從“將軍飲馬問題”談模型思想的滲透

覃秀敏　劉運龍　張金江

[摘 要]模型思想是數學核心素養的重要方面，數學一線教師在日常教學中應注重這一重要思想的滲透，為學生數學核心素養的發展奠定堅實的基礎.在“將軍飲馬問題”的教學中，讓學生經歷感知模型、建立模型、拓展模型、歸納模型、遷移模型等活動過程，體會模型思想，促進學生分析問題和解決問題能力的提高，進一步發展學生的數學核心素養.

[關鍵詞]模型思想;將軍飲馬問題;初中數學

[中圖分類號]??? G633.6??????? [文獻標識碼]??? A??????? [文章編號]??? 1674-6058（2021）02-0029-02

模型思想是《義務教育數學課程標準（2011年版）》新增的十個核心詞之一，也被《普通高中數學課程標準》列為六大核心素養之一.數學一線教師在日常教學中應注重模型思想的滲透，為學生數學核心素養的發展奠定堅實的基礎.初中階段較少進行數學建模的專門訓練，因此在一些典型課中，有意識地滲透模型思想尤為必要.如何有效地將這一抽象的數學思想滲透在教學中，促進學生數學核心素養的發展，一直是初中數學一線教師深入思考的問題.本文以一節“將軍飲馬問題”研討課的教學設計為例談談模型思想的滲透.

一、創設情境，感知模型

數學抽象是建立模型的首要步驟.抽象性和概括性強是數學模型的重要特征，一些定理、公式和概念的產生往往需要經歷抽象、歸納、概括的過程.筆者通過創設故事情境，引導學生抽象出數學問題，進而感知模型.

問題原型呈現：相傳一位羅馬將軍拜訪并請教精通數學和物理的學者海倫一個有趣的問題——若他每天從軍營出發，先到河邊飲馬，再到河岸同側的另外一個軍營開會，應該怎樣走才能使路程最短？海倫不假思索，便解決了問題.

師：請同學們也思考一下，從數學的角度應該如何理解這個問題呢？

評析：此環節先呈現“將軍飲馬問題”情境，激發學生的學習興趣和求知欲;再通過追問，讓學生感知問題的本質是探求最短路徑，為模型的建立做好思維鋪墊.

二、合作探究，建立模型

實踐探究和合作學習是中學生研究數學的重要途徑，它能將抽象的數學問題具體化和簡單化.本環節以讓學生經歷操作、合作探究為出發點，讓學生在觀察、思考、作圖的過程中感受領悟“飲馬問題”模型的建立.

問題一抽象：用A表示軍營，B表示另外一個軍營.由此故事情境抽象出：（呈現在幾何畫板上）如圖1，A和B位于直線l的同側，求P在直線l上的什么位置時[PA+PB]的值最小？

師生活動：（限時3分鐘）以小組為單位，合作探究作圖.教師巡視，學生代表匯報交流結果，展示作圖情況，追問畫圖過程，師生共同補充，教師利用幾何畫板動態驗證.

小組展示：如圖2，①以l 為對稱軸，作出B的對稱點B′;② 連接AB′與l交于點P，P的位置即為所求;③ [AP+PB]的最小值為AB′.

師生活動：

建立“將軍飲馬問題”模型的步驟：（1）明確直線和直線同側的兩點;（2）選取兩點中的任一點，以這條直線為對稱軸，作其對稱點;（3）連接該對稱點與另外一個點，使其與直線交于 P，P即為所求.

評析：引領學生從故事情境中抽象出模型，通過探索與反思，小組交流從分析原理到提出模型的學習心得，并借助幾何畫板的動態展示，使得教學內容變得生動、豐富.讓學生總結從故事情境中提出數學問題、建立模型的經驗，引導他們探究問題背后的實質，找到解題本質——利用軸對稱變換知識作圖，通過“兩點之間線段最短”來解決問題.組織學生總結建立模型的步驟，有效提升學生對“將軍飲馬問題”模型的初步理解.

三、變式深化，拓展模型

為了使運用“將軍飲馬問題”模型解決實際問題常態化、系列化，確保學生真正理解和掌握該模型，設計如下問題，讓學生再次經歷從生活問題中抽象出“將軍飲馬問題”模型的過程，使學生更加熟練地掌握和應用模型.

問題二呈現：2020年迎新晚會，12班學生將桌子擺成兩條直線[l1]和[l2]，在[l1]的桌面擺滿蘋果，在[l2]的桌面擺滿餅干，樂樂坐在P處，他先拿蘋果再拿餅干，最后回到P處，你能否幫忙設計一條路線，使他來回走過的總路程最短.

師：如圖3，在[l1]、[l2]上分別取點M、N，使[△PMN]的周長最小.類比問題一的思想方法，應該如何解決這個問題？

生：如圖4， 以[l1]、[l2]為對稱軸，作出點P的對稱點P′和P″;連接P′P″，與[l1]、[l2]分別交于M和N; 線段P′P″即為所求最小值.（兩點之間線段最短）

評析：通過探究實際生活問題的數學活動，引導學生尋找基本信息、識別基本圖形，發現實際生活問題中的數學規律，學會運用對稱軸進行圖形變換，建立“將軍飲馬問題”模型，強化模型的應用，推廣模型.

四、興趣延伸，歸納模型

通過類比探究，不難發現“將軍飲馬問題”模型還可應用在下列的問題中.

“將軍飲馬問題”模型也常運用在綜合性較強的角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形、長方形、圓、坐標系、拋物線等具有軸對稱性質的幾何圖形相結合的問題中.難度一般的題目只需應用軸對稱變換，再依據“兩點之間線段最短”便可解決問題.難度較大的題目則需要多次進行軸對稱變換或者軸對稱變換與平移變換結合解決問題.

五、趣味提升，遷移模型

一些物理現象也常常需要應用“將軍飲馬問題”模型來解釋.著名數學家費馬曾運用該模型解釋物理中的“光行最速原理”：從A點射出光線，經過平面鏡MN反射照到點B，作出光走過的路徑.

師生互動：如圖9，以直線MN為對稱軸，作B的對稱點B′， 連接AB′，使其與MN交于點P; AP和PB的和則為光線的“最短路線”.

理由：在直線MN上，除點P之外的其他點P′，均有[AP′+P′B>AB′=AP+PB].光線走過兩定點，走過的路程（或者時間）總是最短的.物理學中的“反射定律”——光線經平面鏡反射，反射角等于入射角便可得證.

評析：此環節的設計增加了趣味性，讓學生了解到“將軍飲馬問題”模型使用的廣泛性.

綜上，教師在數學教學中應注重滲透模型思想，引導學生體會模型思想的價值，學會建立模型，讓學生在建模過程中提高分析問題和解決問題的能力，增強建模意識，提升數學核心素養.

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[4]? 扈保洪.“將軍飲馬”型問題的一種推廣[J].中學數學雜志 ，2016（6） ： 51-53.

（責任編輯 陳 昕）