分離變量法和函數(shù)逼近法在偏微分方程的解法分析

楊冬成

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 鹽城 224001）

目前，在許多領(lǐng)域中數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來(lái)描述。同時(shí)許多重要物理和力學(xué)的基本方程本身就是偏微分方程，例如熱傳導(dǎo)方程[1，2]。隨著物理科學(xué)研究現(xiàn)象在廣度和深度上的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更加廣泛[3?5]。從數(shù)學(xué)自身的角度來(lái)看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開(kāi)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各個(gè)方面進(jìn)行發(fā)展[6]。分?jǐn)?shù)階微積分是近十幾年的研究熱點(diǎn)，例如一些由分?jǐn)?shù)階微分方程表示的問(wèn)題比起用經(jīng)典微分方程表示更深刻、更貼合實(shí)際[7]。分?jǐn)?shù)階微積分隱隱有取代經(jīng)典微積分之勢(shì)。而本研究主要使用不同的方法對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)階偏微分方程予以求解，并對(duì)所用方法予以比較。

1 熱傳導(dǎo)方程求解方法原理

1.1 分離變量法原理

分離變量法是將一個(gè)偏微分方程分解為兩個(gè)或多個(gè)常微分方程，其中該方程只含一個(gè)變量。將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開(kāi)來(lái)，并將原方程拆分成兩個(gè)或多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含有一個(gè)自變量的常微分方程。再運(yùn)用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個(gè)齊次的或易于求解的方程。邊值問(wèn)題變量x的取值范圍總可以規(guī)范化為[0,1]。分離變量法只能對(duì)齊次邊值條件直接求解，非齊次邊值條件需要通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為齊次邊值條件（可參考文獻(xiàn)[1]）。此處以方程(1)(fi(t)=0,i=1,2,g=0)為例說(shuō)明該方法。

令u(x,t)=X(x)T(t)，即假設(shè)方程(1)的未知函數(shù)具有變量分離的特點(diǎn)。代入方程(1)中得到

可以注意到左邊是t的函數(shù)，右邊是x的函數(shù)（a是常數(shù)）。因此，僅當(dāng)兩邊都為常數(shù)才能相等。故可以設(shè)該常數(shù)為λ，于是有

但是，把零邊值條件代入，發(fā)現(xiàn)必須要求λ＞0并且滿足：λ=n2π2,n=0,±1,…。

記λn=n2π2，對(duì)于此λn代入(3)，解出T(t)=Ane?λna2t,An是積分常數(shù)。這樣

而線性方程具有可加性，因此，可以得到疊加之后的解：

再把初值條件作傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，求出系數(shù)An，就最終得到了方程的解。

1.2 積分變換法原理

積分變換是把某一類的函數(shù)f(ξ)經(jīng)過(guò)積分F(s)=∫K(ξ,s)f(ξ)dξ變成另一類的函數(shù)F(s)的運(yùn)算。而本研究主要使用積分變化法中的傅立葉變換（Fourier變換）和拉普拉斯變換（Laplace變換）。

1）Fourier變換的性質(zhì)：

線性性質(zhì)，設(shè)F1(ω)=F[f1(t)]，F(xiàn)2(ω)=F[f2(t)]，其中α和β是常數(shù)，則F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)。

位移性質(zhì)F[f(t±t0)]=e±iωt0F[f(t)]。

微分性質(zhì)，若f(t)在(?∞,+∞)上連續(xù)或者只有有限個(gè)可去的間斷點(diǎn)，并且當(dāng)|t|→ +∞時(shí)，f(t)→ 0，則F[f′(t)]=iωF[f(t)]。

2）Laplace變換的性質(zhì)：

1.3 函數(shù)逼近方法原理

Adomian分解法原理如下，把分?jǐn)?shù)階微分方程改寫為：

Dαu=Lu+f(t)+N(u),n?1≤α＜n

其中L代表線性算子，N代表非線性算子，f(t)則是與u無(wú)關(guān)的項(xiàng)。兩邊作用逆算子Jα，成為，其中把初值條件代入，第一項(xiàng)是確定的。令u(t)=，代入改寫后的方程得下式：

把最后一項(xiàng)展開(kāi)為λ的冪級(jí)數(shù)，記為。把上式中λ各冪次的系數(shù)收集起來(lái)，可得出，。遞推方式就可以解出各個(gè)uk(t)，從而得到方程近似解。

2 生物傳熱微分方程的求解結(jié)果

2.1 生物傳熱方程概述

經(jīng)典的Pennes傳熱方程是：

其中ρb,cb,wb分別是組織密度，組織比熱和血液灌注率，而Tb,S分別是動(dòng)脈血液溫度和環(huán)境作用的熱量，S一般可由代謝產(chǎn)熱及組織內(nèi)熱構(gòu)成[2]。生物體胳膊、腿部近似為圓柱形，軀干也可看作圓柱，因此，適用圓柱上的偏微分方程。可以使用如下方程：

Feller[3]研究一般的擴(kuò)散問(wèn)題，把生物組織內(nèi)熱量傳導(dǎo)引起的變化由QT=kDαxu表示時(shí)，就得到分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程：

顯然，當(dāng)α=2就成為經(jīng)典Pennes方程。

Povstenko[4]則利用了不同的Fourier定律，這里0≤α＜ 1,導(dǎo)數(shù)是Caputo導(dǎo)數(shù)。得到另一種分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程是：

顯然，當(dāng)α=0也是經(jīng)典Pennes方程。但是要注意，(8)與(9)是完全不一樣的方程，它們的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)作用對(duì)象不同。本文考慮(9)即時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程問(wèn)題，并假設(shè)S=0：

借助文獻(xiàn)[5]的數(shù)據(jù)，假設(shè)該方程的初邊值條件為：

其中L是生物體中心與表皮的距離，坐標(biāo)原點(diǎn)在中心血管位置，Ta是環(huán)境溫度。作變換v=u?Tb，初邊值問(wèn)題化為：

2.2 傅里葉-拉普拉斯變換求解方程

2.3 分離變量法求解[6]

2.4 函數(shù)逼近方法求解

3 結(jié)論

本研究以經(jīng)典的Pennes傳熱方程求解為例。采用了有限Fourier變換、Fourier?Laplace變換和分離變量法等方法求解方程。其次，運(yùn)用函數(shù)逼近方法中的Adomian分解法求出了方程的近似解。