傳送帶模型問(wèn)題之面面觀
——關(guān)于傳送帶問(wèn)題的各種情況分析

湖北

物體以一定初速度v0在另一個(gè)勻速(變速)運(yùn)動(dòng)的皮帶上運(yùn)動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)稱為傳送帶模型，共存在著多種類型。它是高中物理復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)專題內(nèi)容，通常會(huì)考查到物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)時(shí)間、相對(duì)位移、劃痕、運(yùn)動(dòng)圖像、摩擦生熱等。下面對(duì)常見(jiàn)的一些類型做出歸納與解析，供學(xué)生們復(fù)習(xí)參考。

一、水平傳送帶(L足夠長(zhǎng))

(1)v0與v同向(如圖1)

①v0>v，物體先勻減速再勻速到達(dá)右端

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖1.1所示。

圖1.1

②v0

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖1.2所示。

圖1.2

③v0=v，物體一直勻速到達(dá)右端

相對(duì)位移(劃痕)Δx=0

物體與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量Q=0

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖1.3所示。

圖1.3

【例1】(2015天津)某快遞公司分揀郵件的水平傳輸裝置示意如圖，皮帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下保持v=1 m/s的恒定速度向右運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將一質(zhì)量為m=2 kg的郵件輕放在皮帶上，郵件和皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。設(shè)皮帶足夠長(zhǎng)，取g=10 m/s2，在郵件與皮帶發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)過(guò)程中，求：

例1

(1)郵件滑動(dòng)的時(shí)間t；

(2)郵件對(duì)地的位移大小x；

(3)郵件與皮帶間的摩擦力對(duì)皮帶做的功W。

【答案】(1)設(shè)郵件放到皮帶上與皮帶發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)過(guò)程中受到的滑動(dòng)摩擦力為Ff，則

Ff=μmg①

取向右為正方向，對(duì)郵件應(yīng)用動(dòng)量定理得

Fft=mv-0 ②

聯(lián)立①②式并代入數(shù)據(jù)得

t=0.2 s ③

(2)郵件與皮帶發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)郵件應(yīng)用動(dòng)能定理，有

聯(lián)立①④式并代入數(shù)據(jù)得

x=0.1 m ⑤

(3)郵件與皮帶發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)皮帶相對(duì)地面的位移為s，則

s=vt⑥

摩擦力對(duì)皮帶做的功W=-Ffs⑦

由①③⑥⑦式并代入數(shù)據(jù)得

W=-2 J

【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了動(dòng)量和能量的方法解決問(wèn)題，也可以采用動(dòng)力學(xué)方法進(jìn)行求解，關(guān)鍵需理清郵件在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別注意本題的問(wèn)題是求郵件相對(duì)地面的位移以及摩擦力對(duì)皮帶做的功。

(2)v0與v反向(如圖2)

圖2

①v0>v，物體先向左勻減速再向右勻加速最后勻速

到達(dá)右端，速度為v

相對(duì)位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖2.1所示。

圖2.1

②v0

相對(duì)位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgΔx=2mv0v

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖2.2所示。

圖2.2

二、傾斜傳送帶(L足夠長(zhǎng))

(1)v0=0，即物體初速度為零

①物體初位置在下端如圖3所示

圖3

則物體先加速后勻速到達(dá)上端

相對(duì)位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖3.1所示。

圖3.1

②物體初位置在上端(如圖4)

圖4

當(dāng)μ≥tanθ時(shí)，物體先加速后與皮帶保持相對(duì)靜止一起勻速至下端

相對(duì)位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖3.1所示。

當(dāng)μ

且a1=g(sinθ+μcosθ)，a2=g(sinθ-μcosθ)

相對(duì)位移大小Δx=|Δx1-Δx2|

劃痕當(dāng)Δx1≥Δx2時(shí)為Δx1；當(dāng)Δx1<Δx2時(shí)為Δx2

相對(duì)總路程Δs=Δx1+Δx2

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量

Q=μmgcosθ(Δx1+Δx2)

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖4.1所示。表明物體相對(duì)皮帶先沿皮帶向上運(yùn)動(dòng)再沿皮帶向下運(yùn)動(dòng)

圖4.1

【例2】(2017四川成都模考)如圖所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A到B長(zhǎng)度L=16 m，傳送帶以v0=10 m/s的速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).在傳送帶上端A無(wú)初速地放一個(gè)質(zhì)量為m=0.5 kg的黑色煤塊，它與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5。煤塊在傳送帶上經(jīng)過(guò)會(huì)留下黑色劃痕。已知sin37°=0.6，g=10 m/s2。

(1)求煤塊從A到B的時(shí)間；

(2)煤塊從A到B的過(guò)程中傳送帶上形成劃痕的長(zhǎng)度，以及煤塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量。

例2

【解析】(1)開(kāi)始階段由牛頓第二定律得

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

所以a1=gsinθ+μgcosθ=10 m/s2

煤塊加速至與傳送帶速度相等時(shí)需要的時(shí)間

所以煤塊加速到10 m/s時(shí)仍未到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)摩擦力方向發(fā)生改變

第二階段由牛頓第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma2

所以a2=gsinθ-μgcosθ=2 m/s2

設(shè)第二階段煤塊滑動(dòng)到B的時(shí)間為t2，則

解得t2=1 s

在B點(diǎn)的速度為vB=v0+a2t2=12 m/s

從A到B的時(shí)間t=t1+t2=2 s

(2)第一階段煤塊的速度小于傳送帶速度，煤塊相對(duì)皮帶向上移動(dòng)，煤塊的位移為

第二階段煤塊的速度大于皮帶速度，煤塊相對(duì)皮帶向下移動(dòng)，煤塊的位移為

Δx1與Δx2有部分重合，故傳送帶表面留下黑色炭跡的長(zhǎng)度為5 m

煤塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量

Q=μmgcosθ·(Δx1+Δx2)=12 J

【點(diǎn)評(píng)】煤塊的運(yùn)動(dòng)分為前后兩個(gè)階段，第一階段加速到與傳送帶速度相等時(shí)滑動(dòng)摩擦力方向發(fā)生改變，第二階段繼續(xù)加速，而煤塊相對(duì)于傳送帶先向上滑動(dòng)后向下滑動(dòng)，劃過(guò)的痕跡必然會(huì)有部分重合，在傳送帶留下的痕跡取較長(zhǎng)的那部分。

【例3】(2020山西八校聯(lián)考)在大型物流貨場(chǎng)，廣泛的應(yīng)用傳送帶搬運(yùn)貨物。如圖甲所示，傾斜的傳送帶以恒定速率運(yùn)動(dòng)，皮帶始終是繃緊的，將m=1 kg的貨物放在傳送帶上的A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)1.2 s到達(dá)傳送帶的B點(diǎn)。用速度傳感器測(cè)得貨物與傳送帶的速度v隨時(shí)間t變化的圖像如圖乙所示，已知重力加速度g=10 m/s2，由v-t圖像可知

( )

甲

乙

A.A、B兩點(diǎn)的距離為2.4 m

B.貨物與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5

C.貨物從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，傳送帶對(duì)貨物做功大小為12.8 J

D.貨物從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，產(chǎn)生的熱量為4.8 J

【點(diǎn)評(píng)】貨物運(yùn)動(dòng)的過(guò)程分為兩個(gè)階段，貨物總體斜向下運(yùn)動(dòng)，而相對(duì)傳送帶先斜向上運(yùn)動(dòng)后斜向下運(yùn)動(dòng)，貨物受到的摩擦力方向前后相反，故皮帶對(duì)貨物的摩擦力做功性質(zhì)相反，注意在求摩擦力產(chǎn)生的熱量時(shí)是用摩擦力乘貨物相對(duì)傳送帶的總路程。

(2)v0≠0，即物體初速度不為零

①v0與v同向，如圖5所示。

圖5

v0

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖5.1。

圖5.1

當(dāng)μ

加速至下端，且

a1=g(sinθ+μcosθ)，a2=g(sinθ-μcosθ)

相對(duì)位移大小Δx=|Δx1-Δx2|

劃痕當(dāng)Δx1≥Δx2時(shí)為Δx1；當(dāng)Δx1<Δx2時(shí)為Δx2

相對(duì)總路程Δs=Δx1+Δx2

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·(Δx1+Δx2)

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖5.2所示。表明物體相對(duì)皮帶先沿皮帶向上運(yùn)動(dòng)再沿皮帶向下運(yùn)動(dòng)。

圖5.2

v0>v，當(dāng)μ≥tanθ時(shí)，物體先以加速度大小a=g(μcosθ-sinθ)勻減速再與皮帶相對(duì)靜止一起勻速至下端。

a=g(μcosθ-sinθ)

摩擦產(chǎn)生熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖5.3所示。

圖5.3

當(dāng)μ

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖5.4所示。

圖5.4

v0=v，當(dāng)μ≥tanθ時(shí)，物體一直勻速；當(dāng)μ

②v0與v反向，如圖6所示。

圖6

當(dāng)μ

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖6.1所示。

圖6.1

當(dāng)μ=tanθ時(shí)，物體一直勻速

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖6.2所示。

圖6.2

當(dāng)μ>tanθ，v0≤v時(shí)，物體先沿皮帶向下勻減速再反向勻加速至上端，速度大小為v0

相對(duì)位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖6.3所示。

圖6.3

當(dāng)v0>v，物體先沿皮帶向下勻減速再反向勻加速最后勻速至上端，速度大小為v

相對(duì)位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖6.4所示。

圖6.4

【例4】(2020珠海一模)如圖所示，傳送帶AB的傾角為θ，且傳送帶足夠長(zhǎng)。現(xiàn)有質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的物體以v0的初速度從B端開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ>tanθ，傳送帶的速度為v(v0

( )

例4

A.摩擦力對(duì)物體做功的最大瞬時(shí)功率一定是μmgvcosθ

B.摩擦力對(duì)物體做功的最大瞬時(shí)功率一定是μmgv0cosθ

C.摩擦力對(duì)物體可能先做負(fù)功后做正功

D.摩擦力對(duì)物體做的總功可能為零

【解析】物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ>tanθ，則有μmgcosθ>mgsinθ。傳送帶的速度為v(v0

【點(diǎn)評(píng)】由于傳送帶的速度方向未知，需分兩種情況討論，因μ>tanθ，若v0與v同向時(shí)，則物體速度與傳送帶速度相同時(shí)(保持相對(duì)靜止時(shí))速度最大，若v0與v反向時(shí)，物體往返運(yùn)動(dòng)的過(guò)程是可逆的，滑動(dòng)摩擦力方向始終沿傳送帶向下，加速度不變。