用坐標軸平移妙解斜率和(或積)為定值問題

2021-05-30 10:48:04劉大鵬

數理化解題研究·高中版 2021年12期

摘要：本文根據斜率是平移變換下的不變量，舉例示范如何利用坐標軸巧妙平移解決斜率和（或積）為定值問題.

關鍵詞：坐標軸平移;圓錐曲線;定點;定值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0008-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：劉大鵬（1971.10-），男，遼寧省黑山人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

一、用坐標軸平移解已知斜率和為定值問題

定理1 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，a>0，b>0，定點A（x0，y0）∈C，（點A不是雙曲線頂點），動點

Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①當γ=0時，kPQ=-b2x0a2y0為定值，且等于雙曲線在點A處切線斜率的相反數;②當γ≠0時，則直線PQ恒過定點D，且Dx0-2y0γ，-y0+2b2x0a2γ.

證明以Ax0，y0為原點，建立新坐標系X′O′Y′，聯立新坐標系下的方程

x′+x02a2-y′+y02b2=1，mx′+ny′=1，所以b2x′2-a2y′2+2x0b2x′-2y0a2y′mx′+ny′=0-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0+b2+2mb2x0=0.

1°當k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=0時，kPQ=-mn=-b2x0a2y0，把雙曲線方程兩邊對x求導，得2xa2-2yy′b2=0.所以y′=b2x0a2y0.

2°當k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=γ時，n=a2γ+2ma2y02b2x0-2a2γy0，PQ在新系下的方程mx′+a2y0b2x0-a2γy0y′+a2γ2b2x0-2a2γy0y′-1=0，直線過定點D-2y0γ，2b2x0a2γ-2y0，點D在原坐標系的坐標為x0-2y0γ，-y0+2b2x0a2γ.

二、用坐標軸平移解已知斜率積為定值問題

定理2 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，a>0，b>0，定點A（x0，y0）∈C，動點Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若

kAP·kAQ=γ，①當γ=-b2a2時，kPQ=-y0x0為定值;②當γ≠-b2a2時，則直線PQ恒過定點D，且Da2γ-b2a2γ+b2x0，-a2γ+b2a2γ+b2y0.

證明由定理1的證明，得-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0y′x′+b2+2mb2x0=0.

①當k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=-b2a2時，kPQ=-mn=-y0x0;

②當k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=γ≠-b2a2時，n=-b2+a2γ+2mb2x02y0γa2，直線PQ在新系下的方程：

mx′-b2x0y0γa2y′=a2γ+b22y0γa2y′+1，過定點D-2b2x0a2γ+b2，-2y0γa2a2γ+b2，點D在原坐標系下的坐標為a2γ-b2a2γ+b2x0，-a2γ+b2a2γ+b2y0.

三、用坐標軸平移解結論為斜率和是定值問題

定理3 已知定點Pa，0，Qa，-mm≠0，經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于M，N兩點，則直線PM與直線PN的斜率的和為定值2b2am.

證明以Pa，0為原點，建立新坐標系X′O′Y′，聯立新坐標系下的方程x′+a2a2+y′2b2=1，y′=kx′-m，所以b2x′2+a2y′2+2ab2x′kx′-y′m=0.

所以a2y′x′2-2ab2my′x′+b2+2akb2m=0.所以k1+k2=2b2ma為定值.

四、用坐標軸平移解結論為斜率的倒數和為定值問題

定理4 已知定點P0，b，Q-m，bm≠0，經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于M，N兩點，則直線PM，PN的斜率的倒數之和為定值2a2bm.

證明以P0，b為原點，建立新坐標系X′O′Y′，聯立新坐標系下的方程x′2a2+y′+b2b2=1，x′=ty′-m，所以b2x′2+a2y′2+2a2by′ty′-x′m=0.所以b2x′y′2-2a2bmx′y′+a2+2a2tbm=0.所以1k1+1k2=2a2mb為定值.

五、強化訓練

1.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，a>b>0定點A（x0，y0）∈C，（點A不是橢圓頂點），動點Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①當γ=0時，kPQ=b2x0a2y0為定值，且等于橢圓在A點處切線斜率的相反數;②當γ≠0時，則直線PQ恒過定點D，且Dx0-2y0γ，-y0-2b2x0a2γ.

證明見文[3].

2.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，a>b>0 定點A（x0，y0）∈C，（點A不是橢圓頂點），動點Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP·kAQ=γ，①當γ=b2a2時，kPQ=-y0x0為定值，②當γ≠b2a2時，則直線PQ恒過定點D，且Da2γ+b2a2γ-b2x0，-a2γ+b2a2γ-b2y0.

證明見文[4].

3.已知拋物線C：y2=2px，定點A（a，b）∈C，，動點Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①當γ=0時，kPQ為定值，且等于拋物線在A點處切線斜率的相反數;

②當γ≠0時，則直線PQ恒過定點D，且

D b22p-2bγ，2pγ-b.

4.已知拋物線C：y2=2px，定點A（x0，y0）∈C，，動點Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP·kAQ=γ，則直線PQ恒過定點D，且Dx0-2pγ，-y0.

5.已知定點P-a，0，Q-a，-mm≠0，經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1

（a>b>0）交于M，N兩點，則直線PM與直線PN的斜率的和為定值-2b2am.

6.已知定點P0，-b，Q-m，-bm≠0，經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1

（a>b>0）交于M，N兩點，則直線PM，PN的斜率的倒數之和為定值-2a2bm.

更多的練習題見文[5].

參考文獻：

[1]劉大鵬.斜率和（或積）為定值條件下圓錐曲線的性質[J].中學數學研究（華南師范大學版），2020（05）：44-45.