從『方』到『圓』 以『點』帶『面』
——《怎樣圍面積大》教學實錄與評析

執教 朱曙光 評析 鮑善軍

【教學內容】

《多邊形的面積》拓展課。

【教學過程】

一、問題導入，引發猜想

師：小嘉遇到了一個難題，想請同學們幫忙一起解決。用24米長的柵欄，圍一個長方形的鵝圈，怎么圍才能使鵝圈的面積最大呢？（長、寬取整米數）

生1：應該讓長方形的長盡可能長，鵝圈的面積才會最大。

生2：長方形的長、寬越接近，鵝圈的面積越大。

生3：圍成正方形的時候面積最大。

師：學習數學需要大膽假設，更需要嚴謹求證，讓我們帶著自己的猜想一起去驗證吧！

【評析：以問題導入，引發學生對“怎樣圍使鵝圈的面積最大”進行猜想，大膽假設，嚴謹求證，激發學生的探索欲望，為課堂后續學習做好鋪墊。】

二、操作驗證，發現規律

活動一：驗證猜想

1.活動設計。

畫一畫：24米可以圍成哪些不同的長方形？

算一算：計算這些長方形的面積。想一想：仔細觀察，你有什么發現？

2.展示匯報。

展示學生作品，并匯總數據。

師：通過畫圖、計算，你們發現了什么？

生1：圍成邊長是6m的正方形時，鵝圈的面積最大。

生2：長、寬越接近，長方形的面積越大。

活動二：類比遷移

1.活動建議。

師：如果改變柵欄的長度，還是圍成正方形面積最大嗎？讓我們再次驗證。

圍一圍：選不同的數據作為柵欄的長度，可以圍成哪些不同的長方形？

算一算：計算這些長方形的面積。想一想：結論與之前還一樣嗎？

2.匯報交流。

展示學生作品：

師：看了這幾位同學的作品，你有什么想說的？

生1：圍成正方形時面積最大。

生2：長、寬越接近，長方形的面積越大。

生3：周長相等情況下，長、寬越接近，長方形的面積越大。

【評析：通過計算驗證、樣本數據分析、自主案例枚舉，合情推理層層展開、步步深入，發現并驗證周長相等情況下長方形面積的變化規律。學生初步感知長方形的面積變化后，考慮到僅從一組數據還無法完全確定其結論的真實性；第二次自主枚舉驗證則讓學生進一步明確結論的真實性，最終得到“周長相等情況下，長、寬越接近，長方形的面積越大”的結論。在“猜想——驗證——發現——二次驗證——明確”的過程中，體會到嚴謹、科學的理性精神。】

三、數形結合，探索原理

師：通過剛才的操作驗證，我們發現了在周長不變情況下長方形面積的變化規律，這到底是為什么呢？讓我們接著往下看。

1.正向詮釋。

師：首先，回顧我們第一次畫的長方形，長是11，寬是1。接著，把長方形的長縮短到10，寬延長到2,面積發生了怎樣的變化呢？

生1：面積增加了9。

生2：面積減少了1，增加了10，總的來說增加了9。

師：如果把長方形的長繼續縮短為9，寬延長為3，面積又會怎么變化呢？

生：增加9，減少2。

師：按照這樣的規律，繼續改變長方形的長和寬，面積就會怎樣變化呢？（課件展示圖形變化）

生：（齊）加8，減3；加7，減4；加6，減5……

師：長方形的面積有增有減，怎么會變大了呢？

生：增加的面積比減少的面積多。

2.反向印證。

師：照這樣繼續下去，它的面積又會怎樣呢？

生：增加5，減少6。

師：再繼續變呢？（再次課件展示圖形變化）

生：（齊）加4，減7；加3，減8；加2減9；加1，減10。

師：同樣是有增有減，這次面積怎么會變小呢？

生：增加的面積比減少的面積少。

師：你們發現了長方形面積變化的秘密，真了不起！讓我們一起近距離再來感受一下這種變化吧！（課件動態演示）

【評析：通過正向詮釋和反向印證，不僅讓學生理解了長方形面積變化的一般屬性，也讓學生知其然，更知其所以然。通過數形結合，形象地詮釋了面積變化的原理，培養了學生的直觀意識與能力。】

四、關聯比較，抽象拓展

師：這時候，小嘉的爺爺走過來，提出了一個新的問題，你知道他提了什么問題嗎？

生：還能圍成比正方形面積更大的鵝圈嗎？

師：你跟小嘉的爺爺想到一起去啦！你們覺得還能圍成其他的圖形嗎？

生1：五邊形。

生2：六邊形。

活動一：比較正多邊形的面積大小

1.正五邊形和正方形。

師：老師這里有周長相等的正方形和正五邊形，你能比較它們的面積大小嗎？

比較：用所給的材料比較正五邊形和正方形的面積大小。

交流：與小組成員說一說你是如何進行比較的。

梳理：根據比較的情況，你有什么發現？

生1：可以把正方形露出的部分剪下來，放到與正五邊形露出的部分重疊在一起比較。

生2：在周長相等的情況下，正五邊形的面積比正方形大。

2.正六邊形和正五邊形。

師：你能用剛才的方法比較正五邊形和正六邊形的面積嗎？

生1：可以把正五邊形和正六邊形重疊在一起，比較它們露出來的部分，發現正六邊形露出的部分比正五邊形露出的部分大。

生2：在周長相等的情況下，正六邊形的面積比正五邊形大。

活動二：發現正多邊形的面積變化

師：周長不變，你還能圍成面積更大的圖形嗎？

生1：正七邊形。

生2：正八邊形。

師：當正多邊形的邊數越來越多，圖形會越來越像一個……（圓）。

師：所以誰的面積是最大的？

生：圓。

師：你們還能想到其他方法來比較它們的面積大小嗎？

生1：可以利用等積變形轉化成其他圖形，再計算它們的面積。

生2：可以把它們都轉化成三角形來比較它們的面積。

師：怎么轉化？

生：把正多邊形從中心分割成幾個三角形，然后把這些三角形的頂點平移到一起合成一個大三角形。

課件演示：

師：現在可以比較它們的面積了嗎？

生：我發現三角形的底都是相等的，它們是正多邊形的周長，只要比較它們的高就行了，顯而易見，圓的面積是最大的。

師：到六年級，我們會學習圓的面積計算。通過計算，我們也可以發現盡管周長相等，但是圓的面積比正方形面積大。

師：通過剛才的比較，你們有什么想說的嗎？

生1：在周長相等的正多邊形中，邊數越多面積越大。

生2：在周長相等的平面圖形中，圓的面積最大。

【評析：探索長方形的面積變化規律后，教師并沒有淺嘗輒止，而是將長方形的面積變化延伸到正多邊形面積變化，促使學生的思維水平從“關聯結構”躍至“抽象拓展”。期間，教師又利用圖形的等積變形，搭建正多邊形面積關系之間的橋梁，不僅揭示了多邊形面積的變化規律，還滲透了極限思想。】

五、回顧總結，梳理關系

師：說一說本節課我們研究了什么？又是怎樣進行研究的？

【總評】

鄭毓信教授認為：“數學核心素養的基本含義就在于：我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，并逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由理性思維逐步走向理性精神。”本節課作為《多邊形的面積》的拓展教學，體現了明暗交織、經歷過程、數形結合的教學主張。第一是明線：從特殊到一般，經歷探索變化全過程；第二是暗線：從方形到圓形，將數形結合進行到底。

1.明線：從特殊到一般，經歷探索變化全過程。

課堂經歷了三個階段的探索，從周長是24米的長方形到其他的長方形，再從長方形延伸到多邊形甚至圓。經歷這樣一個面積變化規律探究的完整過程，促進學生對變化規律的理解。

首先，發現周長是24米的柵欄圍成正方形面積最大，并提出猜想：如果改變柵欄的長度還是圍成正方形面積最大嗎？然后，選擇不同數據來進行驗證，明確剛才的結論，再通過幾何直觀解釋原理。最后，從長方形延伸到其他多邊形，從而發現多邊形的面積變化，溝通多邊形的面積間的關聯。

2.暗線：從方形到圓形，將數形結合進行到底。

采取數形結合的方式，將圖形面積變化的全過程呈現在學生面前，讓學生理解長方形面積的變化原理。之后，方形延伸到圓形的過程中，教師又利用圖形的等積變形，不僅揭示了多邊形面積的變化規律，還滲透了極限思想，讓學生發現并理解：周長相等情況下，平面圖形中圓的面積最大。

圍繞這樣的“一題”，設計科學、合理、有序的教學活動，通過教師的“一課”教學促進學生的深度學習，最終實現做一題、透一點、通一類、會一片的“一題一課”，從而促進學生學會思考，使思考更清晰、更深入、更全面、更合理。