時間分數階Fisher型非線性種群擴散模型的近似解

賈紅剛，聶玉峰，趙艷敏

(1.許昌學院數理學院，河南許昌461000;2.西北工業大學數學與統計學院，陜西西安710072)

1.引言

分數階微積分是一個古老而新鮮的概念.事實上，在整數階微積分創立初期，就有一些數學家，如:Leibniz等開始考慮它的含義.在過去幾十年里，隨著科技發展，分數階微積分開始應用到物理、種群擴散、控制、經濟學、生物醫學工程等領域。

種群擴散是生物的數量以及分布變化的反映.它主要研究種群密度或數量的動態改變.國內外已經有很多有關種群擴散模型的研究報道，但是這些研究往往采用整數階微積分模型，近年來，鑒于分數階微積分擴散模型所有的非局部性和時間遺傳記憶性，使得它得到了普遍關注注，因為它更能全面客觀地反應種群擴散演變規律.因此，分析時間分數階種群擴散模型對于研究生物種群理論有著非常重要的價值.

1991年歐陽頎[1]提出了二維Turing斑圖及分岔，從實驗角度闡釋了種群擴散現象.2004年，Wazwaz等[2]研究了一些Fisher方程的Adomian分解近似解，并分析了此近似解的變化對種群擴散的影響.2020年，Manimaran等[3]采用Faedo-Galerkin方法得到了一種時間分數階種群相互作用模型的解.

同時，國內學者對于種群擴散分數階模型問題也有報道，2003年，廖世俊[4]采用同倫分析法(homotopy analysis method)，通過利用合適的映射，得到了模型問題的解.2004年，馬知恩等[5]采用動力學模型局部地分析了病毒與免疫系統的演變趨勢.2008年，劉發旺等[6－7]利用Adomian分解法研究了時空分數階擴散模型方程.2009年，馬軍海、劉艷芹[8]利用分數階理論、同倫擾動等方法法研究了一種非線性擴散方程徑向對稱方向的精確解.2011年，馬軍海、劉艷芹[8]利用分數階微積分算子得到了分數階非線性單種群和分數階非線性兩種群擴散模型，并運用此擴散模型結合同倫擾動法和變分迭代法得到了一類相應種群擴散問題的近似解.2019年，吳春等[9]采用分離變量法分析了非線性時間分數階生物種群模型.

但是，國內外研究人員通過構造分數階模型分析種群擴散問題的報道不多，比如，并且以上這些研究往往對應的分數階種群擴散模型的為線性源函數，而對于分數階種群擴散模型的源項為非線性的研究鮮有報道，所以，研究帶非線性源項的時間分數階種群擴散的研究很有意義.

2.分數階非線性種群擴散模型相關理論簡介

分數階微積分已經得到了越來越多的關注和應用.如今，它已經被廣泛地應用到粘彈性力學、熱傳導、電子信息、控制科學及生物種群擴散模型等學科中，分數階微積分的定義很多，為方便研究，這里，我們僅僅闡釋以下幾種常見的分數階微積分定義.

定義2.1[10]函數f(t)的α階Riemann-Liouville分數階積分定義:

其中，α(Re(α)＞0)是任意數，Γ(·)為Gamma函數.

定義2.2[10]可導函數f(t)的α階Caputo階分數階導數定義:

從Caputo分數階導數定義可知，它能很方便地應用在初值問題中.

定義2.3[11]可導函數f(t)的α階Abdeljawad分數階導數定義:

易知，當f(t)為可導函數時，

定義2.4[11]Abdeljawad分數階積分定義:

并且有

這里，為方便研究，僅僅討論單種群擴散模型的解法，擴散模型[12]是用來分析多種群相互作用關系、競爭關系以及種群與環境之間存在的相互關系的模型，種群擴散微積分模型有兩種：線性和非線性模型，根據模型的分析方法，我們還可以分為兩類：連續性和離散性擴散模型，應用廣泛的連續性模型有：Logistic單種群模型、單種群反應擴散模型以及兩種群間擴散模型[18]，本文僅僅研究了單種群反應擴散模型.

3.種群擴散模型的求解

鑒于種群生態種群擴散的復雜性，并考慮到分數階導數的優越性，這里，我們首先給出推廣的時間分數階Fick擴散定律[13]:

其中，J表示擴散通量.

引入質量守恒方程:

將方程(3.1)帶入方程(3.2)，可得含源項的推廣的時間分數階種群擴散非線性Fisher型模型方程:

其中，u=u(x，t)為種群密度函數，源項為種群增長項，且滿足F(0)=F(0)=0，F′(0)＞0＞F′(1)，方程(3.1)、(3.2)、(3.3)中所用的導數定義為Abdeljawad導數(帶常數初值的變分迭代法求解u1時除外).

本文首先分別利用分數階變分迭代法和同倫擾動法求解了一類時間分數階Fisher型非線性擴散模型的近似精確解，并對近似解進行了討論，進而得出：當分數階導數階數α→1時，本文方法求出的近似解與相應整數階方程的結果是一致的，因此，可以驗證本文所用方法的合理性和準確性.

我們分別利用分數階變分迭代法[14]和同倫擾動法[15]來求解時間分數階Fisher型非線性擴散模型方程.分數解變分迭代法求解過程如下：

首先，由方程(3.3)，給出如下變分迭代關系[13]:

其中，λ(ξ)為拉格朗日乘子，這里取m=2，1＜α≤2進而利用變分迭代法[16]可確定λ(ξ)=-1.因此得到方程(3.3)的變分迭代格式:

進而，我們從(3.5)的初始近似值起，開始迭代，并利用軟件Mathematica計算，求出模型方程近似解.

問題1解下面的滿足常初值條件的時間分數階非線性Fisher型擴散方程：

然后，我們首先利用分數階變分迭代法求解方程(3.6)-(3.7)，變分迭代格式為:

根據上式，從u0開始迭代，u1的求解使用Caputo分數階導數定義，u2，u3，···，un的求解使用Abdeljawad分數階導數定義，可得如下一系列近似解:

接下來，我們用同倫擾動法求解此問題，求解過程如下:

建立下面的同倫格式[8]:

其中，u0為模型方程近似初始值，假設方程有級數解形式為；

將(3.14)帶入(3.13)，并比較等式兩邊p的同次冪得到:

用Abdeljawad分數階積分定義分別對上述方程兩邊求積分，得

從而，根據同倫擾動法，可得方程(3.6)-(3.7)的近似解如下：

若對上述解取α→1時的極限，可得

上面的解與整數階Fisher種群擴散模型的精確解[17]結果是一致的，這說明本文所用方法是合理準確的.

問題2求如下時間分數階非線性Fisher型擴散方程

滿足如下初值條件

由上面兩式，得相應時間分數階變分迭代格式為

由初值起，u1的求解使用Caputo分數階導數定義，而u2，u3，···，un的求解使用Abdeljawad分數階導數定義，可得下列近似解

接下來，我們用同倫擾動法求解此問題:

將(3.14)帶入(3.13)，并比較等式兩邊p的同次冪得到

用Abdeljawad分數階積分定義分別對上述方程兩邊求積分，得

從而，根據同倫擾動法，可得方程(2.20)-(2.21)的級數形式解為：

表3.1給出了方程(3.6)當參數時采用分數階變分迭代法以及同倫擾動法解出的近似解與文獻解的對比(取)，這里，我們取變分迭代法近似解的第三項，而同倫擾動法，我們取了近似解的前四項，從比較的結果來看兩種方法都具有較高的精度，對比結果表明本文所用模型是正確的.

表3.1 方程(3.6)當參數α=1時近似解與文[17]中解的比較

表3.2給出了方程(3.6)當參數α=1，0.6，0.4，t=0.1，0.2，0.4，x=1時采用分數階變分迭代法和同倫擾動法解出的近似解的對比，這里，我們取變分迭代法近似解的第三項，而同倫擾動法，我們取近似解的前四項，從比較的結果來看兩種方法都具有較高的精度，對比結果表明本文所用模型和方法是合理和準確的.

表3.2 方程(3.20)當參數x=1時兩種近似解的比較

4.結論

本文利用新的分數解微積分定義結合變分迭代法以及同倫擾動法求解了一類時間分數階非線性Fisher型擴散方程的近似解，并對得出的模型近似解進行了討論，最后，與相應的整數階微分方程的解進行了對比，驗證了所用方法求解此類時間非線性分數階種群擴散方程的準確性.