數形結合思想方法在高中數學教學中的實踐探索

【摘 要】高中數學學科的邏輯性非常強，對學生的分析能力、理解能力和邏輯思維能力要求較高，很多知識內容和題目的難度較大，需要運用一定的數學思想方法。新課標背景下，教師應該深刻認識數形結合思想方法的重要意義，結合實踐教學經驗，加強這方面的教學，在明確基本內涵與運用原則的基礎上，立足教材挖掘數形結合思想方法，滲透數形結合思想方法，指導學生進行小組合作與實踐運用，以此提升高中數學教學效果，培養和提升學生的數學能力。

【關鍵詞】數形結合思想方法;高中數學;滲透;實踐運用

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0050-02

高中數學主要研究的是數量關系與空間幾何，而數形結合思想方法是將兩者緊密結合起來的思想方法，通過將兩者聯系起來，運用它們之間的相輔相成關系，將復雜抽象的問題變得簡單直觀，從而實現“以數解形”和“以形解數”，從而提高數學學習效果與解題效果，更好地發展學生的思維能力與解題能力。

1 ? 數形結合思想方法的基本內涵和運用原則

高中數學教學中運用數形結合思想方法，需要明確它的基本內涵和運用原則，這樣教師才能在一定的規則下，根據高中數學的知識內容，引入豐富的教學資源，引導學生積極參與自主學習、合作學習與探究學習，在循序漸進中有效掌握這種思想方法的具體運用[1]。數形結合是指將數量關系與空間幾何相互融合，將數量關系轉為空間幾何圖形，將空間幾何圖形轉為數學語言，實現數與形的有機結合，進而在“以數解形”和“以形解數”的過程中使抽象復雜的問題變得直觀簡單，進而更好地解答相關數學問題。高中數學教學中運用數形結合思想方法一般需要注意雙向性原則與等價性原則。雙向性是指要對幾何圖形進行直觀分析，還要對代數關系進行分析。等價性是指數形結合變化過程是等價的，不應加入其他元素。

2 ? 數形結合思想方法在高中數學教學中的具體實踐

2.1 ?立足數學教材，挖掘數形結合思想方法

在高中數學教學中，教師應該認識到數形結合思想方法在很多內容中有所運用，包括但不限于集合問題、函數問題、立體幾何、解析幾何、三角函數、不等式與方程等，在導入新的數學知識、展現算理和解答相關例題方面也有所體現[2]。對此，教師應該先立足于數學教材，挖掘其中蘊含的數形結合思想方法，在課程導入與相關講解中運用它實施教學。這樣可以更加有效地導入新課教學，幫助學生理解相關數學概念、算理和運算法則等，更好地提升數學課程的教學效果。

如人教版必修一的“集合的基本關系”一課主要是讓學生了解和掌握集合中的子集、真子集等基本概念。在講解子集時，教師可運用Venn圖敘述，展現兩個集合A、B，幫助學生更好認識子集的概念。在“集合的基本運算”一課的教學中，教師可運用圖形展現A和B的相互關系，幫助學生理解并集的基本概念。對“集合的基本運算”一課的例題：設集合A={x|?1

求A∪B。教師可以指導學生先運用幾何的基本運算方法求解，然后指導學生運用數軸直觀表示A∪B的過程，更好地解答此題。對之后的交集和補集等概念，同樣可以運用數形結合思想方法進行講解。在“充分條件與必要條件”一課中，在指導學生認識充分條件與必要條件的基本概念后，教師可以通過講解例題的方式幫助學生更好掌握這些基本概念的運用，在講解過程中注意運用數形結合思想方法，以直觀、形象地解答。如題：若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形。教師可以先指導學生畫出對應圖形，然后運用數形結合思想方法講解：如圖1所示，四邊形 ABCD 的對角線互相垂直，但它不是菱形，由 p 不能推出 q ，所以 q 不是 p 的必要條件。在講解后，教師可以出示相關習題，讓學生自主訓練，更好地鞏固這方面的知識，再如題：如圖2所示，直線 a 和 b 被直線 l 所截，分別得到∠1、∠2、∠3、∠4，根據這些信息，寫出幾個“a∥b”的充分條件與必要條件。

2.2 ?結合具體類型，滲透數形結合思想方法

在高中數學教學中運用數形結合思想方法，一般有兩種路徑：一是根據空間幾何圖形生動、直觀展示數量關系，這是以解析數量關系為主要目標，以幾何圖形為解題方法，如運用函數圖象直觀說明函數的性質;二是借助數量關系的規范嚴密性與精確性，解析空間幾何圖形的一些屬性，目的是解析圖形，主要的方法是運用數量關系，如運用曲線方程更好解析曲線的幾何性質。教師在指導學生運用數形結合思想方法解答具體的類型時，應該合理滲透數形結合思想方法，并指導學生注意一些要點：一是明確數學基本概念、運算幾何意義、曲線代數特點等，認真分析題干的條件與結論，明確其中幾何與代數的意義;二是適當設置參數與合理利用參數，形成相互關系，思考如何更好地進行“以數解形”或者“以形解數”;三是更好地確定參數的取值范圍。

解析幾何是高中數學教學的一個難點，在指導學生解答相關習題時，教師可以根據具體的習題類型，有效滲透數形結合思想方法。如與斜率有關的一道題：有向線段 PQ 起點 P 和終點 Q 的坐標分別是 P（?1，1）、Q（2，2），若直線 l：x+my+m=0與有向線段 PQ 延長相交，求實數 m 取值范圍。對這一題，教師可以指導學生根據圖形（見圖3）進行解答，然后進行解析：根據已知條件可以將直線 l：x+my+m=0化成點斜式 y+1=，得出直線 l 過定點M（0，?1），斜率是? ;因為 l 和 PQ 延長線是相交的，所以通過數形結合可得出過 M 且和 PQ 平行時，直線 l 的斜率趨近于最小，過點 M 和 Q 時，直線 l 的斜率趨近于最大，kPQ==，kMQ==，

設直線 l 的斜率是 k，根據 kPQ< kl

2.3 ?出示相關習題，指導學生思考以及小組合作

通過以上分析可知，數形結合思想方法可以運用在集合、函數、解析幾何、立體幾何、三角函數、不等式與方程等問題的解答中，教師可以根據具體問題先講解運用方法，然后讓學生自主訓練。教師可出示一些習題，讓學生結合數形結合思想方法的基本運用方式，在獨立思考與小組合作探究的過程中解決問題，以此更好地提升數形結合思想方法的運用效果，幫助學生熟悉與掌握它的具體運用方式，有效發展邏輯思維能力和解題能力。

將數形結合思想方法運用在函數中，可解決與方程的根相關的問題。教師可引導學生結合數形結合思想方法，將方程的解問題轉為曲線交點問題，實現代數和幾何的結合，更好地解答問題。如題：已知方程 x2?4x+3=m有4個根，實數 m 的取值范圍是多少？教師可以先讓學生進行自主探究，然后讓學生進行小組合作解答，再分組展示。最后教師進行總結：對這種沒有方程的根的具體值、只求根的個數的問題，可以轉為求兩條曲線交點的個數。根據題意可知是求函數 y=x2+4x+3和函數 y=m 圖象的交點的個數，可以畫出拋物線 y=x2+4x+3=（x?2）2?1的圖象，將其在 x 軸下方的圖象沿著 x 軸翻轉，得出 y=x2?4x+3的圖象，再畫出直線 y=m，根據圖象得出當0

2.4 ?根據教學實踐，總結數形結合思想方法運用方法

教師在解析相關具體運用，以及指導學生運用數形結合思想方法解答相關習題后，還應該總結數與形的轉化路徑、主要類型與思想方法等內容，以此幫助學生靈活運用它們。如數與形的轉化路徑有：一是建立坐標系，結合數量關系與幾何圖形，將靜止的關系轉為動態關系，為求解打好基礎;二是轉化，主要是分析數量關系與相關式子的特征，轉化問題角度;三是構造，包括構造函數、幾何圖形等。主要類型與思想方法包括“以形解數”“以數解形”“數形轉換”三種。

綜上所述，在高中數學教學中運用數形結合思想方法，教師應該讓學生明確數形結合思想方法的基本內涵和運用原則，在此基礎上根據高中數學的主要內容，結合高中生的數學學習基礎與認知能力，通過立足數學教材、結合具體類型、出示相關習題和根據教學實踐等，更好地講解數形結合思想方法，指導學生有效運用數形結合思想方法更好實現“以形解數”“以數解形”和“數形轉換”，解答各類數學問題，發展思維能力與數學核心素養。

【參考文獻】

[1]陸燕.數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析[J].新校園（中旬刊），2017（10）.

[2]李勇.論數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析[J].考試周刊，2018（6）.

【作者簡介】

馬龍華（1964～），男，漢族，山東濟寧人，本科，中學高級。研究方向：高中數學教學。