從課本例題看初中數學數形結合思想

黃爾迪

[摘 要]數學因較強的抽象性、縝密的邏輯性考查以及數字化語言的應用，而成為學生心目中較難學的學科.想學好數學，絕非單純的“題海戰(zhàn)術”就可以達成的，更主要在于對學生數形結合思想的培養(yǎng).作為教學和學習基礎的數學課本，其中所包含的數學例題是極具代表性和思想性的.文章針對數學課本中的例題進行探究，甄選出蘊含在數學例題中的數形結合思想，并提出中學生數形結合思想的培養(yǎng)方法.

[關鍵詞]課本例題;數形結合思想;初中數學

[中圖分類號]??? G633.6??????? [文獻標識碼]??? A??????? [文章編號]??? 1674-6058（2021）02-0033-02

作為一門抽象化的語言，數學的學習難度是幾個學科中較大的，但這并不是學生學不好數學的根本原因，在數學的日常學習中，我們不應把數學學習和“刷題”簡單粗暴地畫等號.筆者認為，培養(yǎng)好學生的數形結合思想，讓學生在解題過程中可以數形結合地進行思考，從更高的層次看待數學題和數學這門科目，這樣才會讓學生真正地了解數學、學好數學，并且能靈活運用數學知識解決問題.

一、數形結合思想的內涵和培養(yǎng)目標

數形結合，顧名思義，就是將數字和圖形這兩種數學構成的基本元素有效融合，引導學生運用靈活的解題思維，在解題探究的過程中巧妙轉換數字與圖形的數學思想與方法.在初中階段，教師若想達到良好的數形結合思想培養(yǎng)效果必然需要遵循數學教育理論，引導學生鞏固基礎知識，重視理論教學的嚴謹性，要求學生準確理解數形結合思想的內涵和基礎原理，再利用課本例題加以應用指導，使學生能游刃有余、靈活巧妙地運用數形結合思想來解決實際問題.

因此，初中數學教師在講解課本例題時，應當明確鞏固基礎知識和鍛煉數形結合運用能力的教學目標，強調“以數解形”和“以形助數”的思想，誘導學生將具體的數字和抽象的圖形靈活轉化，逐步挖掘出問題背后生動清晰的知識本質，從而深化對知識點的理解和應用，大幅度地提升解題效果.對于初中生而言，養(yǎng)成良好的數形結合思想，不僅能夠強化他們的空間觀念和數字意識，也能激活他們潛在的創(chuàng)造性思維，促進他們數學素養(yǎng)的提升.

二、數形結合思想培養(yǎng)存在的問題

很多學生在步入中學之后感覺數學學習較為吃力，最直觀的原因在于，中學數學不再是簡單的基礎數字的堆放，而是進行了系統(tǒng)化、邏輯化和體系化的建立.首當其沖的就是數學的思想.數學思想是貫穿整個初中階段乃至學生的數學學習生涯的脈絡，尤其是數形結合思想在初中數學幾何教學中的滲透，體現出了單純的數學題的堆積并不能引發(fā)質變，只有在精雕細琢每一道數學題，并且認真探究其中的思想，才能做到游刃有余.

培養(yǎng)學生數形結合思想時存在著以下問題：一是大部分初中數學教師不了解數形結合思想在初中數學教學中運用的意義，不重視將數形結合思想滲透在教學的各個環(huán)節(jié)中;有的教師在講解課本例題時，只是把數形結合思想看作解題思路和解題方法，純粹引導學生探求問題答案，忽視培養(yǎng)學生的數形結合思想，使得數形結合思想的培養(yǎng)目標缺乏教學實踐價值.二是多數學生在解題的過程中逐漸形成運用數形結合思想解決數學問題的意識，但是他們仍舊沒有透徹理解和把握數形結合思想的運用方法，對數形結合思想的內涵存在狹隘認知.有的學生過分重視“以形助數”的應用，卻忽視了“以數化形”和“形數互變”，無法在解決數學問題時把抽象的數學語言和直觀的幾何圖形有機結合使其變得更為簡單形象.由此可見，培養(yǎng)學生數形結合思想任重道遠，數形結合思想的培養(yǎng)途徑也有待考究和探索.

三、培養(yǎng)學生數形結合思想的有效策略

1.以數化形，厘清解題思路

初中數學教材中集中了大量典型的例題和習題，這些題目凝結了大量典型的數學思想方法，其中蘊含的數形結合思想不可忽視.初中數學教師應當積極展現數形結合之“以數化形”方法，引導學生正確認識數與形的統(tǒng)一關系，幫助學生形成清晰的解題思路，將“數”寄托于“形”中，利用已有的所理解的“數”，構建出形象直觀的“形”.只有這樣，學生才能準確掌握以數化形的解題方法，避免生搬硬套公式、陷入“死做題、做死題、做題死”的局面，逐漸沖出解題的誤區(qū).

例如，學生在解答復雜、抽象的代數式時，所采用的解法大多相對單一，常通過等式和代數式之間的變換使式子更加簡單易解，但是在特殊情況下，一些典型的代數式可轉化為圖形，化抽象為具體，方便學生解題.尤其是在解決二次函數的相關題目時，教師可引導學生運用數形結合思想對二次函數形式的代數式進行簡單的變換.以“已知二次函數為[y=x?-x+m]，畫出它的圖像，判斷它的開口方向、對稱軸及頂點坐標”一題為例，學生先運用配方法將其轉化為標準的二次函數式，然后將其大致形狀描繪在坐標上，以此來判斷出二次項系數[a=1>0]，開口向上;再由[y=x?-x+m=x?-x+122-14+m=x-122+4m-14]和圖像得出對稱軸是直線[x=12]，頂點坐標為[12，4m-14].由此看來，在講解課本例題時有意識地滲透數形結合思想極其重要，教師應當結合具體例題的情況來適當調整滲透方向，引導學生既快又準地完成數與形的轉化，逐步提升解題的效率.

2.以形變數，捕捉一題多解

以形變數是數形結合思想的重要構成部分，它直接體現數與形的對立思維，要求學生借助數的形式來加以計算和判定簡單圖形.在素質教育對學生思維能力創(chuàng)新的要求下，引導學生學會“以形變數”的解題方法，培養(yǎng)學生從“一”探究“多”的解題方法，是初中數學教師需要加以重視的話題.一題多解，意味著教師和學生都需要突破固有“答案式”的解題思維局限，不斷在解題過程中實現再發(fā)現和再創(chuàng)造，捕捉隱藏于題目背后的更多令人驚喜的“意外途徑”，使學生能夠在思維的拓展延伸中創(chuàng)造和挖掘出新觀點和新解法.

例如，“全等三角形的判定”是學生在初中階段需要重點把握的知識，而有關全等三角形的判定例題的解題途徑也是多樣化的，如邊邊邊、邊角邊、角角邊等.學生在解決有關全等三角形的判定問題時，需要從圖形中探尋判定的切入點，逐步歸納出其中的全等條件，從而完成全等三角形的判定過程.那么，教師在引導學生分析全等三角形的判定的例題時，應當基于教學內容來對例題進行有目的地“深加工”，全方位挖掘出課本例題的多樣化解法，并進一步引導學生拓展思維，學會從多方位切入解題，實現思路的創(chuàng)新和解法的創(chuàng)造，而不是僅僅被一種解題思路所束縛.如對于例題“如圖1所示，已知D是AB的中點，[∠ACB=90°]，求證[CD=12AB]”，教師可先讓學生回憶全等三角形的判定方法主要包括SSS、SAS、ASA，AAS、HL等，再要求學生多角度完成“以形變數”的解題過程.在結合全等三角形判定方法來觀察圖形后，學生列出了清晰的解題步驟：延長CD至P點，使D為CP中點.連接AP，BP，∵[DP=DC]，[DA=DB]，∴四邊形ACBP為平行四邊形，又[∠ACB=90]，∴平行四邊形ACBP為矩形∴[CD=CP=12AB].

在這個尋求“新元素”和創(chuàng)造“新途徑”的過程中，筆者發(fā)現，許多學生在解決課本的空間圖形例題時，能夠運用“以形輔數”的解題思維來挖掘出更多的解決方法.由此可見，數形結合思想能夠促進學生思維能力和解題能力得到鍛煉和提高.

由此看來，在講解課本例題的過程中有意識地滲透數形結合思想極其重要，教師應當結合具體例題的情況來適當調整滲透方向，引導學生既快又準地完成數與形的轉化，使他們逐漸形成獨特的數形結合思想的運用方法，開拓思路，積極創(chuàng)新，實現解題效率的提高和學科素養(yǎng)的提升.

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（責任編輯 陳 昕）