衛星變軌問題的情境模型建構與參量研究

福建

衛星變軌問題是以處于圓形或橢圓形軌道上環繞中心天體運行的衛星在受外界因素(如力、光壓等)影響下而產生偏離軌道現象為情境載體，設計試題主體和問題，研究其動態規律、參量變化和定量分析等相關內容。對比衛星穩定環繞問題情境模型，變軌問題具有相似又有差異的動力學特性，同時又涉及不同軌道動態變化規律，兩者即有聯系又有區別，同時又結合了圓周運動、牛頓運動定律、離心運動、功能關系、動態分析等數學、物理學知識，具有一定綜合性試題特征。變軌問題的模型建構和試題編制理念體現物理學源于生活又服務于生活，注重技術和社會、經濟的聯系，注重知識應用的學科思想，強化了知識、技能和素養的有效結合，因此萬有引力部分一直是高考熱點和難點。本文針對衛星變軌情境模型進行可視化建構和梳理，希望對系統理解變軌問題能有幫助。

一、衛星變軌模型可視化建構分析

1.外力驅動漸變式變軌模型

外力驅動漸變式變軌模型是指衛星在外界某種因素如大氣阻力、其他天體的引力、光壓等作用下使其緩慢偏離原穩定軌道而發生的變軌現象。在漸變式變軌問題中，衛星是向高軌道變軌還是向低軌道變軌取決于除萬有引力以外的其他外界力對衛星運動來說是阻力還是動力，阻力對原軌道上衛星產生阻礙作用(圖1)，使萬有引力大于該軌道運動所需的向心力，衛星逐漸向中心天體靠近；動力對衛星產生促進作用(圖2)，軌道運動所需的向心力大于萬有引力，衛星發生離心運動向高軌道偏離。

圖2

2.內力驅動突變式變軌模型

內力驅動漸變式變軌模型是指由于技術上的需要，人為在衛星內部短時間啟動衛星發動機產生作用力使衛星的速率發生突變，產生變軌現象最終到達預定軌道。

(1)初始軌道與預定軌道共面型

圖3

(2)初始軌道與預定軌道不共面型

預定軌道與初始軌道不共面時(圖4)，衛星最終在穩定預定軌道上繞中心天體運動的線速度v2與初始軌道的線速度v1之間存在不共線的矢量關系，初始軌道上啟動發動機使衛星獲得的附加速度Δv，調整原軌道環繞速度v1為預定軌道環繞速度v2，實現衛星在預定新軌道繞中心天體運動，此時v1、v2和Δv之間存在運動矢量關系，應根據平行四邊形定則或三角形定則分析運算。

圖4

二、衛星變軌模型的參量研究

1.內力驅動突變式變軌實施的參量研究

衛星由低軌道向高軌道實施變軌時，發動機向后噴氣，其產生的作用力對衛星瞬間做正功促使線速度突然增大而做離心運動，此時衛星的機械能增加，在變軌過程中，由于只有萬有引力對衛星做負功，衛星動能開始減小，引力勢能增大，衛星機械能保持不變，因此預定軌道的機械能會大于初始軌道的機械能；衛星由高軌道向低軌道實施變軌時，發動機向前噴氣，其產生的作用力對衛星瞬間做負功促使其線速度突然減小而逐漸向中心天體靠近，此時衛星的機械能減小，在變軌過程中，由于只有萬有引力對衛星做正功，衛星動能開始增大，引力勢能減小，但衛星的機械能仍保持不變，因此預定軌道的機械能會小于初始軌道的機械能。

2.不同軌道同一位置的參量研究

(1)加速度參量比較分析

圖5

圖6

(2)線速度參量比較分析

3.同一軌道不同位置的線速度比較分析

衛星在同一軌道繞中心天體運動的線速度變化規律與軌跡存在一定關聯性。若軌跡為標準圓形軌道(圖7)，萬有引力始終不做功，線速度大小始終不變；若軌跡為橢圓形軌道(圖8)，萬有引力與線速度方向夾角會根據衛星運動位置變化而實時變化，萬有引力會產生促進或阻礙衛星運動的效果，線速度會實時變化，由動能定理分析，遠離中心天體過程，萬有引力做負功，動能減小，線速度減小，靠近中心天體過程，萬有引力做正功，動能增加，線速度增大，故近地點線速度最大，遠地點線速度最小。

圖7

圖8

拓展點：近地點和遠地點的線速度比較分析

4.衛星變軌過程的做功問題

衛星在不同軌道間實施變軌運動時，由于變軌過程萬有引力是變力，可從動能定理分析萬有引力做功的問題，根據始末位置的衛星動能變化判斷萬有引力做功的正負及計算做功的大小。

5.不同軌道環繞周期的比較分析

圖9

6.同一軌道不同運行區域的時間比較分析

圖10

三、典例剖析

【例1】理論研究表明，環繞地球運動的衛星，機械能與衛星的質量和軌道的半長軸大小有關，衛星質量越大，衛星機械能越小，軌道半長軸越大，衛星機械能越大。如圖11所示，c為地球，a、b為兩顆質量相同的衛星，圍繞地球轉動的軌道分別為圓和橢圓，兩軌道共面，兩條軌道相交于A位置，B為橢圓軌道的近地點，a衛星的軌道半徑為R，b衛星的軌道半長軸為2R。關于這兩顆衛星，下列說法正確的是

( )

圖11

A.兩顆衛星在A位置的加速度aa

B.兩顆衛星在A位置的速率va

C.b衛星在近地點的速率有可能等于a衛星的環繞速率

D.兩顆衛星的運行周期Ta

【點評】本題考查衛星在不同軌道同一位置、不同軌道不同位置和同一軌道不同位置的加速度、線速度和周期參量的比較問題，解題關鍵在于了解不同衛星環繞模型的原理與關聯，結合牛頓運動定律、圓周運動參量關系、功能關系和開普勒第三定律綜合分析。

【例2】2020年7月22日，中國火星探測工程正式對外發布“中國首次火星探測任務宇宙飛船“天問一號”著陸平臺和火星車”。7月23日，宇宙飛船“天問一號”探測器在中國文昌航天發射基地發射升空。宇宙飛船“天問一號”從地球上發射到與火星會合，運動軌跡如圖12中橢圓所示。飛向火星過程中，只考慮太陽對宇宙飛船“天問一號”的引力。下列說法正確的是

( )

圖12

A.宇宙飛船“天問一號”在地球發射變軌瞬間，需要發動機點火加速

B.在與火星會合前，宇宙飛船“天問一號”的加速度小于火星公轉的向心加速度

C.宇宙飛船“天問一號”經過與火星會合位置的速率等于火星經過會合位置的速率

D.宇宙飛船“天問一號”飛向火星過程中的機械能小于與火星會合后的機械能

【例3】航天器回收的“跳躍式返回技術”指航天器在關閉發動機后進入大氣層，依靠大氣升力再次沖出大氣層，降低速度后再進入大氣層。這種復雜的回收技術我國已經掌握。圖13為航天器跳躍式返回過程示意圖，大氣層的邊界為虛線大圓，已知地球半徑為R，d點到地面的高度為h，地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是

( )

圖13

A.航天器從a到c運動過程中一直處于完全失重狀態

C.航天器在c點的動能大于在e點的動能

D.航天器在a點機械能大于在c點的機械能

【點評】本題綜合衛星變軌和曲線運動兩個知識點研究衛星變軌過程的動力學和功能問題。通過軌跡的彎曲方向可以判斷合力和加速度方向，從而確定“嫦娥五號”處于超重狀態還是失重狀態；根據牛頓第二定律，結合GM=gR2求出d點的加速度；“嫦娥五號”從a點到c點，萬有引力不做功，阻力做負功，根據動能定理比較a、c兩點的速率及機械能的大小；從c點到e點，航天器不受空氣阻力，機械能守恒，速率大小相等。本題的解題關鍵在于知道衛星在大氣層中受到空氣阻力作用，在大氣層以外不受空氣阻力作用，結合動能定理、機械能守恒定律分析不同區域的速度變化情況。

綜合來看，衛星變軌問題模型分析的難點聚焦在以下兩點：(1)天體運動實體軌跡的模擬還原：天體運動與一般物體的運動存在一定的差異性，又無法進行直觀感知，對于學生來講，天體運動的現象和規律的研究仍側重于抽象化理解，如何利用靜態或動態的可視化數據或圖示組合表征天體運動，形成能夠直接作用于人感官的外在視覺表象，從而降低對天體現象或規律的認知維度，是破解天體運動問題的關鍵環節；(2)通過不同運動軌道的差異性對比分析：環繞天體由于初始運動條件的差異會形成圓形軌道和橢圓形軌道兩類不同的環繞軌跡類型，兩類軌道具有類似又有不同的動力學特性，需要學生從運動學、動力學、功能關系、軌跡的幾何關系等視角進行綜合對比研究，以提煉試題隱含的信息作為解題切入點。作為天體運動的重要實體模型，衛星變軌問題的模型建構與研究可以深刻理解知識在不同表征環境下的變異特征，引導學生更深入探尋事物的本源，完成知識的內化和應用，從而達到章節的教學育人目標。