與“分式方程”有關的中考題掠影

曹淵

分式方程是方程大家族里特殊而又略顯重要的成員，也是中考考查的熱門知識點之一。本文對“分式方程”典型中考題進行剖析，以期對同學們的學習有所幫助。

題型一、解分式方程

例1 （2020·江蘇南京）方程[xx-1]=[x-1x+2]的解是? ? ? ? ? ? ? ?。

解：方程兩邊同乘（x-1）（x+2），得

x2+2x=x2-2x+1，

解得x=[14]。

經檢驗x=[14]是分式方程的解。

拓展練習1：當x為何值時，分式[3-x2-x]的值比分式[1x-2]的值大3？

解：根據題意，得[3-x2-x]-[1x-2]=3，方程兩邊都乘x-2，得-（3-x）-1=3（x-2），解得x=1。檢驗：當x=1時，x-2≠0，∴x=1是所列分式方程的解。

答：當x=1時，分式[3-x2-x]的值比分式[1x-2]的值大3。

題型二、求字母系數

例2 （2019·江蘇宿遷）關于x的分式方程[1x-2]+[a-22-x]=1的解為正數，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

【解析】直接解分式方程，進而利用分式方程的解是正數得出a的取值范圍，再結合分式方程有意義的條件分析得出答案。

解：去分母，得1-a+2=x-2，

解得x=5-a，

5-a>0，解得：a<5，又當x=5-a=2，即a=3時，分式方程無意義，

故a<5且a≠3。

拓展練習2：若關于x的分式方程[mx-2]=[1-x2-x]-3有增根，則實數m的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解：去分母，得m=x-1-3（x-2），由分式方程有增根，得x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程，得m=1。

題型三、分式方程的應用

例3 （2020·江蘇揚州）如圖，某公司會計欲查詢乙商品的進價，發現進貨單已被墨水污染。

進貨單

[商品 進價（元/件） 數量（件） 總金額（元） 甲 7200 乙 3200 ]

商品采購員李阿姨和倉庫保管員王師傅對采購情況回憶如下：

李阿姨：我記得甲商品進價比乙商品進價每件高50%。

王師傅：甲商品比乙商品的數量多40件。

請你求出乙商品的進價，并幫助他們補全進貨單。

【解析】設乙商品的進價為x元/件，則甲商品的進價為（1+50%）x元/件，

依題意，得[7200（1+50%）x]-[3200x]=40，

解得x=40。

經檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意。

∴（1+50%）x=60，[3200x]=80，

[7200（1+50）x]=120。

答：甲商品的進價為60元/件，乙商品的進價為40元/件，購進甲商品120件，購進乙商品80件。

拓展練習3：新冠肺炎疫情期間，成都江安河社區有甲、乙兩個醫療用品公司，免費為醫院加工同種型號的防護服。甲廠每天加工的數量是乙廠每天加工數量的1.5倍，兩廠各加工600套防護服，甲廠比乙廠要少用4天。求甲、乙兩廠每天各加工多少套防護服？

解：設乙廠每天加工x套防護服，則甲廠每天加工1.5x套防護服。

根據題意，得[600x]-[6001.5x]=4，解得x=50。經檢驗：x=50是所列方程的解，且符合題意，則1.5x=75。

答：甲廠每天加工75套防護服，乙廠每天加工50套防護服。

總之，同學們在學習分式方程及其應用時，既要注意與整式方程相關內容進行類比，又要注意兩者的區別。

（作者單位：江蘇省常州市同濟中學）