中心二次曲線的兩條關于定值的性質及其應用

摘 要：本文研究了中心二次曲線的兩條關于定值的性質，它們在解決強基計劃筆試試題及編擬習題中均有廣泛應用.

關鍵詞：中心二次曲線;性質;定值;編擬習題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0078-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：甘志國（1971-），男，湖北省竹溪人，研究生，正高級教師，特級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數學文化與高考研究”（項目編號FT2017GD003）.

定理1 設中心二次曲線Γ：x2λ2+μy2=1（λ>0，μ≠0）的左頂點是A（-λ，0）.若動直線y=k（x-h）（k≠0）（其中h是定值且h≠±λ）與曲線Γ交于兩點M，N，直線AM，AN與直線x=h分別交于點B，C，則k的取值范圍由不等式μ（λ2-h2）k2+1>0（k≠0）確定，PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）.

證明 聯立y=k（x-h），x2λ2+μy2=1，，得（λ2μk2+1）x2-2λ2μk2hx+λ2μk2h2-λ2=0.

解得x=λ2μk2h±λλ2μk2-μk2h2+1λ2μk2+1.

所以xM-xN=2λμ（λ2-h2）k2+1λ2μk2+1（μ（λ2-h2）k2+1>0，k≠0）.①

由一元二次方程根與系數的關系，得xM+xN=2λ2μk2hλ2μk2+1，xMxN=λ2μk2h2-λ2λ2μk2+1.

②

可求得直線AM：y=k（xM-h）xM+λ（x+λ），進而可求得它關于直線x=h的交點Bh，k（λ+h）1-λ+hxM+λ.同理，可得點Ch，k（λ+h）1-λ+hxN+λ.

所以PB+PC=k（λ+h）1-λ+hxM+λ-k（λ+h）1-λ+hxN+λ=（λ+h）2kxM-xNxMxN+λ（xM+xN）+λ2.

再由①②，得

PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2.

還可得

PB·PC=k（λ+h）1-λ+hxM+λ·k（λ+h）1-λ+hxN+λ=（λ+h）2k2（xM-h）（xN-h）（xM+λ）（xN+λ）=（λ+h）2k2xMxN-h（xM+xN）+h2xMxN+λ（xM+xN）+λ2.

再由②，可得PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）.

綜上所述，可得欲證結論成立.

推論 設中心二次曲線Γ：x2λ2+μy2=1（λ>0，μ≠0）的左頂點是A（-λ，0）.若動直線y=k（x-h）（k≠0）（其中h是定值且h≠±λ）與曲線Γ交于兩點M，N，直線AM，AN與直線x=h分別交于點B，C，則

（1）當μ（λ2-h2）>0時，則k的取值范圍是（-SymboleB@，0）∪（0，+SymboleB@）;PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）;當k取遍非0實數時，PB+PC的取值范圍是[2|1-（hλ）2|，+∞）;

（2）當μ（h2-λ2）>0時，則k的取值范圍是-1μ（h2-λ2），0∪0，1μ（h2-λ2）;PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=h2-λ2λ2μ（是定值）;當k取遍-1μ（h2-λ2），1μ（h2-λ2）中的非0實數時，PB+PC的取值范圍是（0，+SymboleB@）.

題1 （2021年清華大學強基計劃筆試數學試題）已知橢圓x24+y2=1及其左頂點A（-2，0）.若過點P（1，0）的直線l與該橢圓交于兩點M，N，直線AM，AN與直線x=1分別交于點B，C，則（）.

A.PB+PC是定值

B.PB·PC是定值

C.PB+PC的值可以是2

D.PB·PC的值可以是2

解析 由推論（1），得PB+PC=3+1k2，PB·PC=34，進而可得答案BC.

定理2 設Γ：λx2+μy2=1是焦點在x軸上的橢圓或雙曲線，其離心率是e，A，B，C是曲線Γ上的任意三點（兩兩互異）且點A，B關于Γ的對稱中心對稱.若兩條動直線CA，CB的斜率均存在，則它們的積是定值e2-1.

證法1 （1）當曲線Γ是橢圓時，可設曲線Γ的方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0）.再設點A（x0，y0），B（-x0，

-y0），C（x1，y1）（x1≠±x0），得b2x2i+a2y2i=a2b2（i=0，1），所以兩條直線CA，CB的斜率之積y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=b2y21-b2y20b2x21-b2x20=b2（y21-y20）-a2（y21-y20）=-b2a2=e2-1.

（2）當曲線Γ是雙曲線時，可設曲線Γ的方程是x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.再設點A（x0，y0），B（-x0，-y0），C（x1，y1）（x1≠±x0），得b2x2i-a2y2i=a2b2（i=0，1），所以兩條直線CA，CB的斜率之積y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=b2y21-b2y20b2x21-b2x20=b2（y21-y20）a2（y21-y20）=b2a2=e2-1.

綜上所述，可得欲證結論成立.

證法2 可得當且僅當0<λ<μ時曲線Γ表示焦點在x軸上的橢圓，當且僅當μ<0<λ時曲線Γ表示焦點在x軸上的雙曲線，還可得曲線Γ長半軸或實半軸長a=1λ、短半軸或虛半軸長b=1μ、半焦距c=1λ-1μ（詳見拙文[1]的引理1（1）），所以曲線Γ的離心率e=1a·c=λ·1λ-1μ=1-λμ，得e2-1=-λμ.

可設點A（x0，y0），B（-x0，-y0），C（x1，y1）（x1≠±x0），得λx2i+μy2i=1（i=0，1），所以兩條直線CA，CB的斜率之積y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=λy21-λy20λx21-λx20=λ（y21-y20）-μ（y21-y20）=-λμ=e2-1.

題2 （2021年清華大學強基計劃數學試題第6題）已知雙曲線x24-y2=1的左、右頂點分別是A，B，I是該雙曲線上不是頂點的任意一點.若∠IAB=α，∠IBA=β，△IAB的面積是S，則（）.

A.tanαtanβ是定值B.tanα2tanβ2是定值

C.Stan（α+β）是定值

D.Scot（α+β）是定值

解析 不妨設點I（x，y）（x>0，y>0），所以由定理可得直線IA，IB的斜率之積是tanαtan（-β）=522-1=14，因而tanαtanβ=-14.

當點I→B時，可得IB→0，α→0，再由雙曲線的定義可得ΔIAB趨向于頂角的大小為0的等腰三角形，因而β→π2，β2→π4，得tanα2tanβ2→0，進而可得tanα2tanβ2不是定值.

還可得兩點A（-2，0），B（2，0），所以

tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=54yx+2-yx-2=16y5（4-x2）=-45y.

再由S=12ABy=2y，可得Stan（α+β）=-85（是定值），Scot（α+β）=-52y2（不是定值）.

因而答案是AC.

參考文獻：

[1]甘志國.圓錐曲線焦點弦的一類性質[J].數學教學研究，2021，40（03）：58-62.

[責任編輯：李 璟]