機變量X為穩態下緩沖器的庫存量.

設流體模型的穩態聯合分布為

由全概率公式知，流體模型庫存量的穩態概率分布為

運用標準化方法得到以下穩態聯合分布Fkj(x)滿足的矩陣微分方程組

滿足邊界條件

其中a=P{X=0，L=0，J=0}為穩態下緩沖器的空庫概率.為了計算簡便，記向量

則微分方程組(3.1)可寫成以下形式

其中Λ=diag((σ，σ)，(σ0，σ1，σ2)，(σ0，σ1，σ2)，···).

如果直接用邊界條件來解矩陣方程(3.2)是有些困難的，下面引入穩態聯合分布和庫存量穩態概率分布F(x)的LT變換如下

對方程(3.2)兩邊進行Laplace變換，利用邊界條件整理得

4.流體模型的穩態分析

為了得到流體模型的穩態分布和性能指標，引入下面兩個二次方程.

引理4.1[9]若驅動系統負載ρ＜1，對任意s≥0，二次方程cμvz2-(λ+θw+cμv+sσ1)z+λ=0存在兩個實根β0(s)和β1(s)，且

易知0＜β0(s)＜1，β1(s)≥1，β0(0)=r，這里的r如(2.1)所示.

引理4.2[9]若驅動系統負載ρ＜1，對任意s≥0，二次方程cμbz2-(λ+cμb+sσ2)z+λ=0存在兩個實根γ0(s)和γ1(s)，且

易知0＜γ0(s)＜1，γ1(s)≥1，γ0(0)=ρ，γ1(0)=1.

對任意s≥0，引入

可得

定理4.1對任意s＞0，二次矩陣方程R2(s)B+R(s)A(s)+C=0存在最小非負解

其中

這里的β0(s)和γ0(s)見(4.1)和(4.2)，從(2.1)可知R(0)=R.

證由于B，A(s)和C都是上三角結構矩陣，設方程R2(s)B+R(s)A(s)+C=0中的R(s)有同樣的上三角結構

將R(s)代入上面的二次方程中得到

上述各式依次記為(4.3.1)～(4.3.6).

從式(4.3.1)和式(4.3.2)可以得到

由式(4.3.4)和式(4.3.6)可以得到R22(s)=β0(s)和R33(s)=γ0(s)，這里的β0(s)和γ0(s)見(4.1)和(4.2).

把R11(s)=h(s)，R22(s)=β0(s)和R33(s)=γ0(s)代入到(4.3.3)和(4.3.5)中，給出

這里的R13(s)和R23(s)分別記作m(s)和g(s).因此，定理4.1推導完畢.

為了方便求解庫存量及狀態的穩態聯合分布函數的LT，注意到矩陣方程(3.3)的結構，構造以下四個函數列

計算整理可得

定理4.2若ρ＜1和d＜0，庫存量及狀態的穩態聯合分布函數的LT為

其中

證矩陣方程(3.3)可以寫成下面的形式

“中國尋根之旅”活動對于培養華裔青少年的族群意識、促進華族文化認同、加強華族文化傳承等方面都具有重要意義。而文化認同又是族群意識培養、文化傳承的中心環節，華文教育的推動和發展又是實現文化認同的前提條件。

上述方程組依次記為(4.9.1)～(4.9.7).

若ρ＜1和d＜0成立，三維馬爾可夫過程{X(t)，L(t)，J(t)，t≥0}存在唯一平穩分布{Fkj(x)，k，j∈Ω}[6].因此，方程組(4.9)存在唯一解.下面只需驗證(4.8)滿足(4.9).

首先對于k≥c，把代入式(4.9.7)中，得

特殊地，當k=c時，有

其次由式(4.9.4)可知

定理4.3當ρ＜1和d＜0時，穩態下緩沖器庫存量的空庫概率及均值的表達式為

證將式(4.9.6)從k=2到k=c-1相加，得

移項合并得到

把(4.9.3)代入(4.10)，有

把式(4.9.1)，(4.9.2)和定理4.2中的表達式代入(4.11)，整理可得

由式(4.9.4)可知

進而流體模型庫存量平穩分布F(x)的LT為

其中e為三維全1列向量.

由(4.1)和(4.2)可知，R(s)的特征值β(s)，γ0(s)和h(s)都小于1，所以其譜半徑SP[R(s)]＜1，(I-R(s))是可逆的，且

為了得到穩態下緩沖器庫存量的均值，引入Fkj(s)，(k，j)∈Ω和F(x)的LST，記

進一步得到緩沖器庫存量穩態分布的LST

對方程(4.12)兩邊同時求導，讓s→0，求極限得到

整理可得

5.數值分析

考慮到路燈太陽能充電過程，把光照射到太陽能光伏板上多個點的過程看作一個多服務臺的排隊系統，轉化成的電流相當于流體，太陽能光伏板就相當于流體緩沖器，穩定輸送電流到蓄電池中.設太陽光到達光伏板上每個點的時間間隔服從參數為λ的指數分布.太陽光正常照射時，系統處于忙期，太陽能轉化速率為μb;太陽光照較弱時，太陽能轉化速率變為μv，相當于系統處于工作休假期間，工作休假時間參數為θw;陰天或者夜晚沒有光照時，沒有太陽能進行轉化，系統處于經典休假期，休假時間參數為θv.在此實際應用中，由于不同季節的夜晚長短不同，休假時間參數θv會因季節的改變而改變.根據分析給出的流模型的空庫概率和平穩庫存量均值的表達式，通過調節參數變化控制系統性能指標的變化.

假設光伏板吸收太陽能的點數量為3.設λ=13，μv=0.5，θv=3，θw=2，σ0=1，σ1=2，σ2=3時，圖1描述了光伏板中無電流的概率a隨太陽能轉化速率μb和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖1可以得出，當μb一定時，光伏板中無電流的概率a隨σ的增大而減小;當σ一定時，a隨μb的增大而減小.

圖1 a隨μb和σ的變化

設λ=15，μb=3，μv=1，θw=0.5，σ0=1，σ1=2，σ2=3時，圖2描述了光伏板中無電流的概率a隨休假時間參數θv和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖2可以得出，當θv一定時，光伏板中無電流的概率a隨σ的增大而減小;當σ一定時，a隨θv的增大而增大.

圖2 a隨θv和σ的變化

設λ=5，μv=1，θv=0.2，θw=0.1，σ0=1，σ1=2，σ2=3時，圖3描述了系統的平均電流E(X)隨太陽能轉化速率μb和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖3可以看出，當μb一定時，平均電流E(X)隨著流入率σ的增大而增大;當σ一定時，平均電流E(X)隨著μb的增大而增大.

圖3 E(X)隨μb和σ的變化

設λ=5，μb=4，μv=1，θw=0.2，σ0=1，σ1=2，σ2=3時，圖4所示刻畫了系統的平均電流E(X)隨休假時間參數θv和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖4可以得到，當θv一定時，平均電流E(X)隨著流入率σ的增大而增大;當σ一定時，平均電流E(X)隨著θv的增大而減小.

圖4 E(X)隨θv和σ的變化

由圖1-4可知，在路燈太陽能中，若想提高太陽能的有效利用，降低能量損耗，必須要選擇合適的太陽能裝置以提高轉化速率及不同季節時期的光伏板的電流傳輸率.

6.結論

本文研究了有兩種休假狀態的M/M/c排隊驅動的流體模型，兩種休假狀態在一定條件下可以切換，運用拉氏變換的方法得到其穩態庫存量的空庫概率及均值表達式，并結合路燈太陽能充電過程，分析系統中的參數變化對模型各項性能指標的影響，以便提高太陽能的有效利用.