軸壓柱形殼非線性屈曲試驗與理論研究

王黎輝，李其凡，張 建，唐文獻，朱永梅

（1.江蘇科技大學機械工程學院，江蘇鎮江212003；2.江蘇省船海機械先進制造及工藝重點實驗室，江蘇鎮江212003）

0 引 言

圓柱形殼因其良好的承載力和易于加工等特性在海工平臺應用廣泛，目前平臺樁腿多采用桁架式和柱殼式[1]。其中柱形殼樁腿工作時主要受到軸向載荷，非線性屈曲是其主要失效模式，且受壁厚、材料屬性及幾何缺陷等影響很大。

對于柱殼的軸壓臨界載荷，國內外學者圍繞幾何缺陷、材料屬性等方面已經開展了大量的研究。Bardi 等[2-3]對軸壓下柱形鋼管的塑性屈曲性能進行了試驗和理論分析；Lancaster 等[4]對端部約束的柱形殼在軸壓時出現的矛盾現象進行了解釋；Takla[5]利用連續理論發現柱形殼在外部壓力載荷作用下加入拉伸或壓縮軸向力，能夠延遲分段失效分岔模式的發生；Papadopoulos等[6]證明了隨機變化的軸向載荷對缺陷敏感結構(如軸向壓縮薄壁圓筒)的屈曲行為具有重要影響；B?achut[7]對軸向缺陷的柱殼進行了研究，發現端部的長度缺陷對軸壓屈曲載荷值影響大于其他制造缺陷，但是其研究柱殼一端無缺陷，而另一端以正弦曲線模擬缺陷，未對兩端都出現不規則缺陷進行研究；Castro 等[8]研究了五種缺陷（單攝動載荷缺陷、模態缺陷、幾何凹坑缺陷、軸對稱缺陷及測量幾何缺陷）對軸壓復合材料柱形殼的影響；Ifayefunmi[9]對軸壓金屬柱形殼進行了試驗，結合理論分析與數值分析研究了其屈曲行為，發現邊界條件、試件材料屬性以及試件加工過程都會對結果產生影響；Fan[10]研究了探測柱形殼以預測臨界載荷的方法。然而目前關于固定厚徑比、不同高度且端部自由的柱形殼軸壓屈曲研究鮮見報道，這方面的理論和試驗數據嚴重不足。

因此，本文從試驗研究、理論分析和數值計算三方面研究高徑比小于1，厚度半徑比為0.03的柱殼在端部自由時受到軸向載荷時的屈曲行為。選用具有不同長度且在長度上存在缺陷的試件以研究軸向長度缺陷對屈曲特性和臨界載荷的影響。同時利用數值計算結合試驗研究，確定適用于此類柱形殼臨界載荷計算的公式。研究結果對端部無約束且承受軸向力的柱形殼的設計具有理論意義和應用參考價值。

1 材料與方法

1.1 幾何厚度與形狀

304不銹鋼為典型而常見的低碳鋼，選取其為研究對象的材料具有代表性。柱殼的主要幾何參數為外徑D，厚度t以及高度L，令軸向為z軸方向，徑向面為x-y面，如圖1所示。

圖1 不銹鋼柱殼結構及試件樣品Fig.1 Structure and samples of stainless steel cylindrical shell

研究的圓柱殼外徑D=40 mm，名義厚度t=0.6 mm，高度分別為40 mm、30 mm 和20 mm，可以看出名義高徑比不大于1。試驗根據高度不同共分為3組，為保證數據可重復性，每組2 個試件，共6 個試件。第一組高度40 mm 的試件命名為L40_1、L40_2，同理，第二組和第三組命名為L30_1、L30_2、L20_1和L20_2。使用尖頭千分尺（型號：青制00000003號，量程：25 mm，分度值：0.01 mm）對6 個模型測量壁厚，沿模型周向均分5 組，每組沿軸向測量5 個點位，共計25個點位厚度，測量結果列于表1。

表1 模型壁厚測量結果（單位：mm）Tab.1 Measured wall thicknesses of specimens

沿模型周向均分8 個點位，使用游標卡尺測量每個試件的外徑和高度，測量結果如表2 所示，ΔL為長度最大值與最小值的差值。

表2 模型外徑和長度測量結果（單位：mm）Tab.2 Measured outer diameters and lengths of specimens

1.2 材料參數及加工方法

材料為304不銹鋼，是奧氏體不銹鋼的一種。試驗試件為使用砂輪切割機切割的圓柱鋼管，后用銼刀去除毛刺，如圖1 所示。在加工時利用直角尺保證軸線垂直，從而保證試驗時試件沿軸心受壓。因為采用砂輪切割機手工切割，所以在加工后端部存在隨機的長度缺陷，測量長度與名義長度的差值l如圖2所示。

304 不銹鋼無明顯屈服階段，無明顯屈服極限，因此以產生0.2%殘余變形的應力值作為其屈服極限，測試3 次。0.2%殘余變形應力值分別為351.15 MPa、363.00 MPa 和365.02 MPa，取均值得到屈服強度σyp=359.7 MPa。根據廠家提供的數據，該304 不銹鋼的楊氏模量E=195 GPa，泊松比ν=0.247。

1.3 軸壓試驗

試驗采用萬能壓縮試驗機（型號：CMT-5305；試驗力：300 kN；試驗力測量范圍：0.2%～100% FS；試驗機分辨力：1/300 000 FS；有效壓縮空間：800 mm；位移分辨力：0.015 μm；大變形分辨力：0.008 mm），試件置于平臺中心，無需任何約束固定。將上端壓頭緩慢下調，稍與試件上端部接觸后，開始正式壓縮試驗。軸向壓縮速率為1 mm/min，壓縮變形量為10 mm，利用高速攝影機記錄柱形殼變形情況，圖3 為L40_2 的變形狀況。

圖2 試件測量長度與名義長度差值Fig.2 Difference between the measured lengths and the nominal lengths

圖3 試驗過程產生鼓曲Fig.3 Bulge produced in the experiment

2 結果分析與討論

2.1 測量結果分析

使用意大利Open Technologies 公司生產的Cronos 光學掃描儀（測量精度≤0.02 mm）對每個試件進行側面輪廓掃描，獲取真實側面輪廓模型。使用三維檢測軟件GOM Inspect 對掃描結果進行誤差檢測。軟件自動將掃描點云數據轉化為三維網格數據，通過比較掃描數據和具有名義尺寸的CAD 數據以及分析假色圖進行柱形殼側面誤差檢測。誤差檢測結果如圖4所示。

圖4 實際殼體與理想模型尺寸誤差結果Fig.4 Deviation between actual models and nominal models

如圖4 所示，右側數值帶數據表示誤差大小范圍，曲線表示誤差頻數分布。由圖可見，六個試件的誤差基本在-0.2～0.2 mm 之間，絕對值為壁厚的1/3。通過表1 可以看出，模型的平均壁厚在0.582～0.590 mm 之間，略小于設計名義壁厚0.6 mm；測量厚度和名義厚度存在的最大誤差為0.088 mm，且僅有一點，其余點位最小誤差僅為0.03 mm，并且標準偏差值較小。因此可以認為，試驗模型側面形狀與壁厚與設計模型基本一致。主要變化在于高度和端部的長度缺陷，所以忽略側邊形狀誤差，主要研究端部長度缺陷對屈曲行為的影響。

2.2 試驗結果分析

計算機在軸壓試驗進行時采集位移載荷的數據，因僅研究第一次屈曲情況和臨界載荷，故選取從軸壓開始至屈曲發生，位移載荷曲線下降一段時間后的數據，即位移0～3 mm 時的變形狀況，繪制圖5的位移-載荷圖。試驗測得各試件的臨界載荷值列于表3。

圖5 試驗位移載荷圖Fig.5 Plot of load against compression extension for cylinders in the experiment

表3 試驗試件臨界載荷Tab.3 Critical loads of experimental specimens

如圖5 所示，軸向壓縮位移-載荷曲線經歷了上升階段（原點至最高點）、屈曲臨界點（最高點）和屈曲失穩階段（最高點至最后）。因為304 不銹鋼韌性較高，所以未出現破壞階段。在屈曲失穩臨界點之前，軸向壓力隨壓縮量的增大而較快上升，到達臨界點后緩慢下降，且逐漸趨于平緩。由圖可見曲線在壓縮位移約0.2 mm 時會發生變化，這是由端面未完全約束且存在缺陷導致端面受力不均引起的，同時表明此時無需較大的軸向壓力（圖中不大于5 000 N）就會造成較明顯的位移，可以認為此時長度缺陷削弱了柱形殼的承載力。繼續進行壓縮，可發現屈曲發生時柱殼一端會形成環狀的鼓曲，并且同時有褶皺形成連接至鼓曲，有時褶皺會打斷環狀鼓曲的形成（多見于高度為20 mm），試驗結果如圖6 所示。此外，可見L20 組的試件，柱殼兩端發生明顯的形變，而L40 和L30 組只在一端發生明顯的形變。

圖6 軸壓柱殼試驗結果Fig.6 Axially-compressed cylindrical shells

2.3 試驗與理論對比分析

柱形殼在軸壓下的失效或屈曲特性由殼體的徑厚比決定。通常情況下，薄殼易于發生彈性屈曲，所以設計準則基于屈曲失效；而厚殼失效在彈塑性變形時，所以設計準則基于斷裂。對于圓柱殼的軸向壓縮，如果壓力均衡對稱，則在圓周附近會出現一圈鼓曲。

經典柱形殼軸壓屈曲分析是以忽略彎曲應力的Donnell薄殼理論為基礎，此時可以得到柱殼的軸向壓縮彈性臨界屈曲載荷為

對于相對厚的柱形殼，因其失效在塑性變形區間，故參考臨界屈曲載荷Fr采用引起柱殼屈服的載荷[11]：

式中，Fc為柱形殼經典彈性臨界屈曲載荷，Fr為引起柱形殼屈服的參考屈曲載荷，E 為材料楊氏模量，σyp為材料屈服強度，ν為材料泊松比，D為柱殼直徑，t為柱殼厚度。

本文試件的t/R=0.03，根據Zhang 等[12]對球形耐壓殼的研究，雖然t/R=0.05是厚殼、薄殼的分界線，但是當t/R＜0.015時，薄殼強度理論方可適用于強度的初步評估。若將模型視為薄殼，則根據式（1）可得，Fc=265 611.9 N；若視為相對厚的圓柱殼，則根據式（2）可得，Fr=27 122.25 N。根據結果，可知若視為厚殼或薄殼，其臨界載荷值相去甚遠。

利用有限元軟件Abaqus 進行無缺陷模型的線性屈曲分析，奧氏體不銹鋼各向異性不明顯，因此仿真時不考慮材料的各向異性。材料性能參數為：屈服強度σyp=359.7 MPa，楊氏模量E=195 GPa，泊松比ν=0.247。殼體底端固定，頂端沿邊界施加向下的殼邊載荷（shell edge load），初始載荷值取100，得到柱殼模型的失穩模式。殼單元類型為S4R。L40、L30 和L20 的殼單元數量分別為20 080、15 060和10 040。求解參數有：請求特征值數量為6，每次迭代向量數量為12，迭代步數為300。約束定義為：底端限制z方向自由度，即Uz= 0，頂端三個方向自由度均不限制，如圖7所示。利用線性屈曲分析得到一階失穩模式如圖8 所示。由圖可知柱殼在軸向壓縮時，會在端部形成鼓曲，發生失穩，且會有在隨機位置出現褶皺的趨勢。線性屈曲分析無法考慮缺陷和非線性特性，僅能分析理想線彈性殼體的屈曲特性，所以要得到準確結果，必須經過非線性屈曲分析。

圖7 數值分析邊界條件Fig.7 Boundary conditions of numerical analysis

圖8 一階線性屈曲失穩模式及試驗屈曲行為Fig.8 First eigenmodes of buckling and the experimental behaviors of buckling

利用Abaqus的Riks弧長法，對不同高度的無缺陷圓柱殼進行非線性屈曲分析，其基本參數有：初始弧長為0.01 mm，最大弧長為0.1 mm，最小弧長為1×10-50mm，總弧長為1 mm 的最大迭代步數為400。柱形殼體屬于薄殼結構，殼單元類型選擇S4。采用與線性屈曲分析相同的參數，得到各殼體數值分析的臨界載荷。弧長法可以得到柱形殼模型屈曲過程的平衡路徑，而平衡路徑曲線中的極值點所對應的載荷即臨界屈曲載荷。不同高度柱形殼所得的非線性屈曲臨界載荷值、各組試驗的臨界載荷均值和理論分析值列于表4，臨界載荷數值解與試驗值之比列入表3。

3組分析所得的位移-載荷圖趨勢一致，如圖9所示，以L40 為例，并與試件L40_1 的試驗曲線比較，可見在屈曲過程中，實際載荷首先單調增加，在到達峰值點后較平緩下降，進入屈曲失穩階段。L40 的非線性屈曲模式見圖9，為柱形殼體兩端端部外側出現環形鼓曲，而試件L40_1在試驗時一端出現了鼓曲。由于沒有出現破壞階段，所以平衡路徑末端的后屈曲模式保持在鼓曲的變形。

比較圖9的數值分析曲線和試驗所得的曲線，可以發現二者上升時的斜率存在偏差，從而導致臨界載荷對應的位移出現了較大的偏差，圖9 中Abaqus 分析所得上升曲線斜率ka=72 035，試驗曲線從原點到最高點的直線斜率ke=36 441，試驗的上升曲線中間部分斜率（位移0.15 至0.55 階段）ke=57 382，其中ke/ka=79.66%。Ifayefunmi[9]將其歸因于數值分析時邊界條件的設置。本文中，試件在端部存在的長度缺陷進一步加大了二者斜率及其位移的偏差。

至此，由試驗和非線性屈曲分析可以得出，柱形殼屈服的參考載荷，亦即式（2）得出的理論值Fr更符合試驗值和數值分析值。而柱形殼經典彈性臨界屈曲載荷Fc適用于厚徑比t/R 更小的柱形殼，此時柱形殼由塑性屈曲向彈塑性和彈性屈曲過渡。

根據表3和表4，只對比臨界載荷值，對無初始缺陷柱形殼進行非線性分析所得的臨界載荷數值，與對有端部長度缺陷的柱形殼進行軸壓試驗所得的臨界載荷很相近。這說明對于塑性屈曲來講，柱形殼在軸壓時對端部的長度缺陷不敏感，即該缺陷對臨界載荷值的影響很小，試驗中缺陷對臨界載荷的影響最高只降低了2.7%。而B?achut[7]得出柱形殼端部缺陷對載荷的影響更大的結論是建立在柱形殼165≤R/t≤1 000，軸壓時發生彈性屈曲的基礎上。

然而，如表3所示，試驗所得的具有最低臨界載荷值的三個試件分別為L30_1、L20_1和L20_2，同時這三個試件的△L 也最大，即具有最大的長度缺陷?？梢钥闯龆瞬咳毕輰εR界載荷確實存在影響，且缺陷越大，臨界載荷越小。根據圖5 可以看出，缺陷對臨界載荷的影響最初體現在軸壓初期，其軸向載荷曲線發生了變化。但是總體來看，對于發生塑性屈曲的柱形殼，在正常制造中產生的隨機且較小的端部長度缺陷對軸壓臨界載荷影響很小。

根據表4，可以看出高徑比不大于1時，柱形殼的臨界屈曲載荷與柱形殼長度無關，此事實通過理論公式也可明顯看出。通過數值分析也發現，高度對臨界載荷幾乎沒有影響。但是高度會改變屈曲形狀，高度越小時，柱形殼在軸壓試驗時越有可能在兩端產生鼓曲形變。

表4 數值分析、試驗及理論所得臨界屈曲載荷Tab.4 Critical buckling loads of numerical,experimental and theoretical results

圖9 計算和測量得到的位移-載荷圖（L40模型）Fig.9 Calculated and measured load-compresion extension relationship of L40 specimens

3 結 論

（1）通過比較柱形殼經典彈性臨界屈曲載荷、柱形殼屈服的參考屈曲載荷、數值分析臨界載荷和試驗得到的臨界載荷，可以知道厚徑比在低于0.05（厚殼、薄殼分界線）時，柱形殼仍有可能失效在塑性變形區間，產生塑性屈曲。

（2）通過探究不同高度，高徑比不大于1的圓柱殼在兩端未約束的情況下受軸向壓力壓縮的屈曲行為，高度對臨界載荷值的影響較小。

（3）端部長度缺陷在軸壓過程中會導致不規則的形變，且會削弱柱殼初期的軸向承載力，從而體現在降低臨界載荷值上。但是通過對比數值分析臨界載荷和試驗得到的臨界載荷，發現端部由于正常制造而產生隨機且較小的長度缺陷時（本文長度最大值、最小值的差值與對應柱形殼長度均值的比值最大為0.026），對于可視為相對較厚，且發生塑性屈曲的柱形殼，該缺陷對臨界載荷值的影響仍可認為很小。

（4）本文僅研究了端部存在缺陷、高徑比較小且為薄壁柱形殼等特殊情況。考慮其他條件，比如其他初始缺陷、更大的高徑比等情況的軸向壓縮載荷的研究仍需進一步展開。