L型耦合板模型振動響應統計方差分析

蔡延年，張文春，石巍，王鐵鈞，王大鵬

（中車大連機車車輛有限公司 遼寧省軌道交通車輛設計制造專業技術創新中心，遼寧 大連 116026）

自20世紀60年代提出以來，統計能量分析法（Statistic energy analysis，SEA）已經廣泛應用于軌道交通，航空航天，汽車，船舶等行業的聲振響應預測與控制問題。這一方法的本質是從能量角度出發，分析和研究振動與聲的統計處理方法。所以，“統計”具有特定含義，是指把研究對象劃分成不同的子系統后，假定每個子系統的模態參數的統計分布為已知的統計總體，該統計總體有一系列名義上的同類子系統組合而成。同類子系統的模態參數上的差異在給定的頻率范圍內具有隨機分布的特性。任意子系統均可視為統計總體的一個樣本。由于子系統具備統計特性，子系統的模態參數也是隨機變量，那么統計總體在給定輸入激勵下的響應也是隨機變量。作為隨機變量，有必要對響應結果進行統計平均值及其方差方面的統計性分析。

Lyon首次研究了SEA模型的統計方差問題[1]，以結構和房間等簡單模型為研究對象，給出了其輸入功率和響應的方差。Langley等[2-7]針對統計能量分析原理涉及的統計估計問題進行了一系列分析，在理論計算，數值分析及試驗驗證方面均有所建樹，極大地促進了這一細分研究方向的發展。國內方面，廖慶斌等[8-10]分析了統計能量分析中響應統計估計的研究進展，隨機結構及復雜耦合動力系統的振動響應統計特性問題。

本文基于統計能量分析原理，分析集中力作用下L型耦合板的振動響應，計算擾動輸入情況下響應速度的平均值及95%置信區間的分布情況，討論模態重疊因子，平均帶寬寬度對統計方差的影響。

1 基本原理

在滿足統計能量分析法的基本假設條件下[11]，依據能量守恒原理建立不同子系統間的功率流平衡方程：

式中：ω為圓頻率，ηj為子系統j的內損耗因子，Ej為子系統j的能量，ηjk為子系統j及k間的耦合損耗因子,nj和nk分別為子系統j及k的模態密度，Pj為子系統j的輸入功率。

以矩陣形式擴展表示式（1），有：

式中：P為每個子系統輸入功率向量為子系統總體平均模態能量=Ej/nj，N階矩陣C為

當矩陣C和向量P具備隨機特性且存在擾動情況下，式（2）改寫為

式中：C0為矩陣C的確定性分量，Pran為擾動分量；Pin為輸入功率的確定性分量，Pran同樣為擾動分量。

假設系統中存在的隨機擾動很小，可以忽略擾動分量的二次項，對式（5）求逆，僅保留一階攝動項：

假定擾動分量相互獨立，進一步推導系統能量的方差表達式：

式中，αk為子系統k外部輸入功率方差及模態響應統計特性的參數，不同激勵形式及模態振型統計特性下的計算方法均不相同[10]；αks為耦合系數；m′k為由子系統k的凈等效損耗因子η′k（包含內損耗因子及耦合損耗因子）引起的半功率帶寬模態重疊因子，其表達式為m′k=ωη′knk；B′k為與頻率平均帶寬Δ相關的帶寬參數，其表達式為函數r2表示子系統響應的相對方差，由Langley基于高斯正交統計假設[3]給出，單一子系統在簡諧激勵作用下能量的相對方差r2的表達式：

式中：α為載荷類型參數，m為模態重疊因子，B為帶寬參數。

2 計算模型

L型耦合板結構在各個行業應用廣泛，在軌道交通行業中主要是組成車體結構的重要構件，L型板耦合結構常見于邊角位置。以圖1所示的L型耦合板模型為研究對象,該耦合板模型由長板和短板組成，兩板件間夾角為直角。長板尺寸為0.6 m×0.8 m，短板尺寸為0.6 m×0.4 m。板件材質為鋼，厚度為3 mm，具體屬性如表1所示。長板中心位置受到集中力作用，在分析頻段63 Hz～8 000 Hz內的幅值均為1 N。

圖1 L型耦合板模型示意圖

表1 L型耦合板模型基本參數

3 響應方差分析

基于統計能量分析原理的聲振預示實質是利用頻帶內子系統的模態群振動能量計算不同子系統的平均振動能量，但實際應用中任意子系統實際具備的能量無法精確地等于統計能量分析法計算得到的平均能量。所以，只有對聲振平均響應能量進行方差分析，才能掌握子系統平均能量偏離其平均值的程度。僅在方差與平均值相比是相對較小時，其平均計算結果具備實際應用價值，否則應以置信區間形式。

長板和短板的振動速度響應及其95 %置信區間情況分別如圖2及圖3所示。由圖2及圖3可以看出，頻率由低不斷升高，95 %置信區間范圍不斷縮小，振動速度響應結果的方差逐漸趨于零，此時具有很大概率接近平均速度響應，振動速度可以使用單一的統計量估算結果表示。

圖2 長板振動速度響應及其95%置信區間

圖3 短板振動速度響應及其95%置信區間

圖4及圖5是長板和短板振動速度響應的95%置信區間確定的偏差上下限與其平均值的比值情況，縱坐標以偏差百分數表示。在較低頻段，特別是63 Hz中心頻率處，長板的上、下限偏差百分數分別為20.4%及18.6%，短板的上、下限偏差百分數分別達到29.0%及25.4%，相對較大的偏差說明估算結果接近其平均值的概率很小，此時僅以振動速度平均值表示這一頻段的振動響應的準確性難以保證，需要以置信區間的表示形式。

圖4 長板振動速度響應相對偏差

圖5 短板振動速度響應相對偏差

圖6為長板和短板的模態重疊因子計算結果，隨著頻率的升高，模態重疊因子不斷增加。由于長板面積為短板的2倍，同一頻段下的長板模態重疊因子為短板的2倍。以63 Hz為中心頻率的頻段下，長板的模態重疊因子為0.005 0，短板的模態重疊因子為0.002 5。過低的模態重疊因子條件下，子系統的模態數目不足，使得SEA的計算結果產生無法預知的波動和偏差，導致這一頻段的振動速度響應上、下限偏差百分數過大。結合式（10）可知，隨頻率升高而減小的方差是由模態重疊因子的增加所引起。

圖6 長板及短板的模態重疊因子

不同帶寬寬度的平均方式對方差的影響如圖7及圖8所示。圖7和圖8分別為短板振動速度的功率譜密度（Power spectral density，PSD）的1/3倍頻程及1/1倍頻程結果。圖7和圖8的參考值為1(m/s2)/Hz，灰色區域表示95%置信區間的覆蓋區域，其面積代表PSD計算結果的方差大小。

圖7 1/3倍頻程短板PSD及其95%置信區間

由圖7和圖8可知，1/1倍頻程的灰色區域顯著小于1/3倍頻程結果。這一結果表明平均帶寬的寬度越寬，方差越小。擴展求解帶寬的寬度能夠明顯減小聲振平均響應的方差，改善計算精度。

圖8 1/1倍頻程短板PSD及其95%置信區間

4 結語

利用統計能量分析原理對L型耦合板進行了振動響應統計方差分析，得到了耦合板結構不同組件在集中力作用下的振動速度響應平均值及其95%置信區間，研究結果指出：

（1）隨著頻率（模態重疊因子）的升高，振動響應平均值的方差逐漸減小。

（2）由于較低頻段的模態重疊因子較低，應使用振動響應平均值及95%置信區間的形式給出其統計能量分析結果；進入較高頻段后，則可以使用單一的統計量結果表示振動響應。

（3）求解平均帶寬的增加可以改善方差較大的不利結果，有助于提高聲振響應計算精度。