四種常用數(shù)學(xué)方法求解物理極值問題

安徽

在處理求極值的物理問題時(shí)，往往需要一些數(shù)學(xué)知識(shí)，比如二次函數(shù)、基本不等式、半角公式、輔助角公式等，根據(jù)它們的規(guī)律，找到物理量的極值。

1.解題思路

根據(jù)物理情境，發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律，從基本問題出發(fā)，寫出所求物理量的表達(dá)式，這是關(guān)鍵一步。然后根據(jù)表達(dá)式的形式選擇所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)求得極值。

2.數(shù)學(xué)知識(shí)

3.典例透析

【例1】(二次函數(shù)求極值)如圖所示，光滑絕緣的正方形水平桌面邊長為d=0.48 m，離地高度h=1.25 m。桌面上存在一水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)(除此之外其余位置均無電場(chǎng))，電場(chǎng)強(qiáng)度E=1×104N/C。在水平桌面上某一位置P處有一質(zhì)量m=0.01 kg、電荷量q=1×10-6C的帶正電小球以初速度v0=1 m/s向右運(yùn)動(dòng)。空氣阻力忽略不計(jì)，重力加速度g取10 m/s2。求：

(1)小球在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度的大小和方向；

(2)P處距右端桌面多遠(yuǎn)時(shí)，小球從開始運(yùn)動(dòng)到最終落地的水平距離最大？并求出該最大水平距離。

【解析】(1)對(duì)小球受力分析，小球受到重力、支持力和電場(chǎng)力作用，其中重力和支持力平衡，根據(jù)牛頓第二定律，有qE=ma

解得a=1.0 m/s2

方向水平向左

設(shè)小球到桌面右邊的距離為x1，小球離開桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離為x2，則

x總=x1+x2

代入數(shù)據(jù)得t=0.5 s

水平方向，有

【例2】(基本不等式求極值)如圖所示，在粗糙水平臺(tái)階上靜止放置一質(zhì)量m=0.5 kg的小物塊，它與水平臺(tái)階表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，且與臺(tái)階邊緣O點(diǎn)的距離s=5 m。在臺(tái)階右側(cè)固定了一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓弧形擋板，并以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系。現(xiàn)用F=5 N的水平恒力拉動(dòng)小物塊，一段時(shí)間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板(g取10 m/s2)。

(1)若小物塊恰能擊中擋板的上邊緣P點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1.6 m，0.8 m)，求其離開O點(diǎn)時(shí)的速度大小；

(2)為使小物塊擊中擋板，求拉力F作用的距離范圍；

(3)改變拉力F的作用時(shí)間，使小物塊擊中擋板的不同位置，求擊中擋板時(shí)小物塊動(dòng)能的最小值。(結(jié)果可保留根式)

【解析】(1)小物塊從O到P做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有，水平方向x=v0t

解得v0=4 m/s

(2)為使小物塊擊中擋板，小物塊必須能運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，設(shè)拉力F作用的最短距離為x1，由動(dòng)能定理得

Fx1-μmgs=Ek-0=0

解得x1=2.5 m

為使小物塊不會(huì)飛出擋板，小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度不能超過4 m/s；設(shè)拉力F作用的最長距離為x2，由動(dòng)能定理得

解得x2=3.3 m

故為使小物塊擊中擋板，拉力F的作用距離范圍為

2.5 m

由動(dòng)能定理得

又x2+y2=R2

由P點(diǎn)坐標(biāo)可求得R2=3.2 m2

【例3】(輔助角公式求極值)如圖所示，質(zhì)量為M的木楔傾角為θ，在水平面上保持靜止。當(dāng)將一質(zhì)量為m的木塊放在斜面上時(shí)正好勻速下滑，如果用與斜面成α角的力F拉著木塊沿斜面勻速上滑。重力加速度為g，下列說法中正確的是

( )

A.當(dāng)α=2θ時(shí)，F(xiàn)有最小值

B.F的最小值為mgsin 2θ

C.在木塊勻速上滑過程中，地面對(duì)M的靜摩擦力方向水平向右

D.在木塊勻速上滑過程中，地面對(duì)M的靜摩擦力方向水平向左

【答案】BD

【點(diǎn)評(píng)】在外力F作用下，物體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)最小值的求解，首先根據(jù)受力平衡求出其表達(dá)式，其數(shù)學(xué)求解方法基本就是輔助角公式的應(yīng)用。若采用摩擦角的方法求解過程會(huì)更簡單(具體求解不再贅述，詳見《四力作用下的動(dòng)態(tài)平衡》微專題)。所以在處理物理極值問題時(shí)，優(yōu)先選用物理方法。

甲

乙

(1)帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能Ek；

(2)磁場(chǎng)上、下邊界區(qū)域的最小寬度x；

(3)帶電粒子打到磁場(chǎng)上邊界感光膠片的落點(diǎn)范圍的長度。

【解析】(1)帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能，即為MN間的電場(chǎng)力做的功

Ek=WMN=qU0

(2)設(shè)帶電粒子以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，且與磁場(chǎng)邊界之間的夾角為α?xí)r向下偏移的距離

Δy=R-Rcosα=R(1-cosα)

v1=vsinα

當(dāng)α=90°時(shí)，Δy有最大值(應(yīng)用半角公式)

即加速后的帶電粒子以v1的速度進(jìn)入豎直極板P、Q之間的電場(chǎng)不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，沿中心線進(jìn)入磁場(chǎng)。磁場(chǎng)上、下邊界區(qū)域的最小寬度即為此時(shí)的帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑

(3)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，若t=0時(shí)進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，在電場(chǎng)中勻速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)R=L，打在感光膠片上距離中心線最近為x=2L

任意電壓下出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度為vn，根據(jù)幾何關(guān)系有

打在感光膠片上的位置和射入磁場(chǎng)位置間的間距始終相等，與偏轉(zhuǎn)電壓無關(guān)。在感光膠片上的落點(diǎn)寬度等于粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離，帶電粒子在電場(chǎng)中的最大偏轉(zhuǎn)距離

【點(diǎn)評(píng)】在本題中，以任意角度入射的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后表示出向下偏移的距離，可以得出只有垂直入射的粒子向下偏移的距離最大，再由半徑公式等即可解答第二問。在第三問中，由于帶電粒子先經(jīng)過電壓為U0的加速電場(chǎng)，然后進(jìn)入水平交變電場(chǎng)進(jìn)行偏轉(zhuǎn)，最后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)打在膠片上，可以表示出在任意偏轉(zhuǎn)電壓作用后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑表達(dá)式(其中速度用進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度表示)，再表示出打在感光膠片上的長度。巧合的是打在感光膠片上的位置和射入磁場(chǎng)位置間的間距始終相等，與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電壓無關(guān)，從而求出粒子在感光膠片上落點(diǎn)的范圍。

4.跟蹤訓(xùn)練

1.(半角正切公式應(yīng)用)如圖所示，質(zhì)量分別為mA和mB的兩小球帶有同種電荷，電荷量分別為qA和qB，用絕緣細(xì)線懸掛在天花板上。平衡時(shí)，兩小球恰處于同一水平位置，細(xì)線與豎直方向間夾角分別為θ1與θ2(θ1>θ2)。兩小球突然失去各自所帶電荷后開始擺動(dòng)。最大速度分別為vA和vB，最大動(dòng)能分別為EkA和EkB，則

( )

A.mA一定小于mB

B.qA一定大于qB

C.vA一定大于vB

D.EkA一定大于EkB

【答案】ACD

(1)求球1到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；

(2)若球2的質(zhì)量m2=0.1 kg，求球1與球2碰撞后球2的速度大小；

(3)若球3的質(zhì)量m3=0.1 kg，為使球3獲得最大的動(dòng)能，球2的質(zhì)量應(yīng)為多少？

【解析】(1)對(duì)球1從A到B由動(dòng)能定理有

聯(lián)立解得v0=4 m/s，F(xiàn)N=12 N

(2)球1、球2的碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

m1v0=m1v1+m2v2