共振情形下一類非合作反應堆數學模型正解的存在性

陳瑞鵬，劉佳音，張光晨

(北方民族大學數學與信息科學學院，寧夏銀川750021)

1.引言

本文研究二階非合作微分系統

正解的存在性，其中c，d為正常數，非線性項f∈C([0，1]×[0，∞)，R)且g∈C([0，∞)，[0，∞)).因此，系統(1.1)是一個半正系統，同時由Neumann邊界條件易見系統(1.1)為共振系統.

系統(1.1)與反應擴散系統

的穩態形式有著緊密聯系.反應擴散系統(1.2)旨在描述密閉容器中與中子通量、反應堆溫度等因素密切相關的核反應過程，其中Ω是Rn(n≥1)中具有C2+θ(θ∈(0，1))光滑邊界?Ω的有界連通區域，且代表密閉容器，n為?Ω上的單位外法向量.實際應用方面，未知函數u和v分別表示中子通量與反應堆的溫度，b，c，d均為常數且滿足b∈[0，∞)，c，d∈(0，∞)，u0，v0∈C為初始條件.通過添加溫度的擴散與線性反饋，模型(1.2)改進了由Kastenberg和Chambr[10]提出的反應堆數學模型

注意到模型(1.2)中的Neumann邊界條件意味著快中子不能穿越容器壁，而且密閉容器的邊界絕熱，這代表更加貼近實際的情形.

近年來，諸多學者對模型(1.3)正解的存在性及相關性質做了深入研究，并獲得了許多深刻的結果[1，7，10，12，14－15].同時，多位學者致力于研究模型(1.3)在一維情形下正解的存在性問題，如WANG和AN[16－18]，LI和LI[11]，CHEN和MA[3－4]等.然而據我們所知，上述大多數文獻聚焦于研究帶有Dirichlet邊界條件的模型(1.3)，其中Dirichlet邊界條件意味著密閉容器的邊界上沒有快中子且恒溫，是一種較為理想的情形，但是在Neumann邊界條件下的研究成果相對較少.此外，文[3-4，16-18]只對模型的非共振情形進行了研究，而且所得正解的存在性結果極大程度上依賴于非線性項的正性.鑒于此，本文將在共振情形下建立非合作半正系統(1.1)正解的存在性結果.本文總假設

(H1)f∈C([0，1]×[0，∞)，R)，g∈C([0，∞)，[0，∞)).

注1.1(H1)蘊含了非線性項f是變號且下無界的，這將對系統(1.1)正解存在性的研究帶來較大困難.此外，本文將首次建立共振情形下反應堆數學模型正解的存在性及全局分歧結果，所得結論將進一步豐富反應堆數學模型的相關理論.對于其它半正問題和共振問題的研究，可參見文[2，8-9，13，19]等.

本文結構作如下安排:在第二部分，將給出一些所需的符號及預備知識;第三部分將敘述并證明系統(1.1)正解的存在性定理，同時給出一些相關結果和注記.

2.預備知識

若函數p∈C[0，1]在[0，1]上嚴格為正，則記為p?0.令K(t，s)為邊值問題

的格林函數，則不難驗證K(t，s)＞0，?(t，s)∈[0，1]×[0，1].此時，

等價于算子方程

由假設(H1)易知T:C[0，1]→C[0，1]是一個全連續算子，而且系統(1.1)可轉化為

這顯然是一個共振問題.

在后續討論中，給定函數

我們將研究與(2.2)等價的積分微分方程

事實上，若問題(2.4)存在一個正解u，則由(H1)和(2.1)可知原系統(1.1)必存在正解(u，v).這里稱(u，v)為系統(1.1)的一個正解，若(u，v)滿足(1.1)且u?0，v?0.眾所周知，問題(2.4)等價于積分方程

其中G(t，s)為線性邊值問題

的格林函數.顯然，G(t，s)在[0，1]×[0，1]連續且

令

則σ∈(0，1).定義錐

下面，我們給出本文所采用的主要工具.

假設E是實的Banach空間，其范數為‖·‖.假設K是空間E中的一個錐.稱非線性映射A:[0，∞)×K→E是正的，若它滿足A([0，∞)×K)?K.稱上述映射A為K-全連續的，若A連續且把[0，∞)×K中的有界子集映射為空間E中的相對緊集.稱定義于E上的線性正算子V是算子A的線性弱函數，若它滿足A(λ，u)≥λV(u)，(λ，u)∈[0，∞)×K.記r(B)為定義在空間E上的連續線性算子B的譜半徑.

引理2.1[5]若下列條件成立:

(i)錐K有非空內部且滿足;

(ii)A:[0，∞)×K→E是一個正的K-全連續算子.

且A(λ，u)=λBu+F(λ，u)，其中B:E→E是r(B)＞0的線性強正緊算子，F:[0，∞)×K→E滿足當‖u‖→0時，‖F(λ，u)‖=°(‖u‖)對λ局部一致地成立.

則在

中存在無界連通子集C，使得(r(B)－1，0)∈C.進一步，若存在A的線性弱函數V和(μ，y)∈(0，∞)×K，使得‖y‖=1及μV y≥y成立，則C位于S∩([0，μ]×K)中.

方便起見，記λ*(η)為特征值問題

的主特征值，其中函數p由(2.3)給出.由Krein-Rutman定理[6]可知當η?0時λ*(η)＞0.此外，λ*(η)是簡單的且對應的特征函數滿足ψ*(η)?0.

3.主要結果及證明

為了敘述本文的主要結果，假設

(H2)存在正常數R＞r，使得

定理3.1假設(H1)，(H2)，(H3)成立.若條件

之一滿足，則系統(1.1)至少存在一個正解.

證我們只證明情形(i)，情形(ii)的證明完全類似.

考慮輔助問題

其中λ∈[0，∞)為參數.由第二部分的討論易知(3.1)等價于算子方程

運用假設(H2)，(H3)并結合函數～f的定義，不難驗證A(K)?K且A:K→K是一個全連續算子.由(2.8)易得

其中

從而(3.1)可改寫為

定義Banach空間E=u∈C1[0，1]:u′(0)=0=u′(1)，其范數為‖u‖=max{‖u‖∞，‖u′‖∞}.記

對λ局部一致地成立，其中

因此，由引理2.1可知存在(3.3)解的連通分支C，它在S中連接(λ*(δ*)，0)到無窮遠處.此外，C{(λ*(δ*)，0)}?S.

下面，分兩步來完成本定理剩余部分的證明.

第一步連通分支C在S中連接(λ*(δ*)，0)與(λ*(Δ*)，∞).

事實上，若能夠證明C在S中連接(λ*(δ*)，0)與(λ*(Δ*)，∞)，則C必會穿過超平面{1}×E，從而問題(3.3)至少存在一個正解(1，u).

假設{(λk，uk)}?C且滿足

我們宣稱{λk}有界.反設λk→∞，k→∞.因為(λk，uk)∈C，所以

這與‖vk‖∞=1矛盾.因此{λk}有界.

此時，由(3.4)及上述宣稱可得‖uk‖→∞，k→∞.進一步，運用假設(H1)-(H3)，并通過與文[3]中引理2.5證明中類似的討論可知當‖uk‖→∞時必有‖uk‖∞→∞，從而{(λk，uk)}滿足

這等價于

借助(2.8)及(3.2)，經簡單估計可得

這表明存在不依賴于k的函數χ∈C[0，1]，使得

此外，由假設(H3)易得{Tuk}有界.于是，

在空間C[0，1]中一致有界.容易看到

又因為C1[0，1]緊嵌入C[0，1]，故存在{vk}的子列(仍記為自身)及∈C[0，1]，∈[0，∞)，使得vk→且λk→k→∞.由假設(H3)及Lebesgue控制收斂定理可得

第二步u是共振問題(2.2)的解.

顯然，只需證明

不存在能夠滿足‖u‖∞＜r或的正解u.事實上，若上述結論成立，則由函數的定義可得從而(3.5)將退化為原共振問題(2.2).

反設(3.5)存在一個滿足‖u‖∞＜r的正解u，則由(2.8)及(2.9)可得

因為

且

其中φ是主特征值對應的主特征函數.顯然，φ?0.運用(3.6)和假設(H1)，并通過簡單的積分運算估計可得

因為u是(3.5)的正解，所以

又因為

其中ψ為λ*對應的特征函數且顯然滿足ψ?0.由(3.7)和假設(H3)可得

故這與假設矛盾.

綜上所述，共振問題(2.2)存在一個正解u.進一步，由(2.1)可知原系統(1.1)至少存在一個正解(u，v).

最后，我們給出一些相關結果.

若考慮快中子不能穿越容器壁且反應堆與外界有熱交換的情形，則適當的邊界條件為

其中α＞0為熱交換系數.相應地，有非合作系統

在(H1)-(H3)和一些自然的假設之下，通過與本文第二部分以及定理3.1的證明中完全類似的討論，我們不難得到

定理3.2假設(H1)-(H3)成立.若條件

之一滿足，則系統(3.9)至少存在一個正解.

注3.1對于帶Neumann邊界條件或邊界條件(3.8)的橢圓系統

本文所采用的討論方法仍然適用于研究其徑向正解的存在性.