端點效應解題舉隅

摘 要：解決導數含參數恒成立問題的常用方法是字母討論、分離參數等，如果能夠變換思考角度，創新思維方向往往能找到新的有效方法，端點效應是解決導數含參數恒成立問題的有效方法，在實際問題的解決中把端點效應分為：連續型端點效應、離散型端點效應、二次型端點效應，并在數學活動中培養學生的創新思維與核心素養.

關鍵詞：端點效應;參數;恒成立問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0032-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：蔣滿林（1975-），男，福建省古田人，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：本文為福建省中小學名師名校長培養工程專項課題《高中數學變式教學微設計研究》（課題批準號：DTRSX2017009）的后續成果.[FQ）]

導數含參數恒成立問題的常用方法是字母討論、分離參數等，但對于分類討論往往比較繁雜而半途而廢，分離參數對于分離函數的導數很難把握.利用端點函數值的特殊性，先得到必要條件，再證充分性，因其思路簡潔方法實效，我們把它稱為端點效應，下面以例示之，與大家交流.

一、端點效應

1.連續型端點效應

例1 （2017全國Ⅱ文21）設函數f（x）=（1-x2）ex.

（1）略;

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

解析 （2）令gx=1-x2ex-ax-1x≥0，

g′x=1-x2-xex-a，由于g0=0，

所以必有g′0=1-a≤0，可得a≥1 （必要條件），下面去證明 a≥1滿足題意（充分性證明）.

當a≥1時，g′x=1-x2-xex-a≤1-x2-xex-1，記hx=1-x2-xex-1x≥0，h′x=-x2-4x-1ex<0，所以g′x≤0，gx在0，+SymboleB@上單調遞減，gx≤g0=0.

綜上所述， a的取值范圍為1，+SymboleB@.

評注 所求參數為連續實數的端點效應我們稱之為連續型端點效應，連續型端點效應的解題步驟.

（1）取端點或特殊點的函數值;

（2）求出滿足參數的必要條件;

（3）證明參數范圍滿足充分條件.

2016年全國Ⅱ文20題等，也可以用此法解答.

2.離散型端點效應

例2 已知函數fx=1+ln（x+1）x，當x>0時，fx>kx+1恒成立，求正整數k的最大值.

解析 由fx>kx+1得x+1[lnx+1-kx+1]>0，記 gx=x+1lnx+1-kx+1x>0，

gx>0在0，+SymboleB@上恒成立，又g1=21+ln2-k>0，得k<21+ln2∈3，4，所以取k=3（必要性） .

下面去證k=3 滿足題意（充分性證明）.

當k=3時，gx=x+1

[lnx+1-3x+1]x>0，g′x=lnx+1-1x>0，令g′x=0，得x=e-1，gx在0，e-1 上單調遞減，在e-1，+SymboleB@ 上單調遞增，gx≥ge-1=2e-3e-1=3-e>0 .

綜上所述，k=3滿足題意.

評注 所求參數為整數的端點效應我們稱之為離散型端點效應，離散型端點效應的解題步驟

.

（1）取端點或端點附近的特殊點如f1，f2，fe等;

（2）求出滿足參數最值整數的必要條件;

（3）證明參數的最值整數滿足充分條件.

其中離散型端點效應，端點選點不唯一，只要便于計算又能確定參數整數的必要條件均可.

3.二階型端點效應

例3 已知a∈R，函數fx=ex-ex-axlnx-x+1 的導函數為gx.

（1）略;

（2）略;

（3）若x≥1時，fx≥0恒成立，求a的最大值.

解析gx=f ′x=ex-e-alnx，f1=0，g1=0，g′x=ex-ax，g′1=e-a≥0，a≤e，a 最大值取a=e（必要條件），下面去證a=e滿足題意（充分條件證明）.

fx=ex-ex-axlnx-x+1≥ex-ex-exlnx-x+1，gx=f ′x=ex-e-elnx，g′x=ex-ex≥0x≥1，所以gx在1，+SymboleB@上單調遞增，gx≥g1=0，fx在1，+SymboleB@上單調遞增，fx≥f1=0.

所以，a=e滿足題意.

評注 原函數與一階導函數均應用端點效應，我們稱之為二階型端點效應，二階型端點效應的解題步驟.

（1）原函數端點函數值為0;

（2）一階導函數端點函數值為0;

（3）取二階導函數端點或特殊點的函數值，求出滿足參數的必要條件;

（4）證明參數范圍滿足充分條件.

二、變式訓練

例1 （2020年3月廈門市質檢理21題）已知函數fx=aex+2e-x+a-2x （a∈R，e是自然對數的底數）.

（1）略;

（2）當x≥0時，求fx≥a+2cosx，求a的取值范圍.

解析 （連續型端點效應）記gx=fx-a+2cosx=aex+2e-x+a-2x-a+2cosxx≥0，

g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinxx≥0，由g0=a+2-a+2=0， g′0=a-2+a-2≥0，得a≥2 （必要性），下證，a≥2成立（充分性）.

當a≥2時，x∈0，π 時，

g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinx≥2ex-e-x+a-2+a+2sinx≥0，gx≥g0=0，成立;

當a≥2時，x∈π，+SymboleB@ 時，

g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinx≥2eπ-e-π+a-2-a+2=2eπ-2e-π-4>0.

綜上所述，a≥2成立.

注：導函數中含有三角函數sinx，對x∈0，π與x∈π，+SymboleB@進行分段討論，這種對三角函數取值進行討論是近年考試的熱點，要引起大家的關注.

例2 已知函數f（x）=lnx-mx2，g（x）=12mx2+x（m∈R），F（x）=f（x）+g（x）.

（1）略;

（2）若關于x 的不等式Fx≤mx-1 恒成立，求整數m的最小值.

解析 （離散型端點效應）由Fx≤mx-1化為lnx-12mx2+1-mx+1≤0，記

hx=lnx-12mx2+1-mx+1≤0，由于h1=-12m+1-m+1=-32m+2≤0 ，即有m≥43 （注此處為命題成立的必要條件），又m為整數，當m=2時，hx=lnx-x2-x+1，下面去證hx滿足要求（即證充分性）.

因為h′x=1x-2x-1=-2x2-x+1x=x+1-2x+1x，故hx在0，12 內單調遞增，在12，+SymboleB@內單調遞減，hx≤h12=-ln2-14-12+1=-ln2+14=ln4e2<0.

故m=2時，不等式成立.即整數m的最小值為2.

注：離散型端點效應，端點選點不唯一，如選he≤0也可以.

例3 若關于x的不等式ax2ex+xex+1≥ex 在區間0，+SymboleB@上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 （二階型端點效應）記gx=ax2+x-1+e-xx≥0，g′x=2ax+1-e-xx≥0，g″x=2a+ex，由g0=0，g′0=0，g″0=2a+1≥0，得a∈-12，+SymboleB@（必要性）.

下面去證a≥-12成立（充分性證明）.

當a≥-12時，由g″x=2a+ex≥ex-1≥e0-1=0x≥0，有g′x=2ax+1-e-x≥g′0=0x≥0，

gx=ax2+x-1+e-x≥g0=0x≥0，成立，又ax2+x-1+e-x≥0ax2ex+xex+1≥exx≥0，所以實數a的取值范圍-12，+SymboleB@.

注 對所證不等式ax2ex+xex+1≥ex進行適度變形，轉化為等價的不等式，便于求導與計算，也是對導數證明試題的一種常用技能，平時應加強導數不等式等價變形的訓練.

參考文獻：

[1]蔣滿林.關于簡易邏輯中幾個典型易錯問題的解答[J].理科考試研究，2018，25（11）：34-36.

[責任編輯：李 璟]