分離變量法和函數(shù)逼近法在偏微分方程的解法分析

楊冬成

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術學院，江蘇 鹽城 224001）

目前，在許多領域中數(shù)學模型都可以用偏微分方程來描述。同時許多重要物理和力學的基本方程本身就是偏微分方程，例如熱傳導方程[1，2]。隨著物理科學研究現(xiàn)象在廣度和深度上的擴展，偏微分方程的應用范圍更加廣泛[3?5]。從數(shù)學自身的角度來看，偏微分方程的求解促使數(shù)學在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各個方面進行發(fā)展[6]。分數(shù)階微積分是近十幾年的研究熱點，例如一些由分數(shù)階微分方程表示的問題比起用經(jīng)典微分方程表示更深刻、更貼合實際[7]。分數(shù)階微積分隱隱有取代經(jīng)典微積分之勢。而本研究主要使用不同的方法對一個分數(shù)階偏微分方程予以求解，并對所用方法予以比較。

1 熱傳導方程求解方法原理

1.1 分離變量法原理

分離變量法是將一個偏微分方程分解為兩個或多個常微分方程，其中該方程只含一個變量。將方程中含有各個變量的項分離開來，并將原方程拆分成兩個或多個更簡單的只含有一個自變量的常微分方程。再運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程。邊值問題變量x的取值范圍總可以規(guī)范化為[0,1]。分離變量法只能對齊次邊值條件直接求解，非齊次邊值條件需要通過變換轉化為齊次邊值條件（可參考文獻[1]）。此處以方程(1)(fi(t)=0,i=1,2,g=0)為例說明該方法。

令u(x,t)=X(x)T(t)，即假設方程(1)的未知函數(shù)具有變量分離的特點。代入方程(1)中得到

可以注意到左邊是t的函數(shù)，右邊是x的函數(shù)（a是常數(shù)）。因此，僅當兩邊都為常數(shù)才能相等。故可以設該常數(shù)為λ，于是有

但是，把零邊值條件代入，發(fā)現(xiàn)必須要求λ＞0并且滿足：λ=n2π2,n=0,±1,…。

記λn=n2π2，對于此λn代入(3)，解出T(t)=Ane?λna2t,An是積分常數(shù)。這樣

而線性方程具有可加性，因此，可以得到疊加之后的解：

再把初值條件作傅里葉級數(shù)展開，求出系數(shù)An，就最終得到了方程的解。

1.2 積分變換法原理

積分變換是把某一類的函數(shù)f(ξ)經(jīng)過積分F(s)=∫K(ξ,s)f(ξ)dξ變成另一類的函數(shù)F(s)的運算。而本研究主要使用積分變化法中的傅立葉變換（Fourier變換）和拉普拉斯變換（Laplace變換）。

1）Fourier變換的性質：

線性性質，設F1(ω)=F[f1(t)]，F(xiàn)2(ω)=F[f2(t)]，其中α和β是常數(shù)，則F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)。

位移性質F[f(t±t0)]=e±iωt0F[f(t)]。

微分性質，若f(t)在(?∞,+∞)上連續(xù)或者只有有限個可去的間斷點，并且當|t|→ +∞時，f(t)→ 0，則F[f′(t)]=iωF[f(t)]。

2）Laplace變換的性質：

1.3 函數(shù)逼近方法原理

Adomian分解法原理如下，把分數(shù)階微分方程改寫為：

Dαu=Lu+f(t)+N(u),n?1≤α＜n

其中L代表線性算子，N代表非線性算子，f(t)則是與u無關的項。兩邊作用逆算子Jα，成為，其中把初值條件代入，第一項是確定的。令u(t)=，代入改寫后的方程得下式：

把最后一項展開為λ的冪級數(shù)，記為。把上式中λ各冪次的系數(shù)收集起來，可得出，。遞推方式就可以解出各個uk(t)，從而得到方程近似解。

2 生物傳熱微分方程的求解結果

2.1 生物傳熱方程概述

經(jīng)典的Pennes傳熱方程是：

其中ρb,cb,wb分別是組織密度，組織比熱和血液灌注率，而Tb,S分別是動脈血液溫度和環(huán)境作用的熱量，S一般可由代謝產(chǎn)熱及組織內(nèi)熱構成[2]。生物體胳膊、腿部近似為圓柱形，軀干也可看作圓柱，因此，適用圓柱上的偏微分方程?？梢允褂萌缦路匠蹋?/p>

Feller[3]研究一般的擴散問題，把生物組織內(nèi)熱量傳導引起的變化由QT=kDαxu表示時，就得到分數(shù)階熱傳導方程：

顯然，當α=2就成為經(jīng)典Pennes方程。

Povstenko[4]則利用了不同的Fourier定律，這里0≤α＜ 1,導數(shù)是Caputo導數(shù)。得到另一種分數(shù)階熱傳導方程是：

顯然，當α=0也是經(jīng)典Pennes方程。但是要注意，(8)與(9)是完全不一樣的方程，它們的分數(shù)階導數(shù)作用對象不同。本文考慮(9)即時間分數(shù)階導數(shù)方程問題，并假設S=0：

借助文獻[5]的數(shù)據(jù)，假設該方程的初邊值條件為：

其中L是生物體中心與表皮的距離，坐標原點在中心血管位置，Ta是環(huán)境溫度。作變換v=u?Tb，初邊值問題化為：

2.2 傅里葉-拉普拉斯變換求解方程

2.3 分離變量法求解[6]

2.4 函數(shù)逼近方法求解

3 結論

本研究以經(jīng)典的Pennes傳熱方程求解為例。采用了有限Fourier變換、Fourier?Laplace變換和分離變量法等方法求解方程。其次，運用函數(shù)逼近方法中的Adomian分解法求出了方程的近似解。