八種方法求解一道希望杯經(jīng)典題

摘 要：一題多解，就是從不同角度、不同思路入手，運(yùn)用不同的方法解答同一問(wèn)題的思維活動(dòng).本文從一道希望杯試題入手，在解答中滲透一題多解思想的策略，以期培養(yǎng)學(xué)生審慎的解題習(xí)慣與開(kāi)闊的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：希望杯;一題多解;思維;廣闊性

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0076-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：余鐵青（1990-），男，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、問(wèn)題提出

一題多解沒(méi)有唯一和固定的模式，教師可以通過(guò)縱橫對(duì)比發(fā)散、知識(shí)串聯(lián)、綜合溝通等手段，由一題引發(fā)多種解答方法，為學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)體系.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度入手，用不同的解答方法完成解題，并以此來(lái)幫助同學(xué)們更加深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)概念，掌握試題解答的思路與方法，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的多樣美感，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生思維的廣闊度.

二、實(shí)例分析

題目（第九屆希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高一試題）若二次函數(shù)fx=ax2+bx，恒有fx1=fx2x1≠x2，求fx1+x2的值.

策略1 利用已知條件，直接帶入化簡(jiǎn)，常規(guī)操作.

解法1 一方面：由已知條件fx1=fx2，代入得到ax21+bx1=ax22+bx2，整理，得x1-x2ax1+x2+b=0.又因?yàn)閤1≠x2，所以ax1+x2+b=0.

另一方面：fx1+x2=ax1+x22+bx1+x2=x1+x2ax1+x2+b，所以fx1+x2=0.

評(píng)注 解數(shù)學(xué)題是有一定模式的，各種不同類型的題目有相應(yīng)的基本解題策略，這就是常說(shuō)的“套路”，實(shí)際上就是我們講的“通性通法”.當(dāng)學(xué)生在測(cè)試中面對(duì)一道試題的時(shí)候，如果不能很快思考出最優(yōu)的策略，那么切不可忽略本源，即常見(jiàn)常用的解題思路，在時(shí)間不充足的情況下快速找到解決問(wèn)題的策略是關(guān)鍵.畢竟時(shí)間有限，先得分，考完之后再進(jìn)行反思優(yōu)化是提高的必由之路，只會(huì)機(jī)械記住套路，甚至背套路是萬(wàn)萬(wàn)不提倡的，因?yàn)檫@會(huì)完全喪失解題的靈性.

策略2 進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)，適當(dāng)進(jìn)行變形配方.

解法2 當(dāng)x1+x2=0時(shí)，顯然fx1+x2=0; 當(dāng)x1+x2≠0時(shí)，由fx1=fx2，即得 0=fx1-fx2=x1-x2ax1+x2+b=x1-x2x1+x2[ax1+x22+bx1+x2]=x1-x2x1+x2fx1+x2.

又因?yàn)閤1≠x2，所以fx1+x2=0.

評(píng)注 該解法使用配方法改變了代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，從一個(gè)要求的結(jié)論出發(fā)，整理配湊出我們希望出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，再利用整體代換的思想直接得出結(jié)果，而這種思維是在日常學(xué)習(xí)中要著重鞏固的，不僅在該題有著很好的應(yīng)用，在其它不等式等相關(guān)試題中的應(yīng)用也是十分廣泛的，所以工具越多，解題越從容.

策略3 聯(lián)想函數(shù)對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)性質(zhì).

解法3 由于二次函數(shù)滿足fx1=fx2，則該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=x1+x22對(duì)稱，而x1+x2與0也是關(guān)于直線x=x1+x22對(duì)稱的，那么fx1+x2=f0=0.

評(píng)注 函數(shù)諸多性質(zhì)中，筆者最為推崇對(duì)稱性，這是數(shù)學(xué)美學(xué)的最淺顯的外在表征，當(dāng)然在此處不過(guò)多去討論奇偶性、單調(diào)性、周期性等.此解法有諸多巧合重疊，從函數(shù)對(duì)稱軸出發(fā)，結(jié)合離函數(shù)對(duì)稱軸距離相等的自變量所對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等這一結(jié)論使得對(duì)稱之美展現(xiàn)得淋漓盡致！其中，在2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理11中的應(yīng)用亦是美妙至極.

策略4 構(gòu)造方程的根結(jié)合韋達(dá)定理.

解法4 由已知條件fx1=fx2，不妨令fx1=

fx2=-c，于是有ax21+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0.這樣就可以把x1，x2視作方程ax2+bx+c=0的兩根了，利用韋達(dá)定理知x1+x2=-ba，那么fx1+x2=f-ba=0.

評(píng)注 實(shí)際上，如果不設(shè)fx1=fx2=-c，直接將x1，x2代入fx的解析式得到方程組，亦可求得所要結(jié)果.這樣寫僅僅是為了和學(xué)生平時(shí)所認(rèn)知的一元二次方程形式進(jìn)行統(tǒng)一，做這樣的假設(shè)形式其實(shí)就是最近發(fā)展區(qū)理論，這能夠很好地和學(xué)生所固有的認(rèn)知契合，大家很容易接受，能夠有效提高教學(xué)效率.

策略5 利用抽象函數(shù)的廣義對(duì)稱性質(zhì).

解法5 由于二次函數(shù)滿足fx1=fx2，那么該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=x1+x22對(duì)稱，所以f2·x1+x22-x=

fx，將x=0代入，立得fx1+x2=0.

評(píng)注 這種解法在于對(duì)抽象函數(shù)形式的理解和掌握，是前面解法的升華.因?yàn)樵擃惡瘮?shù)性質(zhì)實(shí)際上可以推廣到任意具備對(duì)稱性函數(shù)求值問(wèn)題，這就比直接考慮二次函數(shù)對(duì)稱性的思維更加深刻.

策略6 構(gòu)造直線共線向量.

解法6 由已知條件，得fxx=ax+b，不妨令fx1=fx2=t，fx1+x2=c，于

是得Ax1，tx1，Bx2，tx2，

Cx1+x2，cx1+x2.

所以AC=x2，cx1+x2-tx1，BC=x1，cx1+x2-tx2.

再由三點(diǎn)共線，知AC∥BC，所以x2cx1+x2-tx2=

x1cx1+x2-tx1.

整理，得cx2x1+x2=cx1x1+x2.

又x1≠x2，所以c=0.進(jìn)而fx1+x2=0.

評(píng)注 該解法筆者是基于微分思想的角度聯(lián)想到的，“點(diǎn)線面”，“一維二維三維”是典型的思維遷移的模范！筆者試圖將二次函數(shù)降次理解構(gòu)造共線向量進(jìn)行理解，試過(guò)之后，發(fā)現(xiàn)著實(shí)可以這么理解，在講解中注重靈感思路的來(lái)源分析，能很好地啟迪學(xué)生.

策略7 由外形結(jié)構(gòu)fx=ax2+bx類比等差數(shù)列性質(zhì).

解法7 在等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，若Sm=Snm≠n，那么Sm+n=0.

結(jié)合fx1=fx2x1≠x2，立馬可得fx1+x2=0.

評(píng)注 類似思想可以在此處得到最大的恩寵，一時(shí)間復(fù)雜的問(wèn)題在此刻得到了瞬間的釋放，這才是真正的秒解！是運(yùn)氣？是福氣？都不是，是能力的完美體現(xiàn)！

是日積月累的思考與探究！發(fā)現(xiàn)新的事物往往是由所熟悉的事物進(jìn)行遷移類比產(chǎn)生猜想，然后依賴于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C進(jìn)行驗(yàn)證.猜想是做學(xué)問(wèn)和鍛煉創(chuàng)新思維的出發(fā)點(diǎn)，證明則是推理驗(yàn)證的落腳點(diǎn)與最終歸宿.

策略8 利用行列式三角形面積公式.

解法8 由解法6，Ax1，tx1，Bx2，tx2，

Cx1+x2，cx1+x2，再由三點(diǎn)共線，知x1tx11x2tx21x1+x2cx1+x21=0，行列式展開(kāi)，得cx2x1+x2=cx1x1+x2.下同解法6.

評(píng)注 基于教學(xué)實(shí)際，筆者認(rèn)為學(xué)生有必要掌握該方法.首先，從高考命題角度與考試大綱要求來(lái)看，初等數(shù)學(xué)之中融入高等數(shù)學(xué)思想是命題的重點(diǎn)方向，類似的還有洛必達(dá)法則、端點(diǎn)效應(yīng)、泰勒展開(kāi)等，這就是其中很好的一例！其次，從考試直接應(yīng)用來(lái)看，行列式求解三角形面積還廣泛存在于平面解析幾何之中，通過(guò)計(jì)算達(dá)到思路明晰，解題高效之效果.

縱觀以上八種不同解法，可以說(shuō)一種更比一種妙！實(shí)際上一題多解更能很好地幫助學(xué)生構(gòu)建更加完善的知識(shí)體系，通過(guò)比較分析，會(huì)進(jìn)一步認(rèn)清哪些只是較為一般的解法，哪些是比較有創(chuàng)新的思路，哪種解法更簡(jiǎn)單等，這樣能夠使得學(xué)生的思維更開(kāi)闊、更清晰，從而靈活地把握知識(shí)間的橫向關(guān)系與縱向聯(lián)系，提高解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生審慎的解題習(xí)慣，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性.

參考文獻(xiàn)：

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[3]余鐵青.解題要有道 方法更重要——例談利用函數(shù)對(duì)稱性解高考題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（13）：51-52.

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