關聯教學理念下兒童數學系統性思維品質的提升策略

孫 欣

蘇聯教育家斯托利亞爾說：“數學教學說到底是數學思維的教學。”小學數學教學其實就是教師對數學思維的解碼，對兒童內心言語符號的解讀。在教學中，教師應注意為兒童播下數學思考的種子，培育其數學學習能力，培植其數學思維品質。

一、兒童數學思維點狀樣態檢視

其一，概念認知碎片化——局部零散，整體缺位。一些兒童對數學概念的認知呈現出零散化、細節化、局部化的特點，缺少整體考量。如學習了除法，他們會認為所有題目都能用除法解決。碎片化的認知導致兒童不能從整體上把握每個知識點的價值與應用范圍。

其二，數學理解片面化——感知表象，本質缺失。有些兒童常依據事物的表象做判斷，而忽視對事物本質的把握。如他們會認為“13+25+75=25+75+13”只運用了加法交換律，這是因為他們只關注加法結合律中有括號的表象，而不理解其改變運算順序的本質。過于追求表面現象會使兒童產生思維惰性，對數學的理解不全面、不深入。

其四，語言表達半邏輯——條理雜亂，邏輯不整。兒童的數學思考往往沒有邏輯鏈，對知識的前因后果缺乏真正的理解。如口算“20×3”，常說“2 個十乘3 得60”，準確的表述應為“2個十乘3 得6 個十，所以是60”。語言反映思維，兒童對算理與算法間的關系梳理不清，導致其表達不清晰、論理不充分，存在著模糊、停頓、斷續的邏輯傾向。

二、基于關聯教學解碼兒童數學系統性思維的培養

（一）關聯教學的內涵詮釋

關聯指互相貫連，起連接作用且相互聯系。關聯教學是指教學具有整體視野，順應兒童的認知規律，從關聯的視角看待數學知識、數學方法和數學思想，發現知識之間、教學要素之間存在的相關性和聯系性，從而處理數學信息，建構新的表征，解決數學問題。

（二）數學系統性思維的內涵詮釋

數學系統性思維是指從數學系統出發，根據部分和部分、整體和部分、結構和功能等要素之間的聯系與相互作用，更加精確、綜合、深入地認識數學、理解數學。在教學中培養兒童的數學系統性思維，有助于他們克服數學思維的點狀現象。

（三）基于關聯教學培養兒童數學系統性思維的目標

其一，讓兒童對數學的認知從“散點”走向“類型”。依據教材系統、整體地規劃教學行為，在獲取知識和外顯思維的過程中，幫助兒童把散點知識筑成具有生長力量的類結構。其二，讓兒童習得的數學方法從“割裂”走向“聚合”。用聯系的視角聚合不同問題、不同方法的本質，找準被分割部分的內在關聯，求同存異，相互融通，從而實現思想方法的類遷移。其三，讓兒童對數學的感悟從“斷續”走向“連續”。關聯教學有助于兒童建構清晰、有序的思考路徑，形成解決問題的程序、步驟，推動其思維逐步走向連貫。其四，讓數學理解從“局部”走向“全局”。站在單元、內容領域或學段的視角，幫助兒童深刻認識和理解數學課程，發現數學內部及其與其他學科和現實生活的聯系。

三、基于關聯教學提升兒童數學系統性思維的策略

（一）知識類關聯，為系統性思維提供學科內部結構支撐

1.同域知識串聯——從紛雜走向有序。

同域知識串聯是指把點狀的同域知識串成線狀存在。同領域內容看似紛雜，但往往具有多重內在聯系，教師要注意縱向溝通，把握知識生長序列，促進同域各系統因子協同發展，讓兒童的知識體系自然生長。如“多邊形的面積”相關內容如表1所示。看似各不相同的公式卻具有本質關聯性。若改變順序，以梯形面積計算公式為“根”，可生長如下：上底縮小為0（b=0），就變成三角形；上下底相等（a=b），就變成平行四邊形（長方形或正方形）。幾種圖形的面積計算公式均可表示為S=（a＋b）×h÷2。（如圖1）教學要梳理與打通紛亂的知識背后的內在聯系，引導學生感受其本質的統一性。

表1 “多邊形的面積”相關內容

（圖1）

2.異域知識并聯——從單向走向多維。

異域知識并聯是指把不同領域的知識并聯在一起。異域內容看似相互獨立，但轉換視角，將其內在特征橫向融通，同樣可在多維關聯中促進兒童的數學理解達到不一樣的層次與境界。如蘇教版四下《乘法交換律》一課的例題：四年級有6 個班，五年級有4 個班，每個班領24根跳繩，四、五年級一共要領多少根跳繩？通過兩種方法得到等式6×24+4×24=（6+4）×24 后，教師引導學生經歷形成猜想、舉例驗證、得出結論的不完全歸納過程。然后啟發學生借助面積計算方法解釋規律，在數域與形域之間建立關聯（如圖2）。獲得數學結論的路徑不止一條，關聯異域知識，引導兒童從多元視角看待數學體系，有助于他們從多個維度建構數學模型，從而領略到數學系統的別樣風景。

（圖2）

3.類群知識網聯——從一些走向一類。

關聯教學常常實現從點狀到線性再到網狀的升華。觀照兒童的認知維度，對知識進行類同關系比較，把一些知識聯結成一類知識，有助于學生充分挖掘數學結構群的育人價值。教學蘇教版五下《異分母分數加減法》一課，教師常局限于引導學生借助數形結合理解算理算法，而忽略溝通不同類型的數加減運算的內在聯系。其實，教師可引導學生先整體感悟分數加減法的類型（同分母、異分母——包括能否化成有限小數的），再按類研究，類比遷移，最后溝通整數、小數、分數加減法計算的本質，突出相同計數單位可直接相加減的算理。把各分支納入整體認知結構，形成一類知識關聯，有利于兒童完善分類的思維品質。

（二）方法類關聯，為系統性思維提供認知能力結構支撐

1.回顧反思，提供研究步驟的程序支撐。

習得方法比獲得知識更有價值。教師要注意引導兒童既經歷觀察、操作、實驗、猜測、驗證、推理、歸納等數學化過程，也適時回顧反思，提煉總結，提升研究能力。如教學蘇教版五下《2和5的倍數的特征》一課，若學生的學習僅僅停留在記憶特征層面，就遮蔽了數學學科的育人價值。教師可先引導學生探究2 的倍數的特征，在百數表上圈出2 的倍數，經歷形成猜想、舉例驗證、得出結論的不完全歸納過程。然后追問：剛才是怎樣研究的？從而總結出“小范圍形成猜想—大范圍舉例驗證—得出結論”這一研究步驟，學生依據此方法可獨立探究5 的倍數的特征。面對新問題，兒童會無意識地對已有經驗進行聯結加工。引導兒童對學習過程與方法進行回顧、總結、提煉，有助于他們建構穩固的思考模型。

2.主動遷移，提供思維路徑的拓展支撐。

在數學學習中，兒童如能循著合適的思考路徑進行探究，將會達到事半功倍的效果。教師在教學中設計教與學的結構流程，可促進兒童整體認知和深度學習。如教學蘇教版三上《整十、整百數乘一位數口算》一課，教師引導學生借助表象操作理解“2 個十乘3 等于6 個十”，啟發他們思考：以前學習2 個一乘3 得6 個一，今天學習2 個十乘3 得6 個十，繼續往下想，你會想到什么？突出計算原理的內在關聯，讓學生在想象推理中提煉出一類算式的共同算法，實現主動遷移。教師教學時立足方法系統，把教與用有機融合，為兒童提供思維路徑，推動他們的認識從特殊提升到一般層面，將有助于實現“不教之教”的愿景。

3.求同存異，提供思考方向的變化支撐。

兒童的數學學習具有生長性，不僅體現在知識累加上，更體現在思維經驗的豐富、思維方式的優化、思維能力的發展、思維品質的形成上。教師注意引導學生在關聯中尋找想法共通處，將有助于他們明確思考方向。如教學蘇教版六上《表面涂色的正方體》，課始，教師出示將每條棱100 等分的表面涂色的正方體，激發學生想象：若沿等分線全部切開，得到的每個小正方體的涂色情況是怎樣的？學生覺得困難。教師進而追問：可以怎么來研究？學生想到從棱2等分、3等分、4等分……開始研究。教師繼續啟發學生思考：這些想法有什么共同之處？（減少份數，便于研究）進而揭示：天下大事，必做于易，“從簡單想起”是數學研究常用的思維方式。教師要注意把兒童不完善的經驗與體驗升華為科學的思維方式，為其后續研究復雜的問題提供思考方向，進而形成自覺、主動的研究心態，建構新的思維模式。

（三）思想類關聯，為系統性思維提供動態結構支撐

1.鼓勵質疑問難，讓兒童心中有問題。

數學學習是獲取知識、形成技能和建構思想方法的思維活動。教師教學時應注意以問題為紐帶，鼓勵兒童質疑問難、發表想法，促進他們在思考、感悟、內化過程中形成思想關聯。如教學蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學長方形的長增加引起面積變化的情況之后，教師啟發學生思考：由長增加會帶來面積變化，你能聯想到什么？（長減少、寬增加、寬減少等情況亦能帶來面積變化）在學生畫圖解決每種情況后，教師引導學生整體觀察并比較相同點，從而發現：只有長變化時，寬沒有變，都是先求寬；只有寬變化時，長沒有變，都是先求長。使學生在變中找不變，體悟“以不變應萬變”的思想。教師教學時應注意避免“一問到底”，而應鼓勵兒童提出問題，讓兒童心里有想法，并在比較、思辨中激活兒童的自我再生潛質。

2.積極聯想想象，讓兒童腦中有意識。

數學知識體系的明線和數學思想體系的暗線貫穿于數學學習全過程。教師要注意引導兒童充分展開聯想，感受到看不見的暗線，觸摸到數學系統的靈魂。蘇教版五下“解決問題的策略”單元的一道習題如圖3 所示。學生可以生搬硬套梯形的面積計算公式列出算式——（15+6）×10÷2，卻難以闡述這道題與梯形面積計算公式的直接關系。教師可以適時啟發學生思考：梯形的面積計算公式是怎么推導出來的？讓學生想象“復制”一個完全相同的鉛筆架（如圖4），其中的奧秘便漸漸浮現出來了。如此，到六年級下學期求如下圖5 所示的圖形的體積時，學生腦中儲存的轉化思想便可以幫助他們通過聯想復制成如下圖6 所示的圖形來解決問題。教學不僅要關注問題解決，還要注意滲透、提煉數學思想。如此，兒童的思維鏈才不會斷裂，聯想和想象才能與數學思想無縫對接，從而引領兒童的系統性思維連續生長。

（圖3）

（圖5）

（圖6）

3.善于變式變通，讓學習更高效。

學習方式不同，則學習效果不同。教學時，教師善于變通，注重靈活關聯與綜合應用，能讓兒童形成新的思維方式，從學會走向會學。蘇教版四上“解決問題的策略”單元的一道習題如圖7 所示，教師教學時可以引導學生觀察，使他們發現：題（1）中箱數和裝箱時間在變，商始終不變；題（2）中每箱個數和箱數在變，積始終不變。提煉出兩題的本質都是先求不變量，體現了滲透函數思想的教學考量。教師在教學中注意啟發兒童進行變式學習，引導他們變通關聯，有助于他們提升數學學習的質量。

數學是兒童生命成長的載體。教師眼里應該有完整的數學、動態的數學。基于關聯的視角，把整體化、結構化、序列化、網絡化的數學清晰、有序地呈現給兒童，將有助于他們學習的數量從單一走向多元，學習的質量從扁平走向豐滿，從而順利完成知識、方法、思想的體悟與建構過程，發展系統性思維品質，從根本上完善其數學人生。

（圖7）