一類具記憶項(xiàng)和非線性阻尼項(xiàng)的雙曲型方程的整體吸引子

張素麗，張建文，王海燕

(1.太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載學(xué)院，山西太原030024;2.太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，山西太原030024;3.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西太原030024)

1.引言

波動(dòng)方程是偏微分方程中重要的一類方程，對(duì)波動(dòng)方程的數(shù)學(xué)研究能幫助我們更加準(zhǔn)確深刻地描述和理解物體的運(yùn)動(dòng)情況和物理規(guī)律.關(guān)于波動(dòng)方程的研究已有很多著作.[1－3]Giorgi等[4]研究了只有記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程

的整體吸引子的存在性.記憶項(xiàng)是反應(yīng)系統(tǒng)的過(guò)去狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)行為的影響，是材料的某種“記憶”性能，很多粘彈性材料都有這種“記憶”性能.

MA和ZHONG[5]研究了具有記憶項(xiàng)和弱阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程

的整體吸引子的存在性.由于在物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，阻尼是不可避免的，并且阻尼對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)有著巨大的影響，所以研究具有阻尼項(xiàng)和記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程有很重要的物理意義.

Park等[6]研究了具有記憶項(xiàng)和非線性阻尼項(xiàng)，即阻尼項(xiàng)以非線性次數(shù)增長(zhǎng)情形下的波動(dòng)方程

的整體吸引子的存在性.

Kirchhoff[7]于1883年研究可拉伸弦的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，建立了下列模型

與經(jīng)典波動(dòng)方程相比，這類方程能更準(zhǔn)確地描述弦自由振動(dòng)問(wèn)題.因此，后人將這類方程命名為Kirchhoff方程.關(guān)于此類問(wèn)題解的存在性證明可參考文[8-10].2011年Lazo[11]運(yùn)用經(jīng)典的Galerkin方法證明了具有記憶項(xiàng)的Kirchhoff方程

的整體弱解的存在性.

受以上文章的啟發(fā)，我們研究如下一類具有記憶項(xiàng)和非線性阻尼項(xiàng)的Kirchhoff波動(dòng)方程的整體吸引子的存在性.

Ω是RN中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，其中M(s)=a+bs，a，b＞0，g(ut)是阻尼項(xiàng)，f(u)是源項(xiàng).關(guān)于a(x)，g(ut)，f(u)的假設(shè)我們將在后面給出，h是L2中的函數(shù).

我們采用文[4-6]中的定義：

對(duì)上式求導(dǎo)，我們可得

所以

令μ(s)=-K′(s)，K(∞)=1，方程(1.1)變?yōu)?/p>

初邊值為

2.預(yù)備知識(shí)

我們首先給出證明過(guò)程中用到的一些假設(shè):

1)關(guān)于記憶項(xiàng)μ的假設(shè):

(h1)μ(s)∈C1(R)∩L1(R)，?s∈R+;

(h3)μ(s)≥0，μ′(s)≤0;

(h4)μ′(s)+k1μ(s)≤0，?s∈R+，其中k1＞0.

2)函數(shù)a(x)滿足

其中α0是常數(shù).

3)函數(shù)f∈C1(R)，滿足

當(dāng)n≤2時(shí)，0＜p＜∞;當(dāng)n＞2時(shí)，λ1是中的第一特征值.

4)函數(shù)g滿足

當(dāng)n≤2時(shí)，1≤q＜∞;當(dāng)n＞2時(shí)，1≤q≤.

接下來(lái)，我們給出本文用到的空間

其內(nèi)積和范數(shù)為

我們的分析是基于如下空間

并對(duì)其賦予以下的范數(shù)

利用經(jīng)典的Galerkin方法，我們可得到如下關(guān)于系統(tǒng)(1.7)-(1.10)解的存在唯一性，具體可參考文[6，14].

引理2.1[6，14]假設(shè)1)-4)都成立，若z0=(u0，v0，η0)∈H，則系統(tǒng)(1.7)-(1.10)存在唯一弱解z=(u，ut，η)，對(duì)所有的T＞0都滿足z∈C([0，T]，H).

引理2.2[13]設(shè)g(.)滿足(2.4).則對(duì)任意δ＞0，存在C(δ)＞0，滿足

3.吸收集

本節(jié)中，我們將證明系統(tǒng)(1.7)-(1.10)在H中存在有界吸收集.本文中(·，·)，||·||分別代表L2中的內(nèi)積和范數(shù)，Ci表示不同的正常數(shù).

引理3.1在引理2.1的假設(shè)下，系統(tǒng)(1.7)-(1.10)在空間H中存在有界吸收集.

證方程(1.7)與ut作L2中內(nèi)積，得

我們令

由(3.1)，(3.2)我們可知

對(duì)上式，我們?cè)赱0，T]上積分，由假設(shè)2)，4)，我們有

由假設(shè)2)，我們可知存在λ＞λ′＞0，以及C0滿足下式

選擇足夠小的ε＞0，則

由(3.3)，(3.6)，可得

接下來(lái)，方程(1.7)與v=ut+δu作L2中內(nèi)積，我們可得

設(shè)

所以

利用(3.5)和Young不等式，

選擇足夠小的δ，ε，使得，則有

由假設(shè)2)，4)，我們可知存在δ＞0和C(δ)＞0，使得下式成立

由Young不等式，可得

由假設(shè)4)，我們有

所以

其中C是與s無(wú)關(guān)的常數(shù).

其中a0=supx∈Ω a(x)，γ是常數(shù).由(3.5)(3.10)(3.11)(3.13)，我們有

選擇足夠小的γ，使得可知

其中CE(0)由δ，Cγ，Cs，E(0)共同決定，是依賴于δ，Cδ，C0，C的常數(shù).

對(duì)(3.8)在(0，t)上積分，結(jié)合(3.7)，(3.9)，(3.14)，我們可得

其中δ′=min{δ，k1}.

因此B0是一個(gè)有界吸收集，定義

B1就是所需的有界吸收集.證畢.

4.整體吸引子

本節(jié)我們將證明系統(tǒng)整體吸引子的存在性.我們定義

引理4.1[12]耗散動(dòng)力系統(tǒng)(H，S(t))具有一個(gè)緊的整體吸引子當(dāng)且僅當(dāng)它是漸進(jìn)光滑的.

引理4.2[12]假設(shè)對(duì)任意的有界正不變集B?H和任意的ε＞0，存在T=T(ε，B)，使得

這里ΦT:B×B→R，對(duì)任意{zn}n∈N?B，滿足

那么半群S(t)是漸進(jìn)光滑的.

接下來(lái)，我們利用先驗(yàn)估計(jì)來(lái)證明系統(tǒng)的漸進(jìn)光滑性.

首先，方程(4.2)與ω作L2中內(nèi)積，有

對(duì)上式在[0，T]上積分

由Young不等式，我們有

緊接著，方程(4.2)與ωt作L2中內(nèi)積，得

令

由于

所以

(4.6)在[s，T]上積分，其中0≤s≤t，

(4.7)關(guān)于s在[0，T]上積分，得

將(4.6)在[0，T]上積分，得

由(4.4)(4.5)(4.9)，我們有

由(3.7)及吸收集的存在性，我們有

其中Cρ由mes(Ω)，||h||2及B0的半徑共同決定.

類似于(3.13)，我們有

結(jié)合(4.8)(4.10)(4.12)，我們有

令

則我們有

接下來(lái)，我們利用引理4.2來(lái)證明半群{S(t)}t≥0在H中是漸近光滑的.

定理4.1在假設(shè)1)-4)下，系統(tǒng)(1.7)-(1.10)所對(duì)應(yīng)的半群{S(t)}t≥0在H中是漸近光滑的.

證由于半群{S(t)}t≥0存在有界吸收集，我們選取并且選取足夠大的T使得于是，由引理4.2，我們只需證明，(4.15)中定義的對(duì)每個(gè)固定的T，(4.1)式恒成立.這里(un，unt，ηn)是相應(yīng)于初值=1，2的解，我們有和其中.

因?yàn)锽1是H中的正不變集，不失一般性，我們有

緊接著，由(4.17)，我們可得

最后，類似于文[6]，我們有

結(jié)合(4.21)-(4.29)和引理4.2可知定理4.1成立.證畢.

定理4.2若假設(shè)1)-4)成立，系統(tǒng)(1.7)-(1.10)在H中存在整體吸引子.

證由引理3.1和引理4.1可知系統(tǒng)存在整體吸引子.證畢.