LFM目標回波信號的Duffing振子檢測方法

李 楠，楊 陽

（1.東北電力大學信息工程學院，吉林吉林132012；2.大連大學信息工程學院，遼寧大連116622）

0 引 言

主動聲吶探測水下目標時，由于工程上對聲吶信號參數分辨力的需要，發射的LFM 信號通常是具有大時寬-帶寬積的脈沖壓縮信號。當聲吶發射功率一定，發射信號的頻譜由頻率調制技術實現擴展。由Parseval 定理可知，頻譜擴展會使信號功率譜密度下降。同時，由于目標聲散射特性及水聲傳播特性的作用，以及強混響干擾的存在，使得接收目標回波信號很微弱。目前，常用的LFM 目標回波檢測方法有：（1）相關及匹配濾波法[1-3]。該方法是利用接收信號中的目標回波信號與發射信號具有較強相關性，與噪聲不相關實現檢測與參數估計。當受干擾或背景噪聲中包含如混響等色噪聲時，檢測能力嚴重銳化甚至失效。（2）時頻分析方法。典型方法有短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform，STFT）[4]、小波及同步壓縮變換[5-6]、Wigner-ville 分布（Winger-ville Distribution，WVD）[7-9]等時頻分析方法，它們的共性是利用核函數的時頻聚集性對非平穩信號進行分析。STFT 的核函數時頻分辨率固定，無法自適應地調整時頻參數跟蹤信號，分析復雜信號效果不佳；小波及壓縮變換方法雖具有可調的時頻分辨率，但小波基函數的選取不同，分析效果也不同，且小波基選取沒有統一標準；而基于二次型的WVD時頻分析方法在分析多分量信號時不可避免地存在交叉項，交叉項產生干擾使誤判率增大。（3）基于分解理論的信號分離方法。典型方法有盲源分離法[10,11]、稀疏分解法[12]、經驗模態分解法[13-14]等。盲源分離法是將信號與背景干擾視為不同的源，利用其不相關特性進行分離。但是，當干擾與信號具有一定相關性時，分離效果不佳；稀疏分解法是通過選擇過完備原子庫作為基函數，對信號進行投影分解，不存在交叉項干擾的問題。但由于過完備原子庫中的基函數不再具有正交性及唯一性，選取不同原子庫時信號分解成分不唯一，物理意義不明確；經驗模態分解法是在定義內稟模態函數基礎上，將復雜的多分量信號自適應地分解為若干個IMF 分量及殘余分量之和的形式。當干擾信號頻帶與系統固有頻率重疊時其分解效果不佳，并且在分解過程中還存在過包絡、欠包絡、模態混淆和端點效應等問題。

當主動聲納接收信號的信混比較低，目標回波信號與噪聲干擾在時域、頻域及時頻域有交疊情況下，上述幾種方法分離或特征提取效果不佳。而具有典型非線性動力學特性的Duffing振子系統，不受時域、頻域及時頻域參數影響，具有較強的噪聲免疫特性，在低信噪比情況下仍有較好的弱周期信號檢測能力。目前，利用Duffing振子檢測弱LFM 信號取得了初步的研究成果，文獻[15]將LMF解調頻后構造Duffing 振子濾波器陣列，利用Lyapunov 指數判別信號是否存在及參數估計。該方法中系統的相態判別方法選用Lyapunov 指數法，結構復雜，算法耗時，且并未將其應用于實際信號的檢測。文獻[16]將LMF 線性調頻信號進行短時處理后，認為在截取的時窗內信號頻率是平穩不變的，然后利用Duffing 振子系統檢測單頻周期信號的方法進行檢測，最后通過識別結果重構出時頻變化圖。該方法對LMF 信號的檢測及頻率估計是在無噪聲干擾情況下實現的，文中未討論噪聲對檢測性能的影響。上述兩種方法僅從理論及數值仿真層面上對LMF 信號進行檢測，且LMF 回波信號信噪比門限值不得低于-10 dB。

本文借助Duffing 振子系統具有較強的弱信號檢測能力，首先利用LFM 信號在最佳分數階傅里葉變換域具有較高的時頻聚集性，研究了多亮點LFM 目標回波信號的解調頻問題；其次根據亮點模型，理論推導了LFM信號解調頻后的信號形式；最后針對解調頻后頻率未知的單頻信號檢測問題，提出了基于分數階傅里葉變換的變頻Duffing 振子檢測方法。并將該方法對水下沉底及掩埋實測數據進行了分析處理，驗證了方法的可行性及有效性，為低信混比下LFM 目標回波信號的檢測提供了一個新思路。

1 基于FRFT的LFM回波信號解調頻

利用Duffing振子系統實現弱信號檢測的基本前提是待測信號為單頻信號，而LFM 信號是頻率經線性調制形成的寬帶信號，不滿足Duffing 振子系統檢測前提條件。根據LFM 信號在最佳分數階Fourier變換域的譜分布具有沖激特性，對最佳分數階Fourier變換譜進行Fourier反變換，將LFM 信號解調頻為單頻信號，即可利用Duffing振子系統實現LFM信號的檢測。

1.1 多亮點LFM回波信號解調頻

主動聲吶發射幅度為A，初始頻率為f0，調頻率為k的LFM信號，其表達式為

設水下目標包含N 個幾何聲散射分量，根據亮點模型，忽略彈性聲散射成分，回波信號可表示為

式中，Ai，τi及φi分別為第i個幾何亮點的幅度、時延及相位因子。

由式（7）可知，多亮點LFM 回波信號解調頻變換后的時域信號為多個單頻信號的線性疊加。對第i 個聲散射分量，信號的頻率及幅值分別為fi=( f0- kτi)/cscα，Ai= Bi/cscα；單頻信號數量與幾何聲散射回波數量一致，頻率與時延因子τi及最佳旋轉角度α有關。

1.2 解調頻信號的頻率偏移分析

在最佳分數階傅里葉變換過程中，已知LFM信號調頻率k ＞0，引入量綱歸一化因子s=(Td/fs)1/2（Td為信號時寬，fs為采樣頻率），采樣間隔變為1/s，量綱歸一化坐標x = t/s,y = fs。經量綱歸一化處理后信號的時間區間為[-Td/2s,Td/2s]，離散化后FRFT域u的分辨率為

又由于

變換后頻率f的估計誤差Δf為

單頻信號頻率的估計區間為[ f＾- Δf/2,f＾+ Δf/2]，Δf并不是一個定值，它受調頻率k、采樣頻率fs和LFM 信號脈寬Td聯合作用。增大采樣時間Td，采樣頻率fs可使變換后單頻信號變化范圍變小，而增大調頻率k則使單頻信號變化范圍增加。

2 LFM目標回波信號的變頻Duffing振子檢測方法

LFM 經分數階傅里葉變換解調頻，解調后的單頻信號頻率受采樣時間Td、采樣頻率fs和采樣點數量N 等因素影響，通常為未知量。針對上述問題，本文改進了常規Duffing 振子檢測方法，通過改變系統內置策動力的頻率，對被測信號中周期分量進行掃描，若二者頻率一致，且弱周期信號幅值與系統內置策動力幅值之和大于系統臨界值，Duffing振子檢測系統發生共振現象，系統相圖由混沌態變為大尺度周期態，從而實現弱周期信號的檢測。

2.1 變頻Duffing振子檢測模型

變頻Duffing振子檢測數學模型為

式中，ω0為周期策動力角頻率初值，α=0，1，2，3，…，N，Δω 為頻率分辨率，搜索頻率步長為αΔω，s(t)為外加驅動力。

通常s(t)由若干單頻信號分量及各類干擾nJ(t)和噪聲n( t )構成，其表達式為

當ω0+ αΔω = ωi且r + Ai＞rd時（rd為混沌臨界值），系統對驅動的響應達到最佳周期共振條件，系統發生相態躍變，實現信號檢測及頻率捕捉。

2.2 Duffing系統相態的PMCF判別方法

在利用Duffing 振子系統檢測弱周期信號時，Duffing 系統的相態判別是檢測關鍵問題之一。本文從實際工程需求出發，提出了一種基于Poincare 映射特征函數（Poincare mapping characteristic function，PMCF）的系統相態定量判別方法。

設Duffing振子系統模型為

引入θ（θ = ωt）變量，系統變為三維自治系統，將式（13）降維后相空間擴展為R2× S1：

設系統觀測量為Z(t) =[x(t) y(t) θ(t)]T，利用構造龐加萊截面的方法對這一觀測量重構，獲得一個時間延遲的3×(m + 1)維矢量矩陣：

式中，T 為系統內置策動力周期。當選取截面∑={( x,y,θ)|θ = φ} 時，其中0 ≤φ ＜2π，記下z(t)軌道與該截面所有交點d(t) ={(x(tn),y(tn)|θ = φ }，n = 0,1,2,3…，tn為z(t)與截面{θ = φ}第n 次相交的時間。系統觀測數據經過延遲重構和Poincare 截面切割后獲得的Poincare 映射，將原動力系統所決定的隨時間連續運動轉變為在Poincare截面上離散的映射。圖1為大尺度周期態及混沌態時，Duffing系統觀測量經Poincare截面（φ = π/2）切割后系統變量xn、yn的Poincare映射時序圖。從圖1可知，系統處于大尺度周期態和混沌態時，Poincare 映射的非平穩性及振蕩程度不同。大尺度周期態的Poincare 映射表現為不動點或在噪聲影響下以不動點為中心的小鄰域內小幅度振蕩特征，而混沌態的Poincare映射表現為隨機大幅波動的布朗運動特征。

圖1 φ = π/2時系統Poincare映射時序圖Fig.1 Poincare section and mapping with φ = π/2

根據上述分析，構建一個可量化描述系統相態的度量參數Poincare 映射特征函數（Poincare mapping characteristic function，PMCF）：

式中，di為系統觀測量的Poincare映射序列，N為序列長度，α為特征指數。

2.3 算法流程

基于上述分析，提出了基于FRFT 的變頻Duffing 振子弱LFM 信號檢測方法，檢測流程如圖2 所示。

具體檢測步驟如下：

（1）根據發射信號先驗信息，對接收信號進行最佳分數階傅里葉變換。

（2）對變換后的FRFT 譜進行傅里葉逆變換（或再次進行旋轉角度為α = -π/2 的分數階傅里葉變換），并進行解調頻。

（3）建立Duffing振子檢測系統，系統參數阻尼比k = 0.5，給定系統混沌臨界幅值rd值及頻率掃描初值f = f0。

（4）將解調頻后信號送入Duffing 振子檢測系統，由單頻信號頻率估計范圍設置步長Δf及掃描區間[ f0,fend]。運用龍格-庫塔迭代法求解微分方程組，求取系統解的Poincare 特征函數值ηi，將其與給定的閾值ηd比較。若ηi＜ηd，說明接收信號中與策動力同頻弱周期信號，即該段數據中包含弱LFM 回波信號；若ηi≥ηd，改變內置策動力頻率fi+1= fi+ Δf。

圖2 基于FRFT變換的變頻Duffing振子檢測流程Fig.2 Detection process of variable frequency scanning Duffing oscillator based on fractional Fourier transform

（5）重復步驟（4）的過程，直至頻率終值掃描結束，畫出頻率與系統Poincare映射特征函數關系曲線，根據掃描結果進行最終判決。

2.4 數值仿真分析

LFM 信號由數值仿真構造，幅值A= 0.08，歸一化頻率為f = 0.05～0.1。混響來自實測湖試數據，信混比SRR = -18 dB，數據長度N = 2 048。

采用匹配濾波方法檢測結果，如圖3 所示，由于信噪比較低，從圖中無法檢測出是否含有LFM 信號。采用本文提出方法的檢測結果，如圖4 所示。圖4（a）和（b）為混響背景下LFM 信號的時域波形及頻譜圖，圖4（c）和（d）為經分數階傅里葉變換解調頻信號時域波形及頻譜圖，從頻譜圖中可看到有一單頻分量信號。利用變頻掃描Duffing 振子法檢測該單頻信號，從圖4（e）可以看出，在橫軸頻率為3.4 Hz處，系統的Poincare 映射函數值低于給定閾值，說明解調頻信號中含有該頻率的單頻信號，且聲散射回波數量為1。系統相圖4（f）為Duffing 振子系統共振時的系統相圖，也同時驗證了被測信號中存在弱LFM目標回波信號。

圖3 匹配濾波Fig.3 Detection result of matched filter

圖4 混響背景下LFM信號檢測結果Fig.4 Detection results of LFM signal under reverberation background

3 實驗數據處理

3.1 湖試沉底目標檢測

數據來自松花湖某區域沉底目標探測實驗，湖底坡度大概為8.8°。沉底實驗裝置是由測量船、收發合置換能器、小舢板及水下目標構成。測量船系纜固定在岸邊，船尾安裝吊放支架用于起降收發換能器陣。水下試驗目標用小舢板拖至遠處自舷側吊放水中，目標為球冠狀圓柱殼體，殼內注入部分水。聲吶發射頻率、脈沖寬度和脈沖重復周期均為可調的LFM 信號，歸一化頻率為0.05～0.1，脈沖寬度Td= 2 ms。某基元接收到的信號如圖5（a）所示，對該信號作匹配濾波處理結果見圖5（b）。

圖5 接收信號波形及匹配濾波Fig.5 Received signal waveform and matched filter

由于水下目標的布設離聲吶接收陣列較遠，接收到的初始時間序列主要為湖底混響，混響強度隨時間逐漸減弱，環境噪聲成為主要干擾。由于回波強度明顯高于噪聲強度，從圖5（a）中可以明顯看出有回波信號存在。為驗證本文方法的有效性，截取目標回波數據，幅值減少五倍后將其左移至混響較強區域。處理后信號時域波形見圖6（a）所示，匹配濾波結果見圖6（b）所示，由于存在混響強干擾不能完全確定有目標回波存在。

采用本文方法對數據進行處理，首先在最佳分數階傅里葉域進行解調頻，解調后信號的時域波形見圖7（a），頻譜見圖7（b）。由圖7（b）可知，該頻譜具有窄帶特性，觀察不到有單頻線譜存在。其次，將解調頻信號送入變頻掃描的Duffing振子檢測系統，并根據圖7（b）確定頻率掃描范圍f∈[1.5 8]Hz。對每次變頻掃描的Duffing 系統解求取PMCF 值。圖7（c）為經變頻Duffing 振子檢測系統掃描后的結果圖，橫軸為掃描頻率，縱軸為Duffing振子系統輸出的Poincare特征函數值，低于給定PMCF閾值說明待測信號中含有弱周期信號。最后，結合該頻率下的Duffing 振子系統相圖7（d）進行綜合判決，可判別出該測試樣本中含有目標LFM回波信號，且聲散射回波數量為1個。

圖6 接收信號處理后時域波形及匹配濾波Fig.6 Processing schematic diagram of the received signal

圖7 本文方法檢測結果Fig.7 Detection results using the method in this paper

3.2 海試掩埋目標檢測

實驗在地勢平坦的泥沙海底中進行，掩埋目標通過懸浮目標牽引來標定埋放位置，配備收發合置聲吶的測量船只通過“往返走航”的方式，在目標上方以不同掠射角發射LFM 信號對掩埋目標進行探測，見圖8 所示。發射LFM 脈沖信號歸一化頻率值f0= 0.03～0.06，脈沖寬度T = 2 ms。圖9 為掠射角90°時兩次往返走航時接收回波信號能量隨時間-距離的時域匹配圖。從圖9中可以清晰地觀測到懸浮目標回波亮點（圖中方框標出位置）及海底界面的深度；而對于掩埋目標，由于聲波透射到沉積層，聲能被吸收衰減嚴重，且受反射回波干擾，從時域匹配圖中無法觀察到掩埋目標的回波成分。

圖8 海試掩埋試驗示意圖Fig.8 Schematic diagram of burying detection in sea trial

圖9 掠射角90°走航文件時域匹配圖Fig.9 Time domain match under different azimuth

圖10（a）為回波信號的時域波形，圖中虛線框1內的強回波信號為懸浮目標的幾何散射回波。由于懸浮目標與接收陣的距離較海底及掩埋目標近，因此其回波信號到達接收裝置的時間較短。虛線框2內的回波信號為強海底散射及掩埋的目標回波。將回波信號與發射信號作相關處理，圖10（b）中的一較強相關峰值（圖中圓圈標注）為懸浮目標回波與發射信號的相關峰；后續分析中由于較強海底混響干擾，從后面相關處理結果無法確定是否具有掩埋目標。

圖10 掠射角90°回波信號Fig.10 Analysis of the received signal

為簡化分析過程，略去懸浮目標回波信息，截取圖10（a）虛線框2 中的回波信號。采用本文提出方法對回波數據進行處理，分析結果見圖11所示。

圖11 本文方法檢測結果Fig.11 Detection results using the method in this paper

根據發射信號先驗信息，確定分數階傅里葉變換的最佳階數，對回波信號進行分數階傅里葉變換，如圖11（a）所示。在最佳分數階域進行解調頻處理，解調后信號的時域波形及頻譜圖如圖11（b）～（c）所示。將解調頻后的信號送入變頻掃描Duffing 振子檢測系統，系統檢測的掃頻結果見圖11（d）。從圖11（d）中可觀察到有兩個單頻分量，可知掩埋目標的亮點聲散射回波數量為2 個，聲納接收的回波信號中包含有掩埋目標回波信號。

4 結 語

本文針對低信混比下寬帶信號—LFM 目標回波信號的檢測問題，結合分數階傅里葉變換理論，提出了基于分數階傅里葉變換的變頻Duffing振子檢測方法。利用LFM 信號在最佳FRFT的時頻能量聚集特性，LFM 信號的譜特征呈現δ 沖擊函數特征，通過傅里葉逆變換進行解調頻處理，使LMF 信號滿足Duffing 振子系統檢測前提條件。根據亮點模型理論，理論分析了目標回波存在多亮點聲散射成分時解調頻后的信號模型。研究發現，解調頻后信號的頻率受亮點時延、采樣頻率及數據時寬等因素影響而發生偏移現象。在上述研究的基礎上，本文改進了常規Duffing 振子檢測模型，提出變頻Duffing振子檢測方法，與PMCF相態定量判別方法相結合，仿真實現了信混比低達-18 dB下的LFM 目標回波信號檢測。通過湖試及海試實測數據分析，也驗證了本方法的可行性及有效性。