抓住源頭　看清真題

孫靚

教材中的例題是一些中考題的重要來源，因此，我們在復習時要回歸教材，關注例題傳遞出來的信息。“概率與統計”作為中考的必考內容，更側重于讓同學們體會如何將不同的問題歸納為同一個概率模型。

例1 （蘇科版數學教材九年級上冊第132頁例2）一只不透明的袋子中裝有3個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球。

（1）會有哪些等可能的結果？

（2）摸到白球、摸到紅球的概率各多少？

【解析】（1）分別給這5個球編上號碼，白球分別編為1、2、3，紅球分別編為4、5。有5種等可能的結果：摸到1號球，摸到2號球，摸到3號球，摸到4號球，摸到5號球。

（2）摸到1號球、摸到2號球、摸到3號球這3種結果之一出現時，“摸到白球”這一事件發生，所以P（摸到白球）=[35]。

摸到4號球、摸到5號球這2種結果之一出現時，“摸到紅球”這一事件發生，所以P（摸到紅球）=[25]。

【點評】例題是摸球試驗，從袋中任意摸出1個球時，每個球被摸到的機會相同，這5種可能出現的結果是等可能性的。事件發生的概率等于事件發生的結果數與所有等可能的結果數之比。

【拓展1】（2020·江蘇鎮江）一只不透明的袋子中裝有5個紅球和1個黃球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，摸出紅球的概率等于。

【解析】由題意知，任意摸出一個球共有6種等可能的結果，其中摸到紅球的結果有5種，所以P（摸到紅球）=[56]。

【點評】本題考查了概率的意義，和教材例題考查的知識點相同，只做了數據調整。

【拓展2】（2020·黑龍江綏化）在一個不透明的袋子中裝有黑球m個、白球n個、紅球3個，除顏色外無其他差別，任意摸出一個球是紅球的概率是（）。

A. [3m+n]B. [3m+n+3]

C. [m+nm+n+3]? ? ? D. [m+n3]

【解析】任意摸出一個球共有m+n+3種等可能的結果，其中是紅球的結果有3種，所以P（摸出一個球是紅球）=[3m+n+3]。故選B。

【點評】本題是將教材例題中的數據更換成了字母。用字母表示數，考查了對等可能條件下概率概念的理解。

【拓展3】（2020·福建）若從甲、乙、丙3位“愛心輔學”志愿者中隨機選1位為學生在線輔導功課，則甲被選到的概率為。

【解析】隨機選擇1位志愿者在線輔導，共有3種等可能的結果，其中甲被選到的結果只有一種，所以P（甲被選到）=[13]。

【點評】本題考查了概率的計算，雖然與教材例題背景不同，不是摸球試驗，但考查的知識點及方法相同。

例2 （蘇科版數學教材九年級上冊第136頁例4）一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球。求兩次都摸到紅球的概率。

【解析】把2個紅球編號為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能出現的結果：

由表格可知，一共有9種可能的結果，并且它們都是等可能的。“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發生有4種可能，所以事件A發生的概率P（A）=[49]，即兩次都摸到紅球的概率是[49]。

【點評】例題是摸球試驗，為了方便列出所有等可能的結果，對兩個紅球分別編號。第一次任意摸出1個球，共有3種等可能的結果，記錄顏色并放回，所以第二次摸球也有3種等可能的結果。當事件涉及兩個因素時，列表可以幫助我們列出所有等可能的結果，從而計算出事件發生的概率。

【拓展4】（2020·重慶）盒子里有3張形狀、大小、質地完全相同的卡片，上面分別標著數字1、2、3，從中隨機抽出1張后不放回，再隨機抽出1張，則兩次抽出的卡片的數字之和為奇數的概率是。

【解析】列表表示所有可能的結果如下：

由上表可知，共有6種等可能的結果，其中數字之和為奇數的結果有4種，所以P（數字之和為奇數）=[46]=[23]。故答案為[23]。

【點評】本題考查了概率的計算，雖然與教材例題背景不同，將球換成了卡片，但不影響解題的方法。同學們需要認真區分“放回”及“不放回”，此處是“從中隨機抽出1張后不放回”，即第一次抽取到的卡片，第二次不能再被抽取。

【拓展5】（2020·江蘇淮安）一只不透明的袋子中，裝有三個大小、質地都相同的乒乓球，球面上分別標有字母A、O、K。攪勻后先從袋中任意摸出一個球，將對應字母記入圖中的左邊方格內，然后將球放回袋中攪勻，再從袋中任意摸出一個球，將對應字母記入圖中的右邊方格內。

（1）第一次摸到字母A的概率為 。

（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩個方格中的字母從左往右恰好組成“OK”的概率。

【解析】（1）共有3種等可能的結果，其中是字母A的只有1種，因此，第一次摸到字母A的概率為[13]。故答案為[13]。

（2）用樹狀圖表示所有可能出現的結果如下：

由樹狀圖可知，共有9種等可能的結果，其中從左到右能構成“OK”的只有1種結果，所以P（組成“OK”）=[19]。

【點評】本題對例題稍做變化，將不同顏色變為不同字母，并對事件發生的結果提出了順序要求。通過本題，我們不難發現，對于兩步試驗，除了用例題所列的表格之外，畫樹狀圖也可以幫助我們不重復、不遺漏地列出所有等可能的結果，從而計算出事件發生的概率。

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）