無解不能“誤解”

葛浩亮

增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，有些同學常常會混淆不清。分式方程的增根是指使分式方程的分母等于0的未知數的值，增根不是原分式方程的解;而分式方程無解則包含兩種情況：（1）分式方程有增根;（2）原分式方程去分母后的整式方程無解。

一、“增根”的解題策略

例1 （2020·四川遂寧）關于x的分式方程[mx-2]-[32-x]=1有增根，則m的值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

【解析】第一步：去分母，方程兩邊都乘（x-2），化為整式方程x=m+5;第二步：由分式方程有增根可得x-2=0，即x=2;第三步：將x值代入整式方程計算可得m=-3。

變式1 如果方程[x+a4-x2]+[xx-2]=1有增根，則a的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

【解析】第一步：去分母，方程兩邊都乘4-x2，化為整式方程x=a-4;第二步：由分式方程有增根可得4-x2=0，即x=±2;第三步：分別將x值代入整式方程計算可得a=2或6。

【點評】例1與變式1相比較，當分式方程有增根時，第一步都是將分式方程先化成整式方程，但是在變式1中，當分母為0時，可以解出兩個不同的x的值，因此，需要分兩種情況代入，求出兩個不同的a的值。

二、“無解”的解題策略

例2 若關于x的方程[3x-1]=1-[k1-x]無解，則k的值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

【解析】第一步：將分式方程去分母轉化為整式方程x=4-k;第二步：由于x的系數為1，分式方程無解只可能是有增根，即x-1=0;第三步：確定出x的值，代入整式方程計算即可求出k=3。

變式2 若關于x的方程[mx-1x-2]=[34]無解，則m的值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

【解析】第一步：將分式方程去分母轉化為整式方程（4m-3）x=-2;第二步：由于x的系數為4m-3，分式方程無解需要分兩種情況，即分式方程有增根，或者整式方程無解，即x-2=0或者4m-3=0;第三步：分兩種情況計算即可求出m=[12]或[34]。

【點評】例2與變式2相比較，第一步都是先化成整式方程，但是變式2中的分式方程化成整式方程后，x的系數含有參數。此時，當分式方程無解時，需要分兩種情況討論：分式方程有增根，或者整式方程無解，分別求出兩個不同的值。

（作者單位：常州市金壇段玉裁初級中學）