內引外聯巧構造

朱鳴

在解決網格圖形中的銳角三角函數問題時，我們往往借助格點來確定直角三角形，并通過對圖形的平移、翻折、旋轉等變換，將銳角放置其中，從而達到解決問題的目的。

【引例】在如圖1所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C都在格點上，求tan∠ACB的值。

【思路一】“內引”：其思路是在三角形內部作高，通過構造直角三角形解決問題。如圖2，過點B作BF⊥AC交AC于點F，將∠ACB放置于Rt△BCF中，通過等積法兩次計算△ABC的面積，一次以AB為底，一次以AC為底，求出BF的長，然后在Rt△BCF中求出CF的長，從而解決問題。這種方法也是解決此類問題的通法。

【思路二】“外聯”：其思路是通過延長已知線段，或連接某些格點，在原三角形外部進行擴充，將所求問題放置其中予以解決。如圖2，我們可以將視角集中于整個網格圖形的左下側，通過延長線段CB至格點E，再連接AE，即可構造Rt△ACE。由于每個小正方形的對角線長度相等，所以tan∠ACB=[AECE]=[13]。

無論是“內引”還是“外聯”，其目的都是構造直角三角形，為求銳角三角函數創造條件。下面我們結合圖形的變換來探討這兩種方法的運用。

一、通過平移進行外聯

在網格圖中，格點之間連線的交點不一定在格點處，形成的銳角也往往不在直角三角形中，如何求它們的三角函數值呢？我們先看下面的例題。

例1 在如圖3所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C、D都在格點上，且AB、CD相交于點P，求tan∠APD的值。

【思路分析】通過“內引”的辦法比較困難，雖然過點B作CD邊上的高或過點D作AB邊上的高容易，但構造直角三角形后如何求出∠APD的對邊卻比較困難。如果以點A為原點，建立平面直角坐標系，可以通過求直線交點的方法求出點P的坐標，但后續求直角三角形中直角邊的長比較麻煩。因此，“內引”不成，我們便想辦法通過平移變換進行“外聯”。將線段CD向上平移1個單位至BE的位置，將∠APD轉化為∠ABE，此時角的頂點在格點上，便于我們連接格點，構造直角三角形解決問題。如圖4，再連接AE，容易發現△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABE=45°，問題得以解決。當然，如果平移以后，仍然是一個一般三角形，我們可以繼續運用“內引”的辦法來解決問題。

二、通過翻折進行外聯

在圖形翻折的過程中，幾何元素的不變性值得我們關注。在網格圖中，圖形的翻折會改變角的位置，但不改變其大小。如圖5和圖6，看似存在差異，但實質上，將圖5沿著網格中間的水平線翻折即可得到圖6，兩幅圖中交點P處所成的銳角大小不變，在翻折中只是改變了它的位置。這樣的翻折在網格圖中有什么應用呢？請看下面的例題。

例2 在如圖7所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C都在格點上，求tan2∠CAB的值。

【思路分析】在解決2∠CAB問題時，可以利用圖形的翻折進行構造。翻折方法一：如圖8，將△ABC沿直線AC翻折，即可得到∠BAB′=2∠BAC，然后在△ABB′中通過“內引”，構造AB或AB′邊上的高，以通法求解。其中AB=AB′=2，BB′=2BF（BF的長可以在△ABC中通過等積法來求）。翻折方法二：如圖9，將△ABC和網格線沿直線AB翻折，可得到∠CAC′=2∠BAC，然后在△ACC′中通過“內引”，構造AC或AC′邊上的高，以通法求解。翻折方法三：如果我們追尋“等腰出，倍角現”這條線索，如圖10，只需過點B作BE⊥AC，交AC于點E，將△ABE沿著BE翻折，使點A落在AC上的A′處，連接A′B、A′D，由外角的性質可知∠A′BD=2∠CAB。雖然△A′BD不是格點三角形，但我們仍可以通過“內引”三角形的高解決問題。

三、通過旋轉進行內引

對于旋轉，看似只有兩個元素（旋轉中心和旋轉角度），但它不像平移和翻折那樣比較直觀，相對而言，思維要求和操作難度都比較大，因此，我們有時可以借助線段自身的旋轉達到發現的目的。

例3 在如圖11所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C、O都在格點上，D是AC邊上的任意一點，AE⊥BD于點E，求sin∠BEO的值。

【思路分析】乍一看無從下手，但結合條件AE⊥BD，再仔細觀察，我們會發現AO⊥BO，所以有∠OAE=∠OBD，再結合AO=BO這樣的相等關系，能啟發我們可以從旋轉的角度考慮問題。若將△AOE繞點O逆時針旋轉90°，使它與△BOF重合，在旋轉過程中，△AOE的形狀、大小不會變化，而旋轉角度是90°，故明確了△OEF的特殊性——等腰直角三角形，所以∠BEO=45°，此時求sin∠BEO的值也就水到渠成了。

對于求解銳角三角函數類問題而言，網格僅僅是一個載體，內引和外聯是解題的方法，平移、翻折和旋轉是解題的策略。有了網格中隱含的直角和相等的線段，結合解題的方法與策略，難題就會變得容易多了。

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學）