高中數學例題設計的有效探索

劉祥利

【摘要】高中數學的教學重點是要讓學生對需要學習的知識有更加深刻的理解和認識，讓學生的個人能力從根本上得到發展.理論知識的教學離不開例題的輔助講解，這也是學生進行概念學習和基本技能掌握的重要載體.例題會在學生的學習中產生重要的引導作用，教師借助豐富的教學案例可以為學生設計一題多解、多題一解、自主設計題目等不同的例題形式，從而達到提高教學效果的目的.

【關鍵詞】高中數學;例題設計;原則;技巧

一、高中數學例題設計的研究背景及重要意義

在實際的高中數學教學中，例題的解答能夠有效地促進課堂教學效率的提升，更能讓學生深刻理解知識，掌握基本的解答思路，讓學生的解題能力得到提高.將抽象的數學知識以具體的計算步驟運算得出結果的形式，讓學生更好地掌握出題人的意圖，這對學生數學思維能力的發展有非常重要的作用.而且教師在進行例題設計時，應該充分考慮多方面的影響因素，把課程教學的基本內容與新課程標準的理念結合起來，使例題的設計符合學生現有的知識水平，符合學生解答問題的基本難度要求，一旦忽略了這些問題，學生的學習興趣會受到影響，而且教學的發展也會與教學的基本目標出現偏差，嚴重浪費學生課堂的寶貴時間.

二、高中數學例題設計的基本原則

1.目的性

在正式進行例題設計之前，教師一定要明確自己設計這道例題的基本目的，不能為了應付而設計例題，所有題目的選擇都應該與實際的教學目標和教學內容緊密結合.對于教師來講，合理地設計例題可以更好地引導學生進行新知識核心內容的學習，也可以通過例題的解答讓學生對曾經學過的知識進行更加仔細的復習鞏固，還能不斷完善學生的解題思路，讓學生能夠通過解答這些問題進行更有針對性的學習.

2.循序漸進性

數學的學習本身就是一個循序漸進的過程，所以相關的例題設計也要結合實際的內容選擇由簡單到復雜的形式.每一位教師在例題設計好之后，都應該把例題的難度進行適當的標注，然后按照循序漸進的原則向學生有梯度地提出問題.所有的問題選擇必須全面考慮每一個學生，學生經過長時間的學習的積累會有能力上的不同，班級里會有成績和能力比較突出的學生，自然也會有中等生和后進生，只有讓每一個學生都能在課堂上有所收獲，才能夠盡可能避免一邊倒的現象出現，更加有效地提高課堂的效率.

3.變通性

例題的講解也是高中數學有效課堂中的重要組成部分，更是各位教師在進行課前準備的過程當中必須完成的重要環節.例題可以有不同的呈現方式，例題的內容也要結合學生實際的情況進行變通，正確的例題設計對學生學習效果的提高有促進作用.在我國數學教學的課堂當中，大部分教師設計的例題會以填空題或簡答題的方式呈現，這樣一來，學生很難在課堂上找到例題解答的新鮮感，而且教師提出問題之后基本上就是套用公式做題，完全失去了例題設計的初衷，也沒有讓學生的思維得到有效的發展，無論學生做了多少例題，對知識的理解還是無法加深，所以做題的過程也就完全淪為一種形式.面對這樣的情況，教師實際上可以在例題的設計當中融入圖表、圖畫等，通過這種間歇性的轉化過程避免學生在解答例題的過程中產生視覺疲勞.而當學生有了一定的知識水平之后，教師更要對原有的例題進行靈活的變動，這是一種舉一反三的過程，也是學生思維發展的重要推動力.有些問題可以選擇不同的方法解答，如果學生一味地套用公式，反而容易形成思維定式.只有做到真實的融會貫通，在多樣性、變通性比較強的例題練習中讓學生加強對數學知識和概念的理解，才能讓學生打下更加堅實的數學基礎，開闊學生的數學視野.

三、高中數學例題的有效設計形式

1.一題多解

一題多解的題目設計需要從不同的角度按照不同的思路和不同的方法進行，讓學生對問題進行思考后，可以給出題目的正確答案.這種例題的設計能夠讓學生的學習積極性得到調動，也能讓學生的創新思維得到發展，還可以積累更多的解題經驗，在課堂上通過探究實現個人能力的發展.下面舉一個一題多解的題目設計的例子.

例1 當x，y滿足條件x>0，y>0，且x+y+xy=2時，x+y的最小值為.

方法1 可以把x+y看成一個變量，所以題目的條件就可以去掉xy項.

解 因為x>0，y>0，則xy≤x+y22，

即2=x+y+xy≤x+y+x+y22，

解得x+y≥23-2.

當且僅當x=y=3-1時，x+y取得最小值23-2.

方法2 使用構建方程的方法處理問題.

解 令t=x+y>0，所以y=t-x.

將條件代入，可得x2-tx+2-t=0，

由Δ=t2-4（2-t）≥0，

解得t≥23-2或t≤-23-2（舍去），

因此x+y≥23-2.

方法3 將條件等式進行因式分解的處理，由于積為定值，所以和有最小值.

解 由x+y+xy=2，可得x+1y+1=3，

所以x+1+y+1≥23，

故x+y≥23-2.

2.多題一解

在數學的習題中有很多題目都可以用同樣的方法來求解，這也是讓學生在完成很多相同知識點的練習之后對題目的解答方式以及相關的知識點進行提煉、歸納的過程，使學生能夠更好地發現知識點的本質，從而讓學生的學習能力得到提升.多題一解的例題設計如下所示.

例2 （1）對實驗室中現有的8個座椅進行擺放，8個座椅上有3個人要就座，要求這3個人每個人的左右均有空位，那么一共有多少種不同的就座方法呢？

（2）在拍照時需要讓4個男生和6個女生排成一排，唯一的要求就是4個男生互不相鄰，那么一共有多少種不同的排隊方法？

（3）在會議室的前面一共有15盞燈，這15盞燈排成一排，為了節約用電，老師要求關掉其中的6盞燈，而且相鄰的燈不能全部關掉，兩端的燈也不能關掉，那么有多少種不同的關燈方案呢？

（4）畢業季到來，班級內一共有14名同學要拍一張畢業合影，前排站了5個人，后排站了9個人，攝影師發現后排的9個人不能完全進入鏡頭的視野，便要求后排出來2個人站到前排當中，其他人的順序不變，不同的調整方案有多少種？

針對以上的四個問題，雖然問題內容的呈現各不相同，但是在實際解決問題的時候采取的方法是一樣的，那就是學生在學習有順序的排列組合時經常會使用的插空法.這就充分說明了學生解決問題以及教師帶領學生進行例題練習時，一定要掌握問題以及知識點的核心，只有真正掌握了某一種數學思想才是把握住了學習的本質，才能更加高效地解決問題.

3.自主設計

為了讓例題的設計能夠凸顯出更強的針對性，我們在實際帶領學生進行例題練習的時候，也可以選擇自己設計的題目.設計題目需要教師提前做好準備，還要對教材中的內容有扎實的把握，其實這個過程對于教師來講也是在復習.通過精心設計，教師也能選擇更有針對性、更符合學生發展情況的習題讓學生練習，讓學生的個人能力有更好的提升，也讓學生通過例題練習，打下更加扎實的知識基礎.自主設計的例題可如下所示.

例3 在帶領學生對導數的公式及其運算法則的相關知識進行復習時，我把全班學生分成了3個小組，每個小組給出了兩道求解函數導數的例題：

（1）y=x3+log2x;

（2）y=x2-13x;

（3）y=2x·sin（3x+2）;

（4）y=2x3+5;

（5）y=x2ex;

（6）y=ln 2xcos x.

以上6個題目都是教師和學生共同完成的，這6個題目都是復雜函數的求導問題，學生也可以通過自己的思考設計例題，這能給數學課堂帶來更多的新鮮感，而且學生也能充分發揮其個性，在課堂上正確解答問題之后也會感受到更多的喜悅.

例題的設計應該是教師結合學生的實際情況而逐漸變化的，希望每一個教師都能對例題進行充分的整合和變通，讓課堂短短的幾十分鐘發揮出最大的效果，也讓學生掌握更加系統化的知識網絡，形成良好的數學思維.

【參考文獻】

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