利用波動圖進行駐波的位相和能量特征分析

吳波英，王軍延*，付伯橋，彭曉星，陳 杰

(1.湖北工程學院 物理與電子信息工程學院，湖北 孝感 432000；2.湖北工程學院 化學與材料科學學院，湖北 孝感 432000；3.湖北工程學院 新技術學院，湖北 孝感 432000；4.湖北汽車工業學院 理學院，湖北 十堰 442002)

波動圖是將某一時刻各點的振動情況定格在一張圖形中，因此有人形象地將它稱之為波的“照片”。利用波動圖，我們可以直接判斷質元的振動情況，也可以判斷波傳播引起質元的相對形變量的大小，這對于分析波的位相和能量特征十分方便，也同樣適用駐波的情形。在教學中，筆者發現學生從駐波波動圖分析波的位相和能量特征可能并不困難，最大的困難在于學生是否能自己繪制駐波波動圖。

由于波的疊加實質是振動的疊加，因此教材一般采用在同一幅圖上同時繪制相向傳播的兩列相干波的波動圖，然后將兩波在同一點的振動位移相加得到駐波的波動圖[1]。楊慶怡等[2]提出一種利用振動旋轉矢量和波動旋轉矢量來描繪駐波波形的方法。該方法首先利用振動旋轉矢量At確定駐波在時刻t的波腹，然后以波腹為長度的波動旋轉矢量Ax作出這一時刻駐波的波形。王明美等[3]用“幾何畫板”繪制駐波的波動圖。其中第一種方法[1]常用的教學方法，但是學生繪制一個行波波動圖尚且困難，在一張圖上同時繪制兩個(相向傳播)的行波波動圖就更不容易了；第二種方法[2]確實具有一定的操作性，然而，學生理解這種方法也許有一定的困難，因此他們并不能熟練掌握這種方法；第三種方法[3]需要學生掌握幾何畫板軟件，課堂教學中這顯然不太現實。本文采用駐波表達式的振幅因子與簡諧振動因子相乘的方法畫出不同時刻的駐波波動圖，筆者在教學過程中發現學生很容易掌握這種方法，并對他們理解駐波的位相和能量特征也有一定的幫助。

1 駐波表達式

在教材中，有兩相干波分別沿x軸的正、負方向傳播，假設兩波在原點的振動表達式相同，即：

y0=Acosωt

(1)

則沿x軸的正負方向傳播的兩相干波為

(2)

式(2)說明任意點處存在兩個振動，由振動的疊加原理，任一點處的振動為

(3)

2 繪制駐波在不同時刻的波動圖

駐波表達式(3)可視為振幅因子與簡諧振動因子兩項之積，而t時刻的簡諧振動因子對所有質點都相同，是0和1之間的一個“數字”，因此可以先畫出振幅因子的圖像，即振幅與坐標的關系，再與這個“數字”相乘得到某時刻t時各點的振動位移，即駐波某時刻t的波動圖。

振幅與坐標的關系如圖1中(i)所示。由于假設兩波在原點的振動方程相同，因此原點就是干涉加強的點，即原點處為波腹。從圖1中(i)可以清楚地判斷出波腹(點O和與B、C兩點的中點)與波節的位置(點A、B、C)。值得注意的是，這里曲線的起伏說明各點的振幅有大有小，但與行波波動圖曲線起伏的意義不一樣。行波中各點作同頻率同振幅的簡諧振動，行波波動圖曲線的起伏表明同一時刻各點的振動位相或振動位移不同。

1)令t=0，第二項正好等于1，兩項相乘的結果還是等于第一項，因此該時刻的波動圖如圖1中(ii)所示，這與圖1中(i)完全相同。說明該時刻各點都處于各自的振幅處，即各點同時運動到各自正或負的最大位移處。由于各點作同頻率的簡諧振動，由振動的知識可知，當質點運動到最大位移處時，下一刻將向平衡位置運動，因此下一時刻各點均向各自的平衡位置運動。

3)令t=T/4，第二項等于0，與第一項相乘的結果是該時刻各點的振動位移均為0，說明各點同一時刻均運動到各自的平衡位置，此時的波動圖是一條位于x軸的直線，如圖1中(iv)所示。由于各點做作同頻率的簡諧振動，由振動的知識可知，當質點運動到平衡位置時質點的速度最大，由于慣性下一刻各點將繼續按原運動方向運動。因此，可以預測下一時刻的波動圖可能的形式。

然后令t=3T/8，t=T/2，t=5T/8，t=6T/8，t=7T/8，采用同樣的方法，可以分別畫出對應時刻的波動圖。當t=T時，各質點完成一次全振動，都回到t=0的位置，因此與t=0的波動圖完全相同。

(i) 振幅與位置坐標的關系 (ii) t=0時刻 (iii) t=T/8時刻 (iv) t=T/4時刻 (v) t=3T/8時刻 (vi)t=T/2時刻 圖1 駐波在不同時刻的波動圖

從圖1可以看出，駐波的波形曲線是一些高矮不同的余弦曲線，即不同時刻的波形并不相同。然而，我們在一根兩端固定的、張緊的弦線上觀察到的駐波是波形不隨時間變化的波動[4]，這是由于視覺暫留才給人產生的錯覺，因此稱為“駐波”。

3 駐波的位相特征分析

由上面的分析可知，駐波中各點作振動范圍不同的同頻率簡諧振動，只有波節是始終靜止的點，可以看到這些始終靜止的點將駐波分成了一段一段的，因此駐波可視為分段振動。相鄰波節A、B之間各點在t=0時刻同時到達各自正的最大位移處，而在t=T/4時刻同時到達各自的平衡位置，因此這些點的振動是同步的，即振動同相。

波節B兩側的A-B與B-C之間各點，在t=0時刻分別達到它們各自正、負的最大位移處；在t=T/4時刻它們同時到達各自的平衡位置，但是A-B之間各點向負方向運動，而B-C之間各點向正方向運動，因此可以判斷波節B兩側的這些點的振動反相。

從駐波表達式(3)也可以得到該結論。駐波表達式的振幅因子是有正有負的，如從圖1中(i)所示，可以看出波節兩側各點的振幅異號，因此波節兩側各點的振動表達式實際上相差一個負號，這個“負號”即表明波節兩側各點振動反相。而相鄰波節之間各點的振幅同號，即表明相鄰波節之間各點振動同相。

4 駐波的能量特征分析

波的能量包含兩部分：一部分是各質元由于振動而具有的振動動能，振動動能與速度的平方成正比。由于各點作簡諧振動，振動速度與振動位移有關，如振動位移為0時，振動速度是最大的，其振動動能必然最大；如振動位移為±A時，振動速度為0，其振動動能必然為0。波動圖記錄了同一時刻各質元的振動位移，因此通過它可以直觀地看出各質元的振動動能大小。

駐波雖然不是(行)波，但由于它也包含所有質元的振動，因此各質元必然有振動動能；由于它的波動圖和行波一樣也是余弦或正弦曲線，因此也會引起介質的彈性形變，因此各質元也必然有形變勢能。

首先分析波腹和波節處的能量特征。從不同時刻的波動圖可以看到波腹始終處于余弦曲線的極值處，即切線斜率始終為0，因此波腹處的形變勢能時時為0；由于波腹處作振動范圍最大的簡諧振動，因此在波腹處總是具有振動動能，并且比非波腹處的質元同時刻的振動動能大。而波節是始終靜止的點，因此波節處的振動動能時時為0；除了波動圖為直線時(如圖1中(iv)所示)，其他時候總處于余弦曲線斜率最大的位置，因此波節總具有形變勢能，并且比非波節處同時刻的形變勢能大。其余各質元均既有振動動能又有形變勢能。

另外，波動圖為直線時(如圖1中(iv)所示)，此時各處的相對形變量均為0，說明此時各處的形變勢能均為0；但此時由于各質點均處于平衡位置，各質點除波節外均具有振動動能，即此時能量以動能形式存在。質點處于平衡位置時速度為ωA，駐波中各點的角頻率均為ω，而波腹處的振幅最大，因此其振動速度最大，振動動能必然最大。此時能量(動能)主要集結在波腹處。在t=0 (如圖1中(ii)所示)和t=T/2 (如圖1中(vi)所示)時各質點均到達各自的最大位移處，此時各質點的動能均為0，但此時由于除波腹外各處都存在彈性形變，因此各處存在形變勢能，其中波節處的相對形變量最大，因此波節處的形變勢能最大，即此時能量以勢能形式存在，并主要集結在波節處。

從上面的分析可以看出波腹處的形變勢能總為0，其動能隨運動不斷變化；波節處的動能總為0，其形變勢能隨運動不斷變化。并且當波腹動能最大時，波節處形變勢能為0；波腹動能為0時，波節處形變勢能最大。

文獻[5]通過兩相向傳播的波的能流密度相減得到駐波的能量密度，發現波節、波腹位置上的能流密度無論什么時刻均為0，但除波節、波腹外，其他各質元的能流密度可以不為0，說明能量在波節、波腹之間的各質元上流動。換言之，由于存在波節(始終靜止的點)，因此駐波的波形曲線并未像行波那樣移動，因此能量也并未像行波那樣定向傳播，能量只是在波腹和波節處往返集結。

5 結語

1)駐波表達式(3)中的簡諧振動因子是0-1之間的一個“數字”，因此先畫出振幅因子的圖像，再與這個“數字”相乘，就可以很容易地畫出不同時刻的駐波波動圖。

2)駐波的位相特征：相鄰波節之間各點振動同相，而波節兩側的各點振動反相。

3)駐波的能量特征：當波動圖為直線時，此時各質元除波節外只有動能，形變勢能均為0，并且波腹處的動能最大；在t=0和t=T/2時刻，各質元除波腹外只有形變勢能，動能均為0，并且波節處的形變勢能最大。其他時刻除波腹和波節外的各質元既具有動能也具有勢能，動能和勢能隨著運動不斷變化。駐波的能量沒有向外傳播，但在波腹和波節之間各點流動。