BTA深孔鉆桿系統穩定性

馬國紅，杜娟

（太原科技大學 機械工程學院，太原 030024）

BTA鉆桿系統是一個內部相互作用復雜的系統。鉆桿的動力學行為會對加工質量產生不良的影響，例如圓度、直線度和孔表面粗糙度[1-4]。

研究人員對鉆桿動力學行為的研究非常重視，開展了大量的研究。文獻[5-6]建立三維動力學模型來研究深孔鉆桿的固有頻率。文獻[7-8]為了研究鉆桿系統的非線性動力學響應，構建鉆桿的動力學模型，該模型考慮了切削力波動和質量偏心的影響。此外，還提出一種修正的打靶法，得到鉆桿運動的周期性軌跡，并分析了鉆桿系統的非線性動力學行為。文獻[9]建立兩種不同的動力學模型：Timoshenko梁模型和Euler-Bernoulli梁模型，分析旋轉鉆桿的固有頻率，考慮了流體流動和軸向力的作用。文獻[10]提出了一種研究顫振的模型，考慮了鉆桿的支撐位置，例如在輸油器、輔助支撐和基座等位置，研究了鉆桿的動態穩定性。文獻[11]在工件和鉆桿之間，以內力的形式引入系統激勵來研究深孔鉆桿的渦動。

在本文中，BTA鉆桿系統被視為瑞利梁模型，該模型考慮內部流體、扭矩、軸向力和支撐約束的影響。基于流固耦合和轉子動力學理論，建立鉆桿橫向振動動力學方程，考慮流固耦合效應、轉動慣量、運動約束效應、陀螺效應以及由周圍流體引起的摩擦阻尼，研究了鉆削深度對系統固有頻率和穩定性的影響。

1 系統運動方程

在深孔加工過程中，刀具邊旋轉邊軸向進給，而工件始終保持靜止狀態。圖1所示為深孔鉆削原理示意圖，刀具以轉動角速度ω進行旋轉，并且其內部流動著流速為U的切削液，同時，還承受著扭矩、軸向力和支撐約束的作用。將刀具等效為瑞利梁，其中刀具的尾部視為固定端，刀具的刀頭部位視為簡支端。

圖1 深孔鉆削原理示意圖

構建鉆桿系統橫向振動動力學模型，該模型考慮扭矩、軸向力、支撐約束、轉動慣量、流固耦合、因轉動引起的渦動效應和由周圍切削液產生的摩擦阻尼等因素。基于轉子動力學和流固耦合理論，鉆桿系統橫向振動控制方程：

式中：ρp和ρf分別為鉆桿和切削液的密度；di和de分別為鉆桿的內徑和外徑；Ap=π()/4為鉆桿的橫截面面積；Ip=π()/64為鉆桿的橫截面慣性矩；Af=4為鉆桿內孔的橫截面面積；If=/64為鉆桿的橫截面慣性矩；P為鉆頭所承受的軸向力；T為對鉆頭所承受的扭矩；Ka,Ca和Kb,Cb分別為位于xa和xb處的支撐剛度和阻尼系數；wx和wy分別為沿x和y方向的橫向振動位移。

令w=wx+iwy,且i=并將式(1)和式(2)進行合并，得到：

引入無量綱變量：

將上述無量綱變量全部代入方程(3)中，經化解整理可得：

2 求解方法

采用Galerkin方法對無量綱四階偏微分方程(4)進行離散。假設任意點ξ無量綱位移可以表示為

式中：qi(τ)為廣義時間坐標，φi(ξ)為固定-簡支梁正交模態函數，φi(ξ)的表達式為

式中：特征值λi是特征方程式(7)的解。

特征方程式(7)的前10階特征值λi列在表1中。

表1 λi的值

將式(5)代入式(4)中，并在式(4)兩邊同乘以jth模態函數φj(ξ)，然后對式(4)從0到1進行積分，經過化解整理可得：

式中：M=B0-γB2，C=2iγΩB2+cfB0+F=caB5+cbB6，，H=kaB5+kbB6。

其中：B0～B6的元素可表示為

為了方便求解，引入狀態向量：

從而，式(8)由2階微分方程轉變為1階微分方程：

取式(9)的解的形式：

式中：λ為待求的特征值，B為任意常數向量。

將式(10)代入式(9)中，假設存在特征方程(11)，則特征方程(11)有非平凡解：

其中，特征方程(11)解λ的虛部Im(λ)代表鉆桿系統的各階模態頻率，而λ的實部Re(λ)符號決定鉆桿系統的穩定性，當實部符號全都為負時，則系統漸進穩定；當實部符號中至少有一個為正時，則系統不穩定；當實部為零時，則系統處于臨界穩定狀態。

3 數值結果與分析

系統仿真參數：鉆桿長度l=6 m，鉆桿內徑和外徑分別為di=25×10-3m和de=36×10-3m，楊氏模量E=2.14×1011Pa，切削液和鉆桿密度分別為ρf=0.865×103kg/m3和ρp=7.8×103kg/m3，支撐約束的初始位置為ξa=0.677和ξb=0.833，轉速n=282 r/min，ω=，流速Q為切削液流量，Q=120 L/min，Π=4.28×10-5，Γ=2.65，Ka=1×107，Kb=1×108，Ca=5×104，Cb=5×105，Cf=1.72×10-5。

如圖2所示。為鉆桿系統模態頻率隨加工孔深增加的變化規律。第1階模態頻率隨著孔深的增加而逐漸增大。在深孔加工過程中，選取合適的支撐位置，有助于鉆桿伸入工件內依然能夠保持第1階模態頻率不減小。第2階模態頻率隨著孔深的增加先增大后減小。第3、第4階模態頻率隨孔深的增加呈波動變化。

圖2 前4階模態頻率隨孔深增加的變化曲線

從圖2可以看出1階模態頻率曲線與“三邊形”虛線有一個交點，其所處的位置為0.540 6 m。2階模態頻率曲線與“七邊形”虛線有兩個交點，其所處的位置分別為0.155 1 m和0.839 1 m。這些交點意味著在深孔加工過程中工件內表面會產生“三邊形”和“七邊形”波瓣形貌。

如圖3所示為前4階實部隨孔深增加的變化規律。從圖3可以看出，第1階實部呈減小的趨勢，在0.6 m位置附近出現突變點，而該點位置與圖2中第1階模態頻率曲線與“三邊形”虛線的交點位置相近；第2階實部先減小后增大再減小，在孔深0.7 m位置附近處為最高點；第3階實部先增大后減小再增大，在孔深0.2 m位置附近處為最高點；第4階實部先減小后增大。此外，在整個加工過程中前4階的實部符號始終都為負，表明系統始終處于穩定狀態。然而，各階穩定性程度隨孔深變化各不相同。

圖3 前4階實部隨孔深增加的變化曲線

4 實驗結果與分析

工件長度為1 060 mm，直徑為74 mm，材料為40 Cr。刀頭直徑為44 mm，鉆桿外徑為36 mm，內徑為25 mm。在深孔鉆削過程中，選取主軸轉速為282 r/min，進給量為15 mm/min。如圖4所示為試驗工件裝夾實物圖。圖5為鉆削試驗測試系統圖，采用加速度傳感器采集鉆桿振動信號。

圖4 工件裝夾

圖5 鉆削試驗測試系統圖

圖6所示為在深孔加工過程中鉆桿系統振動加速度信號的頻譜圖。鉆桿的前4階模態頻率分別為15.8 Hz、41.6 Hz、60.8 Hz、85.2 Hz。

圖6 鉆桿系統振動加速度信號頻譜圖

圖7所示為工件內孔表面形貌。在工件加工完成后，將內窺鏡伸入工件內部，發現在工件的內表面上沿軸向明顯地均勻分布著3條波瓣。本實驗主軸轉速為282 r/min，將該數據轉換成頻率為4.7 Hz，其接近于鉆桿系統一階模態頻率的1/3，因此，實驗結果與所建立的鉆桿系統模型仿真分析結果較為吻合。

圖7 工件內孔表面形貌

5 結語

本文建立了鉆桿系統動力學模型，分析了鉆削深度對系統固有頻率和穩定性的影響。在深孔加工過程中，鉆桿系統各階模態頻率隨孔深的變化規律并不相同。此外，這種變剛度現象會對深孔加工穩定性和工件質量產生一定的影響，而且會直接影響內孔表面的波瓣形貌，這與系統第1階固有頻率有著密切的關系，從仿真結果和實驗結果也可同時得到驗證。