問題意識視域下數學概念教學的實踐與思考

葛秀蘭 王艷

【摘 要】數學概念是數學知識的重要組成部分。問題意識視域下數學概念教學的具體路徑為：設計矛盾沖突，認識標準之要;史話還原過程，感受溯源樂趣;引導知識遷移，自主建構概念;借助測量實踐，豐富概念內涵;開展變式練習，感悟度量本質;梯度拓展延伸，促進思維深化。

【關鍵詞】問題意識 ?小學數學 ?概念

數學概念是數學知識的重要組成部分。在數學概念教學中，只有把問題作為教學的出發點，用問題驅動數學概念的教學，讓學生像“數學家”那樣思考概念本質，經歷數學概念的建構過程，才能有效培養學生的問題意識、創新精神和實踐能力。下面以《認識面積單位》一課為例做具體分析。

在設計《認識面積單位》教學預案之初，備課組先大致確定了設計的原則：首先，面積單位的教學要放在度量單位體系整體建構中完成;其次，面積單位概念的建構既要利用好認識長度單位經驗的知識遷移，還要能促進后續的體積單位以及其他相關知識的學習;最后，在教學面積單位概念的過程中，要增強學生提出問題并解決問題的能力，運用幾何直觀培養空間觀念，重視學生形成獨立的思維和創新意識。而且，這應成為本節課的核心教學目標。

根據這一核心目標，我們梳理了一些問題：（1）如何激發學生產生學習面積單位的心理需求;（2）如何建立面積單位概念表象;（3）如何有利于學生對度量單位形成整體性認識;（4）怎樣讓學生在學習的過程中領會度量的本質;（5）如何讓學生習得度量單位的學習方法;（6）如何培養學生的空間觀念等。整節課我們就以這些問題為主線，以問題驅動課堂教學，幫助學生深刻理解“面積單位”這一核心概念。

一、設計矛盾沖突，認識標準之要

面積是對二維空間圖形的度量，在小學階段主要是指平面圖形的大小。此前，學生在認識“長度單位”時，已經認識到度量線段首先要統一長度單位，構建統一的度量標準。在此過程中，學生積累了一定的學習計量單位的思維經驗，但是“面積”和“面積單位”概念相對于“長度單位”要更抽象，需要從一維空間的數值（長和寬）向二維空間（大小）跨越，所以利用學生已有的經驗，創設問題情境，設置矛盾沖突，激發學生在解決問題的過程中體會“建立標準”和“統一標準”十分必要。

【案例一】

師：瞧，這個長方形紙片的面積就是這個面的大小。那紙片的面積到底有多大呢？（出示圖）

師：老師給你們準備了一張格子紙，用它量一量紙片有幾格。（學生動手實踐）

生1：2格。

生2：3格。

生3：8格。

師：為什么同一個物體的面積，方格的個數不一樣呢？

生：格子大小不一樣。

師：原來用的格子有大有小，所以量的結果不一樣。如果還用數方格的方法測量面積，要得到統一的數據，你有什么辦法？

生：格子的大小要一樣。

師：測量時，統一標準很重要，就像測量長度要用統一的長度單位，測量面積也要用統一的面積單位。

圍繞問題“測量同一個物體表面的面積，得出的結果為何不同”創設情境，引發矛盾沖突，激發學生思考因測量標準多樣造成結果不同帶來的不便，從而產生“建立統一標準”的需要，讓學生經歷這樣的學習過程有利于整個度量體系的建立。

二、史話還原過程，感受溯源樂趣

面積單位要統一兩個標準，即“形狀”的標準和“大小”的標準。為什么沒有選用圓、三角形或其他圖形，而是選用正方形作為它的“形狀”標準，是源于人們在測量中的易操作性而非它的本質屬性，所以教學中無須讓學生花大量的時間探究，但認識“形狀標準”的產生過程對學生完整構建“面積單位”概念卻是不可或缺的。因此，我們設計了一段視頻輔助教學。

【案例二】

師：選用什么樣的圖形作為面積單位的形狀標準呢？相互說一說。

生：三角形、正方形、長方形、圓形。

師：都很有想法，下面就讓我們一起看視頻，跟著歷史回顧面積單位“形狀”標準產生的過程。

播放視頻，畫外音介紹：面積單位的產生是源于人們實際測量活動的需要。那么，選擇什么樣的圖形以及多大的圖形作為面積單位自然也要方便人們的實際測量。通過大量的測量實踐，人們發現，如果用圓作為形狀標準，實際測量會產生大量空隙，測量的結果必然是不準確的，而把土地分割成標準的正三角形、長方形和正六邊形，其難度比分割成正方形要大。因此，勞動人民在生產和生活中，自然地將土地分成了一個個正方形或長方形（展示中國的象形漢字“田”和“畝”）。于是，用正方形作為面積形狀標準成了人們不約而同的選擇。

師（小結）：原來面積單位是用正方形作為標準的，那么用多大的正方形作為面積單位呢？

拋出問題“選用什么樣的圖形作為面積單位的形狀標準呢”驅動學生思考。這雖不是面積單位概念的本質屬性，但可以讓學生體驗到許多數學概念不是“天外來客”，而是人類在努力探究自然、社會和精神世界的過程中形成的體系化的認識成果。教學中以視頻介紹的方式呈現，既不突兀又貼合學生的實際學習需要。

三、引導知識遷移，自主建構概念

數學知識獲得的過程通常是知識疊加的過程，呈現螺旋上升的樣態。同樣的，在度量單位的體系里，從長度單位到面積單位，空間從一維延伸到二維。利用學習長度單位的經驗，實現知識遷移，認識不同的面積單位，感受面積單位的大小，是建構面積單位概念最為有效的路徑。這樣的路徑還適用于學習、研究其他的度量單位，讓學生學到有生長力的知識。

【案例三】

師：想一想，我們已經學過哪些計量單位？

生：時間單位（時、分、秒），長度單位（厘米、分米、米），質量單位（克、千克），貨幣單位（元、角、分）。

師：猜一猜，我們今天學習的面積單位與什么單位有關？

生：長度單位。

師：那面積單位與長度單位有什么樣的聯系呢？（課件演示點動成線，線動成面的過程）

師：邊長1厘米的正方形面積是1平方厘米。1厘米是長度單位，1平方厘米是面積單位。

師：我們在學習長度單位時，用了認一認、畫一畫、找一找、量一量的辦法記住了這些長度單位，是不是也可以利用這些辦法記住面積單位呢？學習小助手也可以幫助我們。（課件出示學習小助手）

在學生了解選用正方形作為面積單位形狀標準的歷史演變過程后，教師順勢以新的問題“多大的正方形作為統一的標準呢”引導學生思考，教師適時介紹：為了便于交流，數學上規定統一的標準是1平方厘米、1平方分米、1平方米……進而介紹邊長為1厘米的正方形的大小就是面積單位1平方厘米，接下來帶領學生通過“認、畫、找、量”等數學實踐活動，幫助學生感知1平方厘米的實際大小，建立面積單位的表象。這樣的設計，借助操作、圖像、符號等多種表征方式，引導學生經歷從借助實物進行操作，到脫離實物在頭腦中進行影像操作的過程，最終將面積單位的表象映在學生的腦海中。

四、借助測量實踐，豐富概念內涵

面積單位的教學不僅需要讓學生形成面積單位的表象，更重要的是讓學生將面積單位的表象與生活中實際物體的面進行聯結，并且能用面積單位度量生活中物體的面，讓學生通過大量的測量實踐，在腦海中形成面積單位大小的影像，豐富對面積單位的認識。

【案例四】

1.測量橡皮面的面積

師：大家從學具袋里拿一些1平方厘米的正方形，量一量橡皮這個面的面積有多大。

（生測量活動并匯報）

師：鋪滿橡皮的這個面用了 2個1平方厘米的正方形，我們就說橡皮這個面的面積是2平方厘米。

師：如果鋪滿用了3個1平方厘米的正方形，面積是多少？鋪滿4個呢？

師（小結）：這個面包含幾個1平方厘米，面積就是幾平方厘米。

2. 測量1元硬幣面的面積

師：量一量1元硬幣面的面積有多大，遇到了什么困難？

生：不能正好鋪滿。

師：4個1平方厘米沒有正好鋪滿，還有較小的空白地方，可以說硬幣面的面積大約為4平方厘米。

在測量活動中，都選取學生熟悉的物品。先是測量橡皮一個面的面積，積累測量的經驗和方法;再估測橡皮另一個面的面積，引導學生在自我比對和調整的過程中，逐步完善對面積單位大小的感知，從而建立更為清晰的概念表象。接著測量硬幣面的面積，讓學生在解決新問題的過程中，進一步認識面積單位的意義，不斷感悟面積單位的價值。

五、開展變式練習，感悟度量本質

為了使學生全面正確地理解度量本質，可以給學生提供直觀材料和實例，不斷變換非本質屬性，引導學生在解決實際問題的過程中感悟“面積就是面積單位的疊加”這一度量的本質。

【案例五】

師：先用6個1平方厘米的正方形拼一拼，再想一想這些圖形的面積是多少？

（學生動手拼一拼，并展示部分學生的作品）

生：面積都是6平方厘米。

師（追問）：這些圖形的形狀各不相同，為什么面積都是6平方厘米？

生：因為這些圖形都是用6個1平方厘米的正方形拼成的，所以它們的面積都是6平方厘米。

【案例六】

師：下面圖形的面積各是多少平方厘米？和同學說說你的算法。（每個小方格表示1平方厘米）

師：這些圖形的面積是怎么得到的？

生1：可以把兩個三角形拼成1個正方形，面積就是1平方厘米。

生2：可以分成兩部分數，先數有幾個小正方形，就是幾平方厘米，然后再數有幾個三角形，兩個三角形就是1平方厘米。最后把兩次數的結果加起來就是這個圖形的面積。

這樣的設計引導學生主動運用“轉化”策略，通過圖形的平移和旋轉將不完整的面積單位設法拼補成完整的面積單位，再進行“計數”。學生在解決問題的過程中，不但感悟了數學思想，還積累了數學活動的經驗。

六、梯度拓展延伸，促進思維深化

用“系列遞進的問題”聯結課堂教學，不僅在一定程度上遵循了學科知識發展的內在邏輯，同時也是強化學生問題意識、促進學生思維深化的需要。

【案例七】

師：教室里黑板面的面積是多少？先估一估，再量一量。

生1：大約3平方米。

生2：大約4平方米。

師：到底是多大？我們一起來量一量。你們準備選用哪個面積單位？

生：選用1平方米的正方形去量。

師：我們已經量出黑板的面積是4平方米多一些，剩下的部分可以用什么面積單位去量？

生：再用1平方分米的正方形去量。

師：還有剩下的怎么辦呢？

生：再用1平方厘米去量。

師：通過對黑板面積的測量，我們發現選用多大的面積單位需要根據實際場地的大小。如果測量我們學校、城市、國家的面積需要用到什么面積單位？

生：需要用到更大的面積單位。（平方千米等）

師：因科學研究的需要，有時還要用到很小的面積單位。這些我們今后再學習和研究。

在幾次選用不同面積單位測量的過程中，讓學生在比較中感悟聯系，體會“知識從哪兒來” “往哪兒去” ，進而拋出“如何測量學校、城市、國家的面積”這個問題，為學生后續學習面積的相關知識埋下伏筆，用新的問題激發學生新的思考、新的探究。

在數學概念教學中，只要教師把問題作為教學的出發點，以數學問題驅動課堂教學，就能使教學活動真正有利于培養和提高學生分析問題、解決問題的能力，進而逐步培養學生的問題意識。學生在概念的建構過程中，按照“提出問題—探究問題—解決問題—發現新問題”的模式，循環往復、逐步深入地展開，這些不斷被“發現”的新問題就能推動學生思維積極有效地開展并走向深刻。學生從解決他人提出的數學問題走向主動發現問題、提出問題和解決問題，不僅數學知識能得到靈活的應用，問題意識、創新能力也能得到有效培養。只有這樣，學生的數學素養才能全面提升，數學學習之路才能越走越寬，越走越遠。