動點軌跡中的“定”元素

黃曉南

【摘要】動點軌跡問題一直是近年來廣東中考的一個熱 點、難點問題，學生在解決此類問題時，需要明確運動的軌跡，而關鍵的突破口在于運動過程中“定”的元素。教師要引導學生抓住圖形的幾何特征，才能從本質上發現運動的根本軌跡。“隱形圓”是廣東中考新出現的動點軌跡考點，本文將從利用“隱形圓”求解線段最小值的角度出發，分析解 決此類問題的基本思想方法。

【關鍵詞】隱形圓;動點;軌跡;最小值

一、問題背景

各地中考中，求線段的最值問題是時常出現的考題。基本可分為兩類：一類是只求一條線段的最值問題;另一類是由兩條或多條線段的和或差形成的最值問題。2020 年廣東中考題填空題第 17 題——“貓捉老鼠”模型，就是利用“隱形圓”求解一條線段最小值問題的一個典型例子。筆者將從這個問題開始講起，分析解決此類問題的基本做法。

例 1：（2020 年廣東中考）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉。把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖 1，∠ABC=90°，點 M、N 分別在射線 BA、BC 上，MN 長度始終保持不變，MN=4， 點 E 為MN 的中點，點 D 到 BA、BC 的距離分別為 4 和 2。在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE 的最小值為? ? ? ? ? ? ? 。

分析：本題考查的知識點主要有直角三角形斜邊上的中線性質;勾股定理的應用;兩點之間線段最短等。題目中由于 MN 的運動，導致了點 E 發生運動，而整個運動過程中，MN 保持不變，∠ABC=90°，且點 E 為 MN 的中點，故 BE 也是不變，此為運動中的“定元素，并且 BE=? ? MN= 2，（直角三角圖形斜邊上的中線等于斜邊的一半）;因此不難發現點 E 的運動軌跡落在半徑為 2 的⊙B 上（如圖 2）， 那么 DE 的最小值即為點D 到⊙B 的最短距離，此時D、E、B 三點共線，根據勾股定理可求出 BD=2? 5 ，所以 DE 最小值為 2? 5 -2。

本題看似計算結果簡單，實則有一定的難度。學生容易利用勾股定理計算，同時也會知道“兩點之間線段最短”， 但關鍵點在于發現點E 的運動軌跡，找出“隱形圓”，從而把“線段最值問題”轉化為“圓外一點到圓上的點距離最近問題”。這種考查就特別要注意學生平時課堂活動經驗的積累，并對“數形結合”及“數學轉化”思想的進行有效培養。

二、問題基本模型

利用“隱形圓”求線段最值問題，要清楚了解問題的基本模型，如圖 3，當點 P 為⊙O外一點，直線PO 與⊙O分別交于A、B 兩點，那么，根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊”，點 P 到圓上任意一點 Q 的最小距離則是線段 PA 的長;點 P 到圓上任意一點 Q 的最大距離是線段 PB 的長。明確問題基本模型，我們便可以將“兩點間線段的長度最值” 的問題轉化為“定點 P 到圓上一點的距離最值”的問題。通過探索動點運動軌跡是隱形圓或弧，利用“隱形圓”與直線的兩個交點的關系，即圖 3 中的 PA 為最短距離，PB 為最長距離來求線段長的最小值或最大值。

三、典型例題分析

為了更好地運用以上基本模型，下面將選用兩個經典例題，分析如何在運動上找出“定”元素構造“隱形圓”，然 后將線段最值問題轉化為定點到圓上一點的距離最值問題。

例 2：（2020 年揭西縣中考模擬改編）如圖 4，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=6，點 E 是 AB 邊上的動點，過點B 作直線CE 的垂線，垂足為 F，連接 AF，當點 E 從點 A 運動到點 B 時，線段 AF 的最小值為（? ? ? ? ）

A.3? ? B.6? ? C.3? 3? -3 ? ? ?D.6? 3 -6

分析：首先，點 E 的運動導致了點F 的位置變化，而在整個變化過程中，∠BFC=90°，BC 不變，這是“定”的元素。可判斷點 F 在以 BC 為直徑的圓上運動（如圖 5）。由于點 E 只在 AB 間運動，因此，連接 AC、BD 交于點 G，故可判斷點 F 的運動軌跡是在 BG上;其次，假設 BG所在圓心為 O，連接 AO，此時將AF 的最短距離轉化為點A 到⊙O的最短距離;最后，利用銳角三角函數或勾股定理求得 AO=3 3 ，所以 AF 最小值為3 3? -3。故選擇 C。

本題目利用菱形的性質作為背景，考查了學生對動點運動軌跡的觀察與判斷，關鍵突破口在于發現直角所對的弦為直徑，利用直角這一“定”元素找出“隱形圓”，最后運用 數學轉化將 AF 的最短距離轉為定點 A 到⊙O的最短距離進行解決。

例 3：如圖 6，△ABC 是等邊三角形，AB=2若 P 為△ABC 內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP則線段PB 長度的最小值是? ? ? ? ? ?.

分析：本題目條件比較簡單，需要學生觀察發現點P 的運動軌跡，整個問題中∠PAB=∠ACP 是分析解決問題的關鍵。因為∠PAB=∠ACP，∠PAB+∠CAP=60°，所以∠APC=120°; 結合等邊三角形的性質，不難發現AC=6，∠APC 在整個運動過程中保持 120°不變，這就是本題中的“定” 元素。故點 P 落在 A、C、P 三點確定的圓上，則找出了“隱形圓”。

由于點 P 在 AC上運動，不難發現當點 P 位于 AC中點時，PB 取得最小值，此時 B、P、O 三點共線，連接 BO，交AC 于點 G，利用垂徑定理可知∠CGP=90°，∠CPG=60°，故可利用銳角三角函數求得 BG= 3 ，PG=? ? ?，所以 PB 的最小值為? ? ? ?。

本題目要求學生能夠綜合考慮等邊三角形的基本性質， 準確判斷 A、P、C 三點共圓的由來，在與學生交流時，發現大多學生容易把思路偏向于利用相似三角形來解決，這是由于對∠PAB=∠ACP 這一條件的作用沒能準確把握的緣故。在找出“隱形圓”后，運用垂徑定理及銳角三角函數進行求解， 也是大多數學生的一個難點所在。

四、總結思考感悟

綜合以上問題的探究與分析，我們發現基礎知識是學生解決數學問題的最基本要素。按新課程標準的要求，中考應注重考察基礎知識、基本技能;注重考察思維過程、創新意識和分析問題、解決問題的能力。這便要求教師在教學過程中，應注重引導學生進行學習活動經驗的積累，要注重數學學習方法的歸納與總結，并提煉成一種常用的技巧和方法， 這不僅有利于拓寬學生的解題思路、提高學生分析解決問題的能力，同時也對培養學生形成良好學習習慣、優化思維創新意識具有重大意義。

在“隱形圓”的問題教學中，教師要善于引導學生發現動點題目中不變的量，不變的性質和不變關系，以“定”的元素來確定“動”的軌跡，對題目的基本數學模型進行分析。 在提煉出問題的基本模型后，還應當注意對數學問題的轉化，將要求的線段最值問題，轉化為最基本的定點到圓上一點距離的最值問題，達到解決問題的最終目的。

【參考文獻】

[1]張潔彬.巧用隱形圓解決線段的最值問題[J].中國校外教育（上旬刊），2019（3）：67-68.

[2]何君青.利用“隱圓” 巧解“線段最值題”[J].中學數學（初中版），2017（12）：84-85.