關(guān)于二維線性自治系統(tǒng)的相圖的教學(xué)

樊自安

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000 )

解的穩(wěn)定性理論是“常微分方程”課程中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，如何正確作出二維線性自治系統(tǒng)的相圖是一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。在幾本經(jīng)典的教材中[1-5]，僅給出了相圖的大致思路，但要作出二維線性自治系統(tǒng)的相圖，特別是奇點(diǎn)是兩向結(jié)點(diǎn)的二維線性自治系統(tǒng)的相圖，學(xué)生一般感覺較困難。文獻(xiàn)[6]以極坐標(biāo)為基礎(chǔ)，借助仿射變換，研究了二維線性自治系統(tǒng)的相圖；文獻(xiàn)[7]對(duì)平面齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并給出對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的全局相圖及具體系統(tǒng)，關(guān)于微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性，參考文獻(xiàn)[8-10]。

對(duì)于二維線性自治系統(tǒng)：

(1)

系數(shù)矩陣A的特征方程為：

(2)

特征根為：

(3)

顯然，λ1≥λ2。

考慮二維線性自治系統(tǒng)(1)，對(duì)于初等奇點(diǎn)(0，0)，當(dāng)λ1和λ2為相等實(shí)數(shù)時(shí)，奇點(diǎn)為單向結(jié)點(diǎn)或星形結(jié)點(diǎn)；當(dāng)λ1和λ2為復(fù)數(shù)時(shí)，軌線為向內(nèi)或向外盤旋的螺線；當(dāng)λ1和λ2為異號(hào)實(shí)數(shù)時(shí)，軌線以y=k1x和y=k2x為漸進(jìn)線。這些都比較容易作出相圖；但當(dāng)奇點(diǎn)是兩向結(jié)點(diǎn)時(shí)，畫相圖是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本文僅討論λ1和λ2為同號(hào)不等實(shí)數(shù)即奇點(diǎn)是兩向結(jié)點(diǎn)的相圖。

1 主要結(jié)果及證明

當(dāng)λ1和λ2為同號(hào)不等實(shí)數(shù)時(shí)， (a-d1)2+4bc>0，λ1≠λ2，由式(3)λ1>λ2，這時(shí)奇點(diǎn)是兩向結(jié)點(diǎn)。分三種情見討論。

1)b(λ-a)≠0，設(shè)矩陣A的特征值λ1和λ2對(duì)應(yīng)的特征向量分別設(shè)為ξ1，ξ2，取

(4)

方程組(1)的通解為：

即當(dāng)t→+∞，軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ1，當(dāng)t→-∞，軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ2。

下面我們將證明向量ξ1、ξ2的斜率為k1，k2，其中k1，k2這樣解出：

即：

bk2+(a-d1)k-c=0

(5)

(6)

由式(3)和式(4)得向量ξ1的斜率：

=k1，

向量ξ2的斜率：

=k2，

軌線X(t)逐漸趨向于(0，0)或遠(yuǎn)離(0，0)，直線y=k1x，y=k2x都經(jīng)過原點(diǎn)(0，0)，因此t→+∞，軌線X(t)的切線趨于y=k1x，當(dāng)t→-∞，軌線X(t)的切線趨于y=k2x。

2)b=0，由式(3)知λ1=a，λ2=d1，不妨設(shè)a>d1，λ1>λ2。

設(shè)矩陣A的特征值λ1和λ2對(duì)應(yīng)的特征向量分別設(shè)為ξ1，ξ2，則由(A-λE)x=0，可取

(7)

由于λ1>λ2，由第一種情況的討論可知，當(dāng)t→+∞，軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ1，

3)λ=a，由式(2)知bc=0，這時(shí)b≠0，c=0；若b=0第二種情況已討論。由式(3)知λ1=a，λ2=d1，不妨設(shè)a>d1，λ1>λ2。

設(shè)矩陣A的特征值λ1和λ2對(duì)應(yīng)的特征向量分別設(shè)為ξ1，ξ2，則由(A-λE)x=0，可取

(8)

由于λ1>λ2，由第一種情況的討論知當(dāng)t→+∞，軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ1，

當(dāng)t→-∞時(shí)，軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ2，由式(8)得ξ1的斜率k11=0，向量ξ2的斜率：k12=(d1-a)/b，而由式(6)解出k1=0，k2=(d1-a)/b，則k11=k1，k12=k2仍然成立，因此式(6)仍成立。

因此我們得到下面的定理：

定理1 當(dāng)二維線性自治系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣A的特征根λ1，λ2為同號(hào)不等實(shí)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)(1)的軌線與直線y=k1x，y=k2x的其中一條切于原點(diǎn)(0，0)，其中k1，k2由式(6)給出(當(dāng)只解出一條直線斜率k1時(shí)，另一條直線為x=0)。

軌線究竟與哪一條直線相切呢？

由式(6)知，k1>k2，t→+∞，軌線X(t)的切線趨于y=k1x，這說明，當(dāng)t→+∞，軌線X(t)的切線的斜率在逐漸增大，在y=k1x與y=k2x之間，軌線上的點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)大于0，這說明在y=k1x與y=k2x之間，軌線是向下凹的。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，我們畫出第一或第二象限內(nèi)系統(tǒng)的相圖(這里沒有畫箭頭的方向，箭頭的方向不影響相圖的上述性質(zhì))，如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2可以看出，在y=k1x與y=k2x之間，在第一象限內(nèi)， 軌線X(t)與y=k2x相切或在第二象限內(nèi)，軌線X(t)與y=k1x相切。因此我們得到下面的定理：

圖1 k1>k2>0

圖2 k2

圖3 k1=3，k2=1

定理2 當(dāng)二維線性自治系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣A的特征根λ1，λ2為同號(hào)不等實(shí)數(shù)時(shí)，在y=k1x與y=k2x之間，在第一象限內(nèi)，系統(tǒng)(1)的軌線與y=k2x相切或在第二象限內(nèi)，系統(tǒng)的軌線與y=k1x相切。其中k1>k2，k1，k2由式(6)給出(當(dāng)只解出一條直線斜率k1時(shí)，另一條直線為x=0)。

2 例子說明

例確定系統(tǒng)

的奇點(diǎn)類型，并作出相圖。

解(0，0)是唯一奇點(diǎn)，特征方程λ2+4λ+3=0，特征根λ1=-1，λ2=-3是同號(hào)相異實(shí)根，奇點(diǎn)(0，0)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。由

解出k1=3，k2=1，k1>k2，兩條漸進(jìn)線方程y=3x，y=x，由定理2，在第一象限內(nèi)，系統(tǒng)的軌線與y=x相切，如圖3所示。