基于神經網絡補償的線性彈道落點預報方法

趙捍東，黃 鑫，馬 焱

(1.中北大學機電工程學院,山西 太原 030051;2.東北大學信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110000)

基于神經網絡補償的線性彈道落點預報方法

趙捍東1，黃 鑫2，馬 焱1

(1.中北大學機電工程學院,山西太原030051;2.東北大學信息科學與工程學院，遼寧沈陽110000)

針對線性化法預報彈丸落點存在側向速度、角速度計算復雜和適用范圍小的問題，提出了基于神經網絡補償的線性彈道落點預報方法。該方法在線性假設下，對剛體六自由度彈道進行線性化處理，得到線性彈道模型；將彈丸的圓周運動方程組視為線性定常系統，利用系統的解得到圓周運動的解析式，并利用梯形近似法處理其他參數的導數，得到基于線性彈道的落點預報解析式；然后利用神經網絡理論設計了補償項，不僅解決了線性化法適用范圍小的問題，還提高了線性彈道預報落點精度。數值仿真測試結果表明，該方法預報彈丸射程和橫偏的最大誤差分別約為4 m和7 m，預報落點時間約0.024 ms，比解算6D彈道的時間少了1.451 s。因此，該方法可為快速精確預報彈丸落點提供理論參考。

神經網絡；線性彈道；落點預報；改進型梯度下降法

0 引言

在當今戰爭中，精確打擊成為彈藥發展的主攻方向。其中，彈道修正彈是實現精確打擊且性價比較高的彈藥。因此，彈道修正技術成為了精確打擊的核心技術，而快速精確地預報彈丸落點是其關鍵技術之一[1]，有必要對彈丸落點預報的快速性和精確性進行理論研究。

目前，大量學者對實現快速準確預報彈丸落點的方法進行了理論研究。其中，數值積分法是采用四階龍格庫塔法對剛體外彈道方程進行解算，該方法的不足之處在于落點預報的精度十分依賴彈載計算機的處理性能和迭代步長，且解算時間長和迭代過程中易產生較大的累積誤差[2]；文獻[3—4]將卡爾曼濾波引入落點預報，能降低隨機噪聲和累積誤差對預報精度的影響，但具有較長的預報時間；文獻[5—7]分別采用RBF、BP神經網絡對復雜非線性彈道落點預報函數進行逼近，得到了彈丸落點預報模型，該方法在預報精度及預報時間上有較大改善，但仍有提升空間；文獻[8—10]將剛體外彈道方程進行線性化處理，推導出彈丸落點預報公式，其中，文獻[8—9]是基于線性彈道解析式，周期性更新彈道參數來預報彈丸落點，該方法存在側向速度、角速度等參數計算復雜的缺點，而文獻[10]結合剩余飛行無量綱弧長，推導出彈丸落點預報公式，該方法雖能夠較快、較精確地預報彈丸落點，但存在適用范圍小的缺點。因此，本文針對線性化法預報彈丸落點存在側向速度、角速度計算復雜和適用范圍小的問題，提出了基于神經網絡補償的線性彈道落點預報方法。

1 彈丸的彈道模型

彈丸的剛體六自由度彈道方程是能夠準確表示彈丸飛行的運動狀態，結合文獻[5]的彈道模型，作簡要概述。

1.1 剛體六自由彈道方程

假設在理想的條件下，在地面坐標系和彈軸坐標系中分別建立彈丸飛行的運動數學模型和動力學模型，則彈丸的六自由度外彈道方程可用如下公式表示：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，x,y,z是彈丸質心在地面坐標系下的位置三分量：φ,ψ,θ分別表示彈丸在地面坐標系下的滾轉角、偏航角和俯仰角；F,M分別表示彈體受到的合外力和合外力矩；u，v，w,p,q,r分別表示彈丸在彈軸系下的速度、角速度分量；m表示彈丸的質量；Iξξ,Iηη,Iζζ分別表示彈丸在彈軸坐標系下對ξ,η,ζ軸的轉動慣量。

彈丸飛行過程中所受的合外力主要包括氣動力Fa，馬氏力Fmag和重力Fg，每個外力在彈軸坐標系下的分量用如下公式表示：

(5)

(6)

(7)

S=πd2/4

tanα=v/u

tanβ=w/u

式中，Faξ,Faη,Faζ分別表示彈丸所受氣動力在彈體坐標系下的三分量；Fmagξ,Fmagη,Fmagζ分別表示彈丸所受馬氏力在彈軸坐標系下的三分量；Fgξ,Fgη,Fgζ分別表示彈丸所受重力在彈軸坐標下的三分量；S表示彈丸特征橫截面積；ρ表示空氣密度；d表示彈徑；Cx0，CY0，CZ0分別表示在彈軸坐標系中的零攻角的各軸向力系數；Cx1，CY1，CZ1分別表示在彈軸坐標系中有攻角的各軸向力系數；α，β分別表示縱向攻角和側向攻角；V表示彈丸在地面坐標系下的合速度大小。

彈丸在空中受到的力矩主要包括：靜力矩Mz，阻尼力矩Mzd和馬氏力矩Mmag。其中，每個力矩可以用如下公式計算：

(8)

(9)

(10)

式中，Mzξ,Mzη,Mzζ分別表示靜力矩在彈軸坐標系下的三分量；Mzdξ,Mzdη,Mzdζ分別表示阻力力矩在彈軸坐標系下的三分量；Mmagξ,Mmagη,Mmagζ分別表示馬氏力矩在彈體坐標系下的三分量；rzξ,rzη,rzζ分別表示彈丸質心到壓心的矢徑在彈軸坐標系下的三分量；CDD是尾翼導轉力矩的系數；CLP表示極阻尼力矩系數；CMQ表示俯仰阻尼力矩系數；CNR表示偏航阻尼力矩系數；rmagξ,rmagη,rmagζ分別表示馬氏力在彈體上的作用點到質心矢徑在彈體坐標系下的三分量。

1.2 線性彈道模型

1.2.1線性假設

對六自由度剛體彈道方程進行線性化處理，其假設條件如下：

1)彈丸在飛行過程中，偏航角ψ很小，簡化為：

(11)

2)彈丸飛行穩定期間，氣動攻角較小，簡化為：

(12)

3)彈丸的軸向速度u、滾轉角φ以及繞縱軸滾轉角速度p在數量級上大于彈丸的側向速度v和w、偏航角ψ、俯仰角θ、俯仰角速度r以及偏航角速度q，因此忽略小量之間的乘積和小量導數之間的乘積。

4)彈體為軸對稱體，氣動軸也對稱。則氣動力系數為：

Iηη=Iζζ

(13)

CY0=CZ0=0

(14)

CY1=CZ1=CNA

(15)

CMQ=CNR

(16)

rzη=rzζ=0

(17)

rmagη=rmagζ=0

(18)

1.2.2線性彈道方程

則以符號ξ為例，變量對時間t的導數與對無量綱弧長s的導數之間的關系為：

式中，“·”表示變量對時間t求導；“′”表示變量對無量綱弧長的求導。

依據線性假設條件，同時假設彈丸所受到力和力矩主要有氣動力、馬氏力、重力、靜力矩和阻尼力矩，則彈丸的線性彈道為：

x′=dcosθ-(d/V)vsinθ

(19)

y′=dsinθ+(d/V)vcosθ

(20)

z′=dψ+(d/V)w

(21)

φ′=(d/V)p

(22)

ψ′=-(d/V)q

(23)

θ′=(d/V)r

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

綜上所述，式(19)—式(30)組成了線性彈道方程，因此，可利用線性彈道解算彈道。

2 基于神經網絡補償的線性彈道的落點預報方法

2.1 線性彈道解析解

在推導線性彈道落點預報模型的過程中，假設氣動參數為常數，彈丸的合速度及滾轉角速度相對于其他變量變化緩慢，只有求解本身時將其看作變量，其他情況均視為常數。將側向速度的導數及側向角速度導數組成彈丸的圓周運動，整理成矩陣形式：

(31)

令

D=dpIξξ/Iηη。

則式(31)等價于：

(32)

(33)

在假設中，氣動參數及彈道參數是常數，所以A、B均為常數矩陣，將式(33)看作線性定常系統。由文獻[11]可知A存在兩對共軛復數，即四個互異的特征值，設為λf±iΦf和λs±iΦs，則一定存在可逆矩陣P將A化為約當規范形。

(34)

式中，

因此，將原系統化成約當規范形，則該系統狀態方程的解為：

(35)

式中，

(36)

將式(36)帶入式(35)中得到：

(37)

則

(38)

所以可通過式(38)來計算v，w，q，r的值。

對于式(23)、(24)和(19)—(21)，根據梯形近似法求解積分得到：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

綜上所述，式(38)—式(43)為線性彈道方程近似解析解。

2.2 剩余弧長的估計

為了預報彈丸落點信息，得到線性彈道方程的解析解是不夠的，還需對剩余弧長進行預估，然后代入式(38)—式(43)中，得到彈丸的落點信息，即射程與橫向偏差信息。

采用GPS等作為彈丸的探測設備，可獲得彈丸在地面坐標系下的位置(x,y,z)，速度(Vx,Vy,Vz)。假設地面是水平，且作用在彈丸的外力僅有重力和氣動力，則合外力在地面坐標系下y軸方向上的合力為：

Fy=Fg+Fay

(44)

式中，Fg=-mg；Fay=Faξsinθcosψ+Faηcosθ-Faζsinθsinψ。

當彈丸在彈道末段的某一點開始進行落點預報，因彈道較短，假設彈丸在這一時間里，氣動參數為恒值，則彈丸在地面坐標系y軸上作均加速運動，即

(45)

由于剩余飛行時間大于等于零，所以公式(45)的根為：

(46)

那么剩余飛行弧長為：

(47)

式中，F表示彈丸所受到合外力的大小。則剩余無量綱弧長s可表示為：

(48)

2.3 基于神經網絡的補償項設計

本文是在彈道線性化及剩余弧長估計基礎上，推導得到的彈丸落點預報解析式(38-43)具有較差的精度，有必要設計自適應補償項修正該法的精度。由于彈丸在飛行過程中，其動力學模型是非線性的，因此，將補償項模型考慮為非線性函數：

Δx(i)=fx(s(i),x(i),z(i))

(49)

Δz(i)=fz(s(i),x(i),z(i))

(50)

式中，Δx(i)，Δz(i)分別表示當前時刻的射程預報誤差和橫向預報誤差；s(i)表示當前時刻的剩余弧長估計；x(i)和z(i)分別表示彈丸當前時刻的射程與橫向位置信息。

式(49)、式(50)可整理成：

Δxz(i)=f(s(i),x(i),z(i))

(51)式中，Δxz(i)=[Δx(i),Δz(i)]T，f(s(i),x(i),z(i))=[fx(s(i),x(i),z(i)),fz(s(i),x(i),z(i))]T。

神經網絡可被用來近似非線性函數[12]，我們也可以使用神經網絡來近似公式(51)，得到：

(52)

式中，Δxz(i)=[Δx(i),Δz(i)]T；ω*∈R2×n表示神經網絡最優權值；F(·)∈Rn×1表示BP神經網絡基底；ε表示神經網絡的重構誤差，且滿足‖ε‖≤ε*，ε*表示重構誤差的邊界。

考慮對式(52)的估計形式為：

(53)

(54)

BP神經網絡采用梯度下降法作為網絡權值調整律，得到合適的網絡權值。本文為加快收斂速度，且提高歷史樣本數據的利用率，對BP神經網絡的權值調整律作如下改進：

在引出神經網絡權值調整律以前，需要作如下定義：

Z=[F(s(i1),x(i1),z(i1)),…,

F(s(ij),x(ij),z(ij))]

(55)

式中，Z表示歷史樣本數據；i表示彈丸當前時刻；ij表示第i時刻以前時刻的第j個，其中，j≤i；Z表示在i1～ij時刻之間所記錄的歷史數據。

在所記錄的歷史數據中第j個樣本可表示為：

(56)

(57)

本文采用的網絡權值調整律為：

ΓeijFT(s(ij),x(ij),z(ij))

(58)

該權值調整律可以充分利用歷史數據來提高權值的收斂速度，下面我們證明采用式(58)可使權值估計值收斂到真值。

證明：

ΓeijFT(s(ij),x(ij),z(ij))=

(59)

本文考慮李雅普諾夫函數為：

(60)

式(60)對時間求導得到：

(61)

其中,

(62)

當ε≠0時，令

(63)

εN=εiFT(s(i),x(i),z(i))+

(64)

(65)

因此，無論ε是否等于零，在一定條件下，神經網絡權值估計均可以收斂到真值。

綜上所述，基于神經網絡補償的線性彈道落點預報解析式為：

(66)

(67)

式中，0表示彈丸當前時刻。文中涉及到的彈道參數可由相應方法計算[13-14]。

3 落點預報仿真分析

3.2 落點預報精度分析

為驗證該方法預報落點的可行性，下面落點預報精度進行分析。考慮在較大射程，且有較大弧度的彈道曲線情況下，分析該法的預報精度。因此，以某型榴彈為例，初始條件：彈丸的初始位置是在地面坐標系下的坐標原點，即x=0m，y=0m，z=0m，初始速度1 000m/s，初始滾轉角0°，初始偏航角2°，滾轉角速度1 700rad/s，偏航和俯仰角速度均為0rad/s，然后解算六自由度剛體彈道方程，作為基準彈道，其落點信息就作為實際落點。

建立圖1所示的BP神經網絡數學模型，隱含節點數為100。將射角為45°、50°、55°的彈道數據整理成圖1中神經網絡輸入向量和輸出向量形式的訓練樣本，網絡權值調整律采用式(58)，經訓練后得到最優權值，圖2表示訓練誤差隨訓練次數收斂過程。

在三條彈道曲線的彈道高開始，每0.1s時刻的彈道點作為彈丸落點的預報點，每條彈道上共取5個預報起始點，則仿真結果如圖3、圖4所示。

圖1 射距和橫偏補償項的神經網絡拓撲結構Fig.1 Neural network topology structure of range and lateral deviation

圖2 訓練誤差Fig.2 Training error

圖3 基于神經網絡補償的線性彈道預報射程的誤差Fig.3 Range prediction error of linear trajectory based on neural network compensation

圖4 基于神經網絡補償的線性彈道預報橫偏誤差Fig.4 Lateral deviation prediction error of linear trajectory based on neural network compensation

如圖3、圖4可知，該方法在距離目標較遠處預報射程誤差最大約4m，預報橫偏誤差最大約7m，因此，可驗證該法在距離目標較遠處、且有較大弧度的彈道時，具有較高的預報精度。如果要求該方法適用于全彈道的預報，則需要重新設計一種更加準確，且更適用于全彈道的無量綱剩余弧長預估公式，這將是筆者今后研究工作。

3.3 落點預報快速性分析

為研究該預報方法的快速性，需對其預報落點快速性進行仿真分析。選取某條彈道上的5個預報起始點，分別對6D彈道和神經網絡補償的線性彈道落點預報方法進行快速性仿真測試，結果如表1所示。

表1 6D彈道和帶補償項的線性彈道預報方法的預報時間對比

由表1可知，使用神經網絡補償的線性彈道落點預報時間平均約0.024 ms，相比于解算6D彈道方程所用的時間，要少1 451.342 ms，約1.451 s。因此，該預報方法在快速性上得到了很大的提升，可快速預報彈丸落點。

4 結論

本文提出了基于神經網絡補償的線性彈道落點預報方法。該方法將彈丸的圓周運動方程組視為線性定常系統，利用系統的解得到圓周運動的解析式。相比于拉普拉斯變換，其側向速度、角速度等參數計算簡單，便于計算機的編程。然后利用神經網絡理論設計了線性彈道落點預報的補償項，不僅解決了線性化法適用范圍小的問題，還保證了線性彈道落點預報的精度。再利用歷史樣本數據，對BP神經網絡權值調整律進行了改進，可提高樣本數據利用率，同時加快權值收斂速度。數值仿真測試結果表明，該方法保證了預報精度，同時提高了解算速度。因此，該方法可為快速精確預報彈丸落點提供理論參考。

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ImpactPointPredictionMethodofLinearTrajectoryBasedonNeuralNetworkCompensation

ZHAO Handong1, HUANG Xin2, MA Yan1

(1. School of Mechatronics Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China 2. College of Information Science and Engineering, Northeastern University, Shenyang 110000, Chian)

Aiming at problems of the linear trajectory impact point prediction, e.g. computation of lateral velocities and angular velocities is complex and scope of application is small, an impact point prediction method of linear trajectory based on neural network compensation was proposed. First, with the assumption of linearity, the rigid body six degree of freedom trajectory equation was made to be linear trajectory model; secondly, the circular motion of the projectile was regarded as linear constant system, and the formula of the circular motion was obtained. At the same time, the derivatives of the other ballistic parameters are handled by the trapezoidal approximation method; thirdly, neural network was designed to compensate the linear trajectory impact point prediction accuracy. The numerical simulation results showed that the maximum error of the range and lateral deviation prediction method were 4 m and 7 m respectively. The impact point prediction time was about 0.024ms.

neural network; linear trajectory; impact point prediction; improved gradient descent method

2017-02-21

:趙捍東(1960—)，男，吉林長春人，博士，教授，博士生導師,研究方向：彈箭飛行與控制。E-mail: nuc_zhd@163.com。

TJ012.3

：A

：1008-1194(2017)04-0096-07