初中生數感培養障礙及對策分析

王國強 胡啟山

[摘? 要] 當前許多初中生的數學概念學習脫離生活實際，動手操作、實踐探索、思維創新不足，對數和量的感悟理解不夠深入，運算和解決問題的能力不強，導致“數感”薄弱. 為了改變這一現狀，在初中數學課堂教學中，教師要重視學生“數感”的培養.

[關鍵詞] 初中生;數感;培養;障礙;對策

所謂數感，就是對數、數運算、數量關系的一種感知、理解、領悟的能力，具體體現在能夠自覺理解數的意義，能用多樣化的方法表示數，能正確進行數的運算，能對數進行算法與算理的融合，能靈活運用數去分析和解決問題等方面. 當前，許多初中生的“數感”較為薄弱，在初中數學課堂教學中，教師要重視學生“數感”的培養，注意采取行之有效的策略，不斷激發、發展、強化學生的數感，提升學生的數學思維和能力.

初中生“數感”培養現狀及薄弱成因

數感是數學核心素養的重要組成部分，也是學生數學學習的基石，隨著新課程改革的深入推進，學生的“數感”培養越來越受到教師的重視. 然而，在培養學生“數感”的過程中，仍存在諸多問題亟待解決，具體體現在以下幾個方面.

1. 數學概念學習脫離生活實際，導致學生“數感”薄弱

數學概念的掌握是建立“數感”的重要基礎. 良好的數感，源于現實生活實際，只有將抽象乏味的數學概念與生動有趣的生活實例緊密結合起來，才能更好地促使學生主動去感知和探究數學概念，調動學生學習積極性和主動性，為數感的形成和發展奠定堅實的基礎. 然而，縱觀當前初中數學課堂教學，不難發現，有些教師在教學數學概念時，往往脫離生活實際，過多地讓學生死記硬背，致使學生對數學概念似懂非懂，概念學習的積極性和主動性不高，對于概念的本質、內涵、價值更是一知半解，稍加追問則明顯底氣不足. 學生主要憑借自己的直覺去理解運用，機械化、模式化、重復化地刷題，最終導致“數感”培養成為無源之水，無本之木.

2. 動手操作和實踐探索不足，導致學生“數感”薄弱

數感是在實踐中發展起來的，通過實踐探究、動手操作、合作交流，可以調動學生多種感官參與學習，讓學生更加深刻地認識數、理解數以及掌握數，體驗數學學習的樂趣，進而促使學生對數產生濃厚的親切感和興趣感，不斷提升數感. 然而當前，受傳統教育思想的束縛，部分教師在數學教學中仍采用“灌輸式”“填鴨式”教學模式，課堂上教師面面俱到、不厭其煩地講解知識點，學生機械被動地接受知識，缺乏獨立思考、動手操作和實踐探索的時間和空間[1].有些教師為了趕進度甚至連基本的活動探索也沒有，直接告訴學生相關的數學原理、數學公式、數學法則等，然后就進入大量的強化提升訓練，抑制了學生學習自主性、思維創造性以及“數感”的進一步發展，導致學生“數感”薄弱.

3. 運算和解決問題的能力不強，導致學生“數感”薄弱

數感，既是一種自主的數學意識，也是一種重要的數學技能. 運算和解決問題的能力是數學學習要掌握的基本技能，運算方法的掌握、運算結果的估計、運算和解題能力的提高，在很大程度會影響“數感”的培養. 當前，許多學生運算能力、自主分析和解決問題的能力偏低，不但運算速度慢，運算符號把握不準確，而且運算準確率不高，運算思路與方法混亂，導致學生失分嚴重. 有些學生甚至一看到問題，就不知所措、憂心忡忡、自信不足、屢屢出錯，使其對數學學習產生畏懼和厭倦心理，形成了學習屏障，對數與量的感知每況愈下，數感能力發展不夠理想，極大地增加了學生“數感”培養的難度.

初中生“數感”培養對策

1. 創設有效情境，夯實概念構建，培養學生數感

數學概念與“數感”的建立有著十分緊密的關系，由于數學概念本身具有較強的抽象性，在初中數學課堂教學中，教師若單純地講解數學概念，則顯得枯燥乏味，學生往往難以理解，且學習熱情不高.

若能結合學生心理特點，緊扣教學內容，悉心創設生動有效的學習情境，不僅可以吸引學生注意力，調動學生學習能動性，而且可以深化學生對概念的理解，提高學生對數的認識，促進學生“數感”的形成.

比如，在教學“正負數概念”時，筆者創設了這樣的學習情境：某一足球隊參與比賽，上半場與下半場得分如下，試判斷其比賽結果：

①上半場贏6個球，下半場輸4個球，結果是（輸 贏 平）球;

②上半場輸7個球，下半場贏3個球，結果是（輸 贏 平）球;

③上半場贏5個球，下半場輸5個球，結果是（輸 贏 平）球.

然后提出問題：倘若贏5個球，記為“+5”，輸4個球記為“-4”，請用“+”“-”表示上述三個情境下贏、輸球的個數. 接著，在此基礎上引入正、負數的概念：一般地，大于0的數為正數，在正數前加上“-”的數為負數，0既不是正數，也不是負數，它是正、負數的分界點. 這樣，結合實際生活，創設學習情境，既喚起了學生的學習熱情，又激發了學生數感.

又如，在講解“相反數的概念”時，為了讓學生更好地感受相反數，加深學生對相反數的理解和掌握，在教學過程中，筆者首先出示了如下幾個情境：

①要求兩位同學背靠背，一人向前走5步，一人向后走5步，若向前為正，向后為負，分別記作什么？

②汽車向南行駛8公里和向北行駛8公里，若向南為正，向北為負，分別記作什么？

③溫度為零上6攝氏度和零下6攝氏度，若零上為正，零下為負，分別記作什么？

④水位下降0.4米，升高0.4米，若升高為正，下降為負，又分別記作什么？

然后讓學生開動腦筋想一想：上述四個情境中的每一對數有何共同點？從中你得出了什么？通過分析情境，學生不難看出上述四對數，數字相同，符號不同，每一對均為相反數，進而得出相反數的概念：符號不同絕對值相同的兩個數互為相反數. 這樣，通過生動有趣的情境鋪設，既深化了學生對相反數概念的理解，又在無形中培養了學生的數感.

2. 鼓勵動手操作，注重實踐探究，發展學生數感

古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，我國著名教育家陶行知曾說過“教育要做到知行合一”，實踐出真知，實踐是思維的體操、創新的源泉. 學生“數感”的培養和發展，離不開動手實踐，新課程改革強調“做中學”，所以，在初中數學課堂教學中，教師在培養學生“數感”時，要注意鼓勵學生大膽動手操作，親身實踐探索，積極碰撞思維，相互交流討論，在動手、動腦、動口中豐富學生的學習體驗，發展學生敏銳的數感，提高學生學習熱情，增強學生實踐、動手、探究等綜合能力[2].

譬如，在探究“多邊形的對角線條數”時，筆者首先讓學生回顧三角形知識：同學們，三角形有沒有對角線？然后出示問題，引導學生邊畫圖，邊想一想、算一算多邊形的對角線條數. 首先讓學生自己任意畫出一個四邊形、五邊形、六邊形……然后分別畫出對角線，接著引導同學們進行小組研討：對應多邊形有多少條對角線？多邊形被分成幾個三角形？歸納總結出n邊形對應的規律. 最后進一步追問當多邊形的邊數增加1時，對角線條數增加多少？從而深化學生思維，讓學生在探索歸納中深度感悟，思向遠方.

在探索過程中有學生說：經過四邊形1個頂點能畫1條對角線，可以將四邊形分成2個三角形. 在四邊形中，由于每條對角線重復畫了2次，所以 = ，則四邊形有2條對角線;過八邊形的一個頂點可以畫5條對角線，它們將八邊形分成6個三角形，由于每條對角線重復畫了2次，所以 = ，八邊形有20條對角線;過100邊形的一個頂點可以畫97條對角線，它們將100邊形分成了98個三角形，每條對角線重復畫了2次，所以 =? ，則100邊形有4850條對角線. 最后，總結出結論：從n邊形的一個頂點出發，可以畫（n-3）（n≥3）條對角線，這些對角線可以將n邊形分成（n-2）（n≥3）個三角形，n邊形共有 （n≥3）條對角線，多邊形的邊數每增加1，對角線就增加 - =n+1條. 這樣，通過動手操作、動腦思考、歸納計算，學生對數學知識有了深刻的認識，不但發展了學生的數感，而且提高了學生的思維和實踐探索能力.

3. 加強運算訓練，自主解決問題，強化學生數感

數感與運算密不可分，運算能力越強，數感就越強. 在初中數學課堂教學中，教師要注重對運算能力的訓練、解題能力的訓練，在綜合能力訓練中發展學生的能力素養，提高學生對數的敏感度，強化學生的數感.

一是通過加強數的大小比較、估算、化簡、求值等運算訓練，增強學生的數感.

例如，學習完“有理數和無理數”后，筆者進行了如下運算訓練：①比較 + 與 + 、-3 與-2 的大小;②先化簡，再求值： + ÷ ，其中a，b滿足 +b- =0.

解： ①（利用平方法）（ + ）2=20+2 ，（ + ）2=20+2 ，因為 < ，所以（ + ）< + ;（借助絕對值和移動因式法）因為-3 =3 = ，-2 =2 = ，因為 > ，根據兩個負數相比較，絕對值大的反而小，所以-3 <-2 . 這樣，通過有理數、無理數的大小比較，既幫助學生掌握了數學方法，提升了學生的運算能力，又增強了學生的數感，激活了學生數學思維.

②該題將化簡求值與非負數的計算巧妙結合在一起，求解時只要把握了非負數不為0，即可使問題迎刃而解. 因為 ≥0，b- ≥0，故要使 +b- =0，則 =0且b- =0，故a=-1，b= .? + ÷ = × = = - =- .

二是通過加強綜合應用訓練，深化學生數感.

比如，執教完“一次函數、一元一次方程、一元一次不等式（組）”的相關知識后，為了鞏固學生所學知識，錘煉學生的數感，以及運算能力、解決問題的能力，筆者聯系生活實際，設計了如下運算問題：

某校八年級要舉行“最美中國字”比賽，決定去“大潤發”選購鋼筆作為獎品. 已知該超市的A，B兩種鋼筆的單價分別是12元和8元.

（1）學校準備選購這兩種鋼筆共30支，如果用300元購買獎品，那么可以選購這兩種鋼筆各多少支？

（2）學校根據比賽的設獎情況，決定所購買的A種鋼筆的數量要少于B種鋼筆數量的 ，但又不少于B種鋼筆數量的 . 如果設購買A種鋼筆t支，買這兩種鋼筆共花費k元.

①請寫出k（單位：元）關于t（單位：支）的函數關系式，并嘗試求出自變量t的取值范圍;

②請你計算一下，購買這兩種鋼筆各多少支時，所花費用最少，并求出最少花費是多少元.

解：（1）設A種鋼筆選購x支，則B種鋼筆選購（30-x）支. 根據題意，得12x+8（30-x）=300，解得x=15. 又30-x=15，所以可以選購A，B兩種鋼筆各15支.

（2）①依據題意，可得k=12t+8（30-t），即k=4t+240，且有t< （30-t），t≥ （30-t）， 所以k（單位：元）關于t（單位：支）的函數關系式為k=4t+240，自變量t的取值范圍是 ≤t<12，且t為整數.

②對于一次函數k=4t+240，因為k隨t的增大而增大，且 ≤t<12，t為整數，所以當t=8時，k有最小值，此時30-t=30-8=22，k=4×8+240=272（元）. 因此，當購買A種鋼筆8支、B種鋼筆22支時，所花費用最少，此時共花費272元.

從上述兩例不難看出，融合各類運算思想方法有助于學生在自主訓練中明晰問題的本質，有助于學生在數的感悟中深化對問題的理解，有助于學生在術與理的共生中把握問題的核心.

總之，初中生“數感”的培養并非是一蹴而就的，它是一個循序漸進、逐步生長、不斷深化的發展過程. 在初中數學常態教學中，教師要予以高度重視，一方面要精心創設有效情境，夯實概念構建，激發學生的“數感”意識，幫助學生建立數感;另一方面，要注意加強學生的運算和解題訓練，引領學生實踐探索、交流探討、創新共生，不斷豐富和強化數感，從而促進學生數學素養的提升[3].

參考文獻：

[1]張華超. 初中生數學探析能力培養之管窺[J]. 數理化學習（初中版），2014（09）：54.

[2] 徐柱柱. 初中生數學直觀素養的實證研究與啟示——基于湖南省Z市八年級的數學學業監測[J]. 教育測量與評價，2019（12）：26-33.

[3]王國強. 初中生數感培養價值及對策探索[J]. 中學課程資源，2021（01）：10-12.