基于響應(yīng)面模型的復(fù)合材料軸機(jī)械連接可靠性分析

盧永文 楊朱偉 楊 堯 魏 濤 秦 瑯

(中國(guó)船舶集團(tuán)公司第七一一研究所，上海 201108)

1 研究背景

傳統(tǒng)船舶推進(jìn)系統(tǒng)中軸系重量約占整船重量的2%(約100 t～200 t)，使用復(fù)合材料替代金屬可以使軸系減重25%～80%，因此復(fù)合材料軸在船舶推進(jìn)系統(tǒng)的傳動(dòng)功率密度提高上具有重要的應(yīng)用前景。同時(shí)，復(fù)合材料傳動(dòng)軸還具備隔聲減振效果，是未來(lái)船舶推進(jìn)方式的重要發(fā)展方向。目前在美國(guó)海軍YP-654巡邏艇、瑞典海軍SMYGE氣墊船以及美國(guó)Sacramento級(jí)補(bǔ)給艦等艦艇上均使用了復(fù)合材料軸系[1]。復(fù)合軸系中涉及到大量復(fù)合材料與其他部件的連接，連接形式包括了膠接和機(jī)械連接等形式。其中機(jī)械連接在傳遞載荷能力以及可維修性上具有明顯優(yōu)勢(shì)，是復(fù)合材料連接結(jié)構(gòu)的重要形式。但是在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)上開(kāi)孔會(huì)對(duì)復(fù)合材料強(qiáng)度明顯削弱，同時(shí)螺栓以及鉚釘?shù)氖褂眠€會(huì)增加結(jié)構(gòu)重量。

復(fù)合材料相對(duì)金屬材料具有力學(xué)性能分散性大的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的安全系數(shù)法進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)是通過(guò)安全系數(shù)對(duì)各變量不確定性用一個(gè)均值進(jìn)行簡(jiǎn)化，會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果危險(xiǎn)或保守[2]。在美國(guó)航空手冊(cè)(MIL-HDBK-17-1F)中根據(jù)復(fù)合材料部件是否屬于關(guān)鍵件，定義了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的A基準(zhǔn)值和B基準(zhǔn)值，表示在給定置信度γ條件下，可以期望β×100%的樣本值大于該下限值的問(wèn)題[3]。因此，復(fù)合材料基準(zhǔn)值設(shè)計(jì)法是基于力學(xué)性能的下分位進(jìn)行分析，表明結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)保守。結(jié)構(gòu)的概率可靠性設(shè)計(jì)方法則是基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的材料性能的分散性以及外載荷的隨機(jī)性等不確定因素直接進(jìn)行了量化，通過(guò)計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的失效概率充分考慮了材料的分散性[4]。因此對(duì)于復(fù)合材料傳動(dòng)軸機(jī)械連接部位進(jìn)行強(qiáng)度可靠性分析具有重要的意義。

某型碳纖維復(fù)合材料傳動(dòng)軸額定工況下承擔(dān)著大轉(zhuǎn)矩，目前采用4倍額定工況進(jìn)行確定性設(shè)計(jì)，對(duì)于材料的隨機(jī)性未加以考量，因此需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析，對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行指導(dǎo)。

本文首先對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性分析方法進(jìn)行研究，建立了基于響應(yīng)面模型的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠度計(jì)算方法。隨后對(duì)某型復(fù)合材料傳動(dòng)軸機(jī)械連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多種額定扭轉(zhuǎn)工況下強(qiáng)度的確定性分析，最后基于確定性計(jì)算結(jié)果對(duì)復(fù)合材料軸機(jī)械連接部位強(qiáng)度可靠性進(jìn)行了計(jì)算分析。

2 基于響應(yīng)面模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析

2.1 結(jié)構(gòu)可靠性理論

結(jié)構(gòu)可靠性是指結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件在設(shè)計(jì)工作期內(nèi)滿足各項(xiàng)規(guī)定要求的能力,用可靠度來(lái)度量可靠性的大小，表示結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)期限內(nèi)，依據(jù)設(shè)計(jì)工況使用時(shí)，保持結(jié)構(gòu)的安全性、功能性以及耐久性等功能狀態(tài)的能力[5]。

目前，針對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的分析模型主要包括概率可靠性分析模型、模糊可靠性分析模型以及非概率可靠性分析模型三種。其中概率可靠性分析模型以及模糊可靠性分析模型都屬于概率可靠性分析模型，概率可靠性分析模型主要針對(duì)變量可以依據(jù)大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到其概率分布，表明了變量的客觀性，而模糊可靠性模型則主要是依據(jù)主觀判斷來(lái)量化一些難以通過(guò)大量數(shù)據(jù)得到變量概率分布的方法，體現(xiàn)了變量的模糊性。非概率可靠性分析模型則完全不涉及到概率，描述的是對(duì)于一些不確定數(shù)據(jù)較少，采用集合模型來(lái)描述這些輸入的不確定因素。

結(jié)構(gòu)可靠性采用可靠度來(lái)進(jìn)行量化，代表了結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間和條件下完成預(yù)定功能的概率，用Pr表示。由于結(jié)構(gòu)的可靠性是與時(shí)間以及工作條件密切相關(guān)的，同時(shí)預(yù)定功能也是特定結(jié)果，因此在進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算時(shí)必須明確。 結(jié)構(gòu)可靠度受到材料性能、結(jié)構(gòu)的幾何尺寸以及外載荷作用等影響，這些影響因素可以用基本變量的形式來(lái)表示，并構(gòu)建一個(gè)隱式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量為X=(X1,X2,X3,…,Xn)，則結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)包括失效狀態(tài)、臨界狀態(tài)和安全狀態(tài)三種狀態(tài)，不同應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)如下所示：

其中，Z(X)表示結(jié)構(gòu)功能狀態(tài)函數(shù)，R(X)表示結(jié)構(gòu)所有抗力效應(yīng)，S(X)表示結(jié)構(gòu)載荷效應(yīng)。

結(jié)構(gòu)可靠與結(jié)構(gòu)失效是兩個(gè)互不相容事件，因此可以得到結(jié)構(gòu)的可靠度與結(jié)構(gòu)失效概率的大小滿足：

Pr+Pf=1

假設(shè)隨機(jī)變量的失效概率密度函數(shù)為fX(x1,x2,…,xn)，則可以得到結(jié)構(gòu)的失效概率：

由Z(X)=R(X)-S(X)可以得到：

從而得到結(jié)構(gòu)可靠度的大小為：

Pr=1-Pf

2.2 響應(yīng)面模型

目前針對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的計(jì)算方法包括一次二階矩法和蒙特卡洛法，其中一次二階矩法包括中心點(diǎn)法和驗(yàn)算點(diǎn)法。中心點(diǎn)法和驗(yàn)算點(diǎn)法是解析方法，他們的區(qū)別在于，中心點(diǎn)法不考慮變量的分布形式，在平均值處進(jìn)行泰勒展開(kāi)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度的解析求解。驗(yàn)算點(diǎn)法則通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化，將不滿足正態(tài)分布的變量進(jìn)行變換使得其滿足正態(tài)分布，進(jìn)而進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度的解析求解。

蒙特卡洛法是基于概率論的大數(shù)理論，通過(guò)對(duì)大量樣本點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，失效次數(shù)與總的試驗(yàn)總次數(shù)的比值就是結(jié)構(gòu)的可靠度。由于蒙特卡洛法的理論基礎(chǔ)是大數(shù)理論，因此在使用蒙特卡洛法進(jìn)行可靠性計(jì)算時(shí)沒(méi)有太多的限制。但是如果需要更為可靠的計(jì)算結(jié)果則需要進(jìn)行成千上萬(wàn)次的試驗(yàn)。因此單純使用蒙特卡洛法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的可靠性計(jì)算存在計(jì)算量過(guò)大的問(wèn)題。針對(duì)該問(wèn)題，目前也提出了一些解決方法，主要是通過(guò)將結(jié)構(gòu)隱式狀態(tài)方程進(jìn)行近似擬合，從而實(shí)現(xiàn)大大降低計(jì)算量大小。

為了解決在可靠性計(jì)算中隱式狀態(tài)方程難以求解的問(wèn)題，研究人員發(fā)展了響應(yīng)面模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及kriging模型等近似模型，通過(guò)將目標(biāo)函數(shù)、約束條件與設(shè)計(jì)變量之間隱式狀態(tài)函數(shù)使用近似模型進(jìn)行表達(dá)，得到了狀態(tài)方程的顯示表達(dá)式[6]。響應(yīng)面模型具有使用簡(jiǎn)單、通用性強(qiáng)、獨(dú)立性高以及能與多種商業(yè)軟件結(jié)合等多種優(yōu)點(diǎn)，在本文的計(jì)算中選用響應(yīng)面模型進(jìn)行計(jì)算。

利用響應(yīng)面模型進(jìn)行可靠性計(jì)算時(shí)，基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到計(jì)算中的樣本點(diǎn)，并選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行表示，因此響應(yīng)面的函數(shù)形式會(huì)影響最終響應(yīng)面擬合的效率和精度。假設(shè)響應(yīng)面包括隨機(jī)變量X=(X1,X2,X3,…,Xn)，可以得到目標(biāo)函數(shù)與隨機(jī)變量之間的響應(yīng)面函數(shù)關(guān)系如下：

y=β1g1(X1,X2,X3,…,Xn)+…+
βmgm(X1,X2,X3,…,Xn)+ε

其中g(shù)m為所選取的函數(shù)形式，βm為回歸系數(shù)，ε為隨機(jī)誤差[7]。為了評(píng)估響應(yīng)面對(duì)原始模型的擬合精度，需要對(duì)響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行方差分析，計(jì)算此時(shí)的相關(guān)系數(shù)R2，相關(guān)系數(shù)越接近1表明響應(yīng)面擬合效果越好。

目前應(yīng)用較為廣泛的函數(shù)形式是線性多項(xiàng)式和二次多項(xiàng)式，其中線性多項(xiàng)式函數(shù)形式待定系數(shù)較少，所需樣本點(diǎn)少，計(jì)算量小，但缺少交叉項(xiàng)的考慮，對(duì)于隱式狀態(tài)方程的非線性行為缺乏考慮。二次多項(xiàng)式在一定程度上克服了線性多項(xiàng)式缺乏對(duì)非線性行為考慮的問(wèn)題，但是待定系數(shù)也顯著增加，使得計(jì)算量大大提高。考慮到本文目的在于建立一套針對(duì)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的可靠性計(jì)算方法，因此采用了一次多項(xiàng)式進(jìn)行響應(yīng)面擬合，其基本函數(shù)形式如下[8]。

2.3 樣本設(shè)計(jì)方法

進(jìn)行響應(yīng)面擬合時(shí)，樣本點(diǎn)選取會(huì)對(duì)擬合速率與精度產(chǎn)生影響，因此采用恰當(dāng)?shù)臉颖驹O(shè)計(jì)方法至關(guān)重要。

拉丁超立方設(shè)計(jì)方法是一種能夠用樣本點(diǎn)很好的充滿整個(gè)空間的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，其基本原理是假設(shè)在M維空間中，樣本數(shù)量為N，然后將每個(gè)設(shè)計(jì)變量劃分為N份，這樣就可以將設(shè)計(jì)空間分為NM個(gè)子空間[9]。對(duì)于單個(gè)設(shè)計(jì)變量而言，通過(guò)N次抽樣得到的樣本空間就可以代表這個(gè)變量在這個(gè)設(shè)計(jì)空間中的隨機(jī)分布。其具有在任一維空間中都有與樣本數(shù)量相同的子區(qū)間，并且在子區(qū)間中只有有且僅有一個(gè)樣本，樣本在每個(gè)子空間可以隨機(jī)選取。但是其不能保證樣本點(diǎn)在空間中分布的均勻性，基于拉丁超立方設(shè)計(jì)形成了最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，該方法兼顧了樣本點(diǎn)的正交性和空間中分布的均勻性。如圖1所示是九個(gè)樣本點(diǎn)在空間中的分布對(duì)比，從圖中樣本點(diǎn)的分布可以看出最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法能夠更好的對(duì)空間進(jìn)行描述[10]。因此，本文進(jìn)行響應(yīng)面擬合時(shí)選用的樣本設(shè)計(jì)方法為最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法。

圖1 (1)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法(2)最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法

3 算例

3.1 復(fù)合材料軸計(jì)算模型

3.1.1 計(jì)算模型簡(jiǎn)化

本文計(jì)算模型依據(jù)某型號(hào)復(fù)合材料傳動(dòng)軸進(jìn)行建立，針對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，建立的1/16模型如圖2所示。其中復(fù)合材料軸的厚度為66 mm，鋪層順序?yàn)閇±45°]，金屬法蘭與螺栓均采用45#鋼，彈性模量210 GPa，泊松比0.3。計(jì)算選用Abaqus/Standard模塊，采用C3D8R單元，單元數(shù)為7 804，節(jié)點(diǎn)數(shù)為20 647。對(duì)金屬法蘭施加固支約束，螺栓、金屬法蘭以及復(fù)合材料之間的接觸采用罰函數(shù)來(lái)模擬摩擦接觸。

圖2 復(fù)合材料軸連接結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.2 Finite element model of composite shaft connection structure

3.1.2 強(qiáng)度準(zhǔn)則

碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的破壞形式分為首層失效準(zhǔn)則和最終層失效準(zhǔn)則，首層失效準(zhǔn)則是當(dāng)出現(xiàn)某一層失效時(shí)就判定結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，最終層失效準(zhǔn)則是當(dāng)所有層都發(fā)生破壞時(shí)才判定結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，出于安全的考慮，通常采用保守的設(shè)計(jì)方案，因此在本文的計(jì)算中采用首層失效準(zhǔn)則進(jìn)行損傷判斷。

復(fù)合材料的失效準(zhǔn)則包括最大應(yīng)力準(zhǔn)則、最大應(yīng)變準(zhǔn)則、Hashin失效準(zhǔn)則以及蔡吳(Tasi-Wu)失效準(zhǔn)則等，目前在工程應(yīng)用領(lǐng)域Tasi-Wu失效準(zhǔn)則應(yīng)用較為廣泛，因此本文的計(jì)算中選用Tasi-Wu失效準(zhǔn)則作為材料的失效判據(jù)[11]。其具體形式如下。

式中：

在本文的計(jì)算中取I12、I13、I23為0，由此可以得到在平面應(yīng)力狀態(tài)下的Tasi-Wu失效準(zhǔn)則：

當(dāng)Tasi-Wu失效系數(shù)大于1時(shí)判定材料發(fā)生破壞。

3.1.3 材料

本文計(jì)算的復(fù)合材料軸使用T800纖維增強(qiáng)復(fù)合材料，單層板的材料參數(shù)如表1所示，單層厚度0.3 mm。

表1 復(fù)合材料單層板材料參數(shù)

3.2 復(fù)合材料軸機(jī)械連接部位強(qiáng)度計(jì)算

本文計(jì)算所用的復(fù)合材料傳動(dòng)軸額定轉(zhuǎn)矩為4 000 KNm，在4倍額定轉(zhuǎn)矩工況時(shí)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 4倍額定轉(zhuǎn)矩工況強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果

由計(jì)算結(jié)果可知，在4倍額定轉(zhuǎn)矩工況下復(fù)合材料傳動(dòng)軸的最大蔡吳失效系數(shù)為0.888<1，軸的強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求。隨后計(jì)算了復(fù)合材料傳動(dòng)軸在5倍額定工況下的強(qiáng)度，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 5倍額定轉(zhuǎn)矩工況強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果Fig.4 Five times the rated torque strength calculation results

由計(jì)算結(jié)果可知，在5倍額定轉(zhuǎn)矩工況下復(fù)合材料軸的最大蔡吳失效系數(shù)為1.110>1，強(qiáng)度不滿足設(shè)計(jì)要求。

綜合上述強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果可知，復(fù)合材料傳動(dòng)軸在4倍額定轉(zhuǎn)矩工況下強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求，而在5倍額定轉(zhuǎn)矩工況時(shí)則不安全。因此需要考慮材料分散性對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響，對(duì)4倍額定轉(zhuǎn)矩時(shí)的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度進(jìn)行可靠性分析。

3.3 結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性計(jì)算

通過(guò)3.2中的確定性分析分析結(jié)果，得到了有限元計(jì)算的模型輸入文件(.inp)和計(jì)算結(jié)果文件(.dat)。基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算方法，在Isight中對(duì)狀態(tài)方程的響應(yīng)面進(jìn)行擬合并進(jìn)行蒙特卡洛模擬，搭建的計(jì)算流程如圖4所示。

圖5 在Isight中搭建的計(jì)算流程

根據(jù)擬合的響應(yīng)面的精度的不同，需要的樣本點(diǎn)數(shù)量也存在差異。對(duì)4倍額定轉(zhuǎn)矩工況的結(jié)構(gòu)可靠性進(jìn)行分析，選取20個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行線性響應(yīng)面擬合，得到此時(shí)響應(yīng)面擬合精度R2=1.00，證明擬合的響應(yīng)面能夠很好的對(duì)原始狀態(tài)方程進(jìn)行描述。

隨后對(duì)擬合得到的響應(yīng)面進(jìn)行10萬(wàn)次蒙特卡洛模擬，得到結(jié)構(gòu)可靠度為0.94。根據(jù)航空中對(duì)于非關(guān)鍵件可靠性要求的B基準(zhǔn)值0.94，此時(shí)結(jié)構(gòu)可靠度0.94>0.90，說(shuō)明目前結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)給予的安全系數(shù)4滿足可靠性要求。由于此時(shí)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠度高于B基準(zhǔn)值，因此可以降低此時(shí)結(jié)構(gòu)可靠度，通過(guò)減少目前結(jié)構(gòu)鋪層厚度來(lái)提高材料利用率。

如圖6所示，通過(guò)分析各輸入變量對(duì)輸出結(jié)果的影響，得到影響結(jié)構(gòu)的蔡吳失效系數(shù)最大值的主要輸入變量為X1t、X2t和。其中X1t、X2t與蔡吳失效系數(shù)的大小呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，G23與蔡吳失效系數(shù)的大小則呈現(xiàn)正相關(guān)。因此可以在保持結(jié)構(gòu)厚度不變的情況下改用X1t、X2t更小或G23更大的復(fù)合材料進(jìn)行傳動(dòng)軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

圖6 4倍額定轉(zhuǎn)矩時(shí)各輸入變量對(duì)輸出結(jié)果的影響

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算方法進(jìn)行研究，建立了基于響應(yīng)面模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，并利用Isight集成Abaqus，計(jì)算了復(fù)合材料軸機(jī)械連接部位強(qiáng)度可靠度大小，獲得的主要結(jié)論如下：

(1)建立了一套基于響應(yīng)面模型的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，通過(guò)對(duì)隱式狀態(tài)方程近似擬合，解決了復(fù)雜結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程難以求解的問(wèn)題，具有重要的工程意義；

(2)根據(jù)復(fù)合材料軸機(jī)械連接部位的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠度的計(jì)算結(jié)果，在4倍額定轉(zhuǎn)矩工況下的結(jié)構(gòu)可靠度滿足B基準(zhǔn)值要求。因此，在可靠度滿足B基準(zhǔn)值的情況下，可以通過(guò)減少?gòu)?fù)合材料軸的鋪層厚度來(lái)提高材料利用率；

(3)根據(jù)各輸入變量對(duì)蔡吳失效系數(shù)的貢獻(xiàn)比例，可以在保持結(jié)構(gòu)鋪層厚度不變的情況下改用、較小或較大的復(fù)合材料來(lái)進(jìn)行軸的設(shè)計(jì)。