基于兩點磁梯度張量的磁偶極子在線定位方法

劉繼昊，李夕海，曾小牛，劉代志

(火箭軍工程大學，陜西 西安 710025)

基于兩點磁梯度張量的磁偶極子在線定位方法

劉繼昊，李夕海，曾小牛，劉代志

(火箭軍工程大學，陜西西安710025)

針對Nara方法中目標磁感應強度難以準確測量的問題,提出了基于兩點磁梯度張量的磁偶極子在線定位方法。該方法利用任意兩點的磁梯度張量差分量與目標磁感應強度差分量定位磁偶極子。仿真實驗結果表明,該方法定位成功率不受背景磁場的影響；相同條件下，該方法的定位成功率為44.69%，而以往改進方法最高定位成功率為37.65%。

磁梯度張量;磁偶極子;定位

0 引言

磁梯度張量較傳統的磁探測量具有更為豐富的信息，更加有利于對磁性目標的定位和跟蹤，為磁性目標探測提供了有效手段，相關理論也已成為磁探測領域的研究熱點[1-3]。在磁性目標探測領域中，磁偶極子是一種重要的磁源等效模型[4]。基于磁偶極子等效模型和磁梯度張量的磁性目標在線定位方法應用廣泛。

Nara等人[5]以定位射頻識別標簽為應用背景，提出了一種直接通過單點目標磁梯度張量和目標磁感應強度定位磁偶極子的方法。然而，實際應用中，存在著不能忽略的背景磁場，導致目標磁感應強度無法準確測量,從而導致Nara方法定位結果誤差很大。針對該問題，李光等[6]將Nara方法中的磁梯度張量替換為磁感應強度二階差分量，目標磁感應強度替換為磁感應強度一階差分量，提出了不受背景磁場影響的新方法；于振濤等[7]則通過對Nara方法中的定位方程進行偏微分推導，提出了基于磁梯度張量垂向差分的目標定位改進算法；尹剛等[8]基于Nara方法，利用磁感應強度二階差分量，結合磁梯度張量矩陣特征向量與目標參數的正交性，提出了一種新的定位方法。但是，根據仿真實驗的結果，以上三種改進方法的定位誤差雖然小于Nara方法，但仍然較大[9]。因此，本文針對上述問題，提出了基于兩點磁梯度張量的磁偶極子在線定位方法。

1 Nara方法原理及其十字形張量測量系統

設M為磁偶極子的磁矩，r為張量測量點與磁偶極子的相對位置矢量，n為r的方向向量，r為r的模，μo為空氣中的磁導率。如果不考慮背景磁場的存在，張量測量點處的磁感應強度B為：

(1)

與磁偶極子相對位置矢量為r+ndr的點處的磁感應強度B′為：

(2)

r+ndr處到r處的磁感應強度變化量為：

(3)

變化量又可以表示為：

(4)

聯立式(3)式(4)，可得：

r=-3G-1B

(5)

通過張量測量系統測得張量G后，再測定目標磁異常場的B，即可完成定位。

測量G所采用的十字形張量測量系統[5]如圖1所示。

圖1 十字形張量測量系統示意圖Fig.1 Sketch map of cruciform tensor measurement array

測量系統共采用5個三軸矢量磁力計，其中1,3號磁力計的距離和2,4號磁力計的距離均為d(即為基線長度);0號磁力計位于十字中心，用于測量探測點的磁感應強度B;1,2,3,4號磁力計的測量結果B1，B2，B3，B4用于計算磁梯度張量。所有磁力計坐標系與測量系統坐標系對準，根據磁梯度張量的定義與性質，在此種測量方式下：

(6)

2 基于兩點磁梯度張量的磁偶極子在線定位方法

2.1 方法原理

設測量張量的兩個點A、B對應的位置矢量分別為rA，rA+Δr，目標所等效的磁偶極子的磁場用Bt表示，則根據式(5)有：

GArA=-3BtA

(7)

(8)

由式(8)減去式(7)得：

(9)

解得：

(10)

實際應用場景中，背景磁場多是地磁場，在測量系統所處的范圍內可以認為地磁場是勻強磁場，用Be表示，三軸磁力計所測得的磁感應強度用B表示，在不考慮其他磁場干擾的情況下，在同一個坐標系下顯然有：

BA=Be+BtA

(11)

BB=Be+BtB

(12)

由式(12)減去式(11)得：

BtB-BtA=BB-BA

(13)

代入式(10)可得：

(14)

式中，BA，BB，GA，GB可以通過測量得到，Δr由兩點張量測量系統的設計決定，為已知量。

2.2 兩點張量測量系統

根據2.1節所提方法的原理，本文設計了新型張量測量系統如圖2所示。

圖2中陣列共有8個坐標軸嚴格對準的三軸磁力計組成，其中1，2，3，4號磁力計組成邊長為d的正方形張量陣列測量GA，計算公式為：

(15)

圖2 兩點張量測量系統示意圖Fig.2 Sketch map of two-point tensor measurement system

2.3 方法步驟

結合方法原理以及所設計的張量測量系統，方法實現步驟如下：

1)讀取磁力計1到磁力計8的磁感應強度測量結果Bi,(i=1,2,3,4,5,6,7,8)；

2)計算得到GA，GB；

3)解算位置向量

(16)

3 仿真實驗

定義定位誤差e的計算公式為：

(17)

圖3 算法仿真方法示意圖Fig.3 Sketch map of simulation experiment

考慮到實際應用，定位誤差大于10%時，即認為定位失敗，在定位誤差分布圖中用白色網格表示定位失敗的探測點，同時，定義定位成功的探測點占所有探測點的比例為定位成功率，用以衡量算法的性能。

3.1 仿真條件與結果分析

1)為了觀察方法本身的誤差，所有張量測量系統的基線長度d都取為1 m，在不考慮背景磁場和測量誤差的條件下，對Nara方法和本文提出的方法進行仿真實驗。

兩種方法定位誤差空間分布如圖4(a)、圖4(b)所示，由仿真結果可知，即使不存在背景磁場，方法本身仍存在誤差。根據統計，Nara方法的定位成功率為99.50%，本文方法的定位成功率為98.62%。

圖4 無背景磁場情況下定位結果對比Fig.4 Results without background magnetic field

圖5 有背景磁場情況下定位結果對比Fig.5 Results with background magnetic field

可以看到，由于背景磁場的存在，原Nara方法定位成功率降為0。本文方法成功定位區域覆蓋半徑最大。根據統計，各方法的定位成功率如表1所示，可知，本文所提方法定位成功率高于以往的改進方法。

表1 各方法定位成功率對比

統計每種方法完成一次定位的平均耗時作為衡量方法效率的指標，結果如表2所示。其中，李光改進方法和尹剛改進方法耗時最少，本文方法和于振濤改進方法耗時較多，但仍能滿足在線實時定位的要求。筆者分析，本文方法和于振濤改進方法耗時較多的原因是二者都需要計算兩個點的磁梯度張量。

表2 不同方法的定位平均耗時比較

3)實際應用過程中，存在張量測量陣列基線長度d的選取的問題。保持仿真實驗步驟2)中的其他條件不變，張量測量系統的基線長度依次取d=(0.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9)m。對本文所提方法、李光改進方法、于振濤改進方法和尹剛改進方法進行仿真實驗。

通過實驗，得到每種方法的定位成功率隨基線長度d的變化曲線如圖6。

圖6 四種方法定位成功率隨基線長度的變化曲線Fig.6 Success rate-d curves of different methods

觀察四條曲線的變化趨勢，可知：定位成功率都隨著基線長度d的增加而先增加后減小，本文方法在d=3 m時定位成功率最高(達83.95%)，李光改進方法在d=5 m時最高(48.98%)，于振濤改進方法在d=4 m時最高(70.25%)，尹剛定位方法在d=7 m時最高(70.27%)，所以本文方法的最高定位成功率在四種方法中最高；在d≤6 m時，本文方法的定位成功率一直高于其他三種改進方法；

觀察發現，定位失敗區域隨著噪聲均值的增加同時發生兩種變化：一種是呈環形向內擴張；一種是從成功定位區域的“裂縫”處不斷擴張。前者產生的原因是，磁感應強度隨距離很快衰減，而噪聲均值不變，造成信噪比隨距離快速減小，以至于定位失?。缓笳叩脑騽t與方法本身的特性有關，下文中做詳細闡述。

3.2 誤差原因分析與應對思路

本文方法在不存在干擾的條件下定位成功率只有98.62%，而該方法的理論推導中并未涉及到近似，定位成功率應為100%。筆者推測產生此種現象的原因是仿真過程中計算機的硬件限制產生的誤差(如字長產生的截斷誤差等)在方法中方程組不適定時被放大。對方法原理進行進一步分析可知，本文方法中式(14)，等價于解算線性方程組

(18)

在仿真過程中，計算BA，BB以及計算GA，GB時所用的磁感應強度都是利用磁偶極子的磁場模型通過計算機模擬得到的，由于計算機計算精度的限制，不可避免的會產生截斷誤差，對方程右側的觀測量造成擾動。截斷誤差造成的擾動雖然極其微小，但在接近奇異的系數矩陣作用下，依然會對定位結果產生惡劣影響。

對于Nara方法仿真誤差的產生原因，采用相同的分析思路，對比圖4(a)與圖4(c)可以得到同樣的結論。

所以，如何在式(18)不適定時，盡量減小定位結果解算的誤差是未來研究的一個方向。

4 結論

本文提出了基于兩點磁梯度張量磁偶極子在線定位方法。該方法利用任意兩點的磁梯度張量差分量與目標磁感應強度差分量定位磁偶極子。仿真實驗結果表明，該方法定位成功率不受背景磁場的影響；相同條件下，該方法的定位成功率為44.69%，而其他基于Nara方法的改進方法定位成功率最高為37.65%。方法解算過程中出現的不適定問題有待進一步解決。

[1]于振濤,呂俊偉,畢波,等. 四面體磁梯度張量系統的載體磁干擾補償方法[J]. 物理學報, 2014, 63(11): 139-144.

[2]張光,張英堂,尹剛,等. 基于線性誤差模型的磁張量系統校正[J]. 吉林大學學報(工學版), 2015, 45(3): 1012-1016.

[3]張光,張英堂,尹剛,等. 一種張量探測系統載體的磁張量補償方法[J]. 地球物理學報, 2016, 59(1): 311-317.

[4]張朝陽,肖昌漢,高俊吉,等. 磁性物體磁偶極子模型適用性的試驗研究[J]. 應用基礎與工程科學學報,2010,05:862-868.

[5]Nara T, Suzuki S, Ando S. A closed-form formula for magnetic dipole localization by measurement of its magnetic field and spatial gradients[J]. Magnetics, IEEE Transactions on, 2006, 42(10): 3291-3293.

[6]李光,隨陽軼,劉麗敏,等. 基于差分的磁偶極子單點張量定位方法[J]. 探測與控制學報, 2012, 34(5): 50-54.

[7]于振濤,呂俊偉,樊利恒,等. 基于磁梯度張量的目標定位改進方法[J]. 系統工程與電子技術, 2014, 36(7): 1250-1254.

[8]Yin A G, Zhang Y, Fan H, et al. Magnetic dipole localization based on magnetic gradient tensor data at a single point[J]. Journal of Applied Remote Sensing, 2014, 8(1):5230-5237.

[9]劉繼昊,李夕海,于帆. 基于磁梯度張量的磁異常在線定位方法分析與評估[C]// 國家安全地球物理叢書(十二).西安：西安地圖出版社，2016：19-30.

AnOnlineMagneticDipoleLocationMethodBasedonMagneticGradientTensorofTwoPoints

LIU Jihao, LI Xihai, ZENG Xiaoniu, LIU Daizhi

(Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China)

Nara’s method is affected greatly by the background magnetic field as the magnetic induction of the target is requisite. To solve this problem, a novel online location method which used the magnetic gradient tensor and the magnetic induction of two points to locate the magnetic dipole was proposed in this paper. The result of simulation experiments indicated that the location precision of the proposed method was free from the affection of the uniform background magnetic field and the localization success rate of the promoted method was 44.69%, while the others improved Nara methods was smaller than 37.65%.

magnetic gradient tensor, magnetic dipole, location

2017-02-21

:劉繼昊(1993—)，男，河南新鄉人，碩士研究生，研究方向：磁性目標探測。E-mail:liujihao1993@163.com。

P318.4

：A

：1008-1194(2017)04-0108-05