求解勻強電場的策略研究
——以兩種條件下的勻強電場的求解方法為例

貴州

本文是對兩種條件下的勻強電場求解方法進行分析，討論在已知平面內電勢的高低和位置關系條件下對勻強電場場強的求解、已知電場力做功或電勢能的變化情況以及位移關系條件下對勻強電場的求解，分別對這兩類問題進行深入的分析，提出解決此類問題的一般公式，提升學生的解題效率。

在歷年的高考或者模擬考試中，對電場的基本性質的考查都會涉及電場強度的求解，而勻強電場的考查也是高考的重點，同時也是高考的難點。無論在模擬考試還是高考中，該知識點的得分率都比較低，對于學生來說是一大障礙，究其原因主要有四個方面：

1.電場強度的概念理解不透徹

2.數學基礎功底不夠

3.概念之間的關系分不清

計算勻強電場場強，主要從電場力的性質與能的性質兩個角度出發，建立力的性質與能的性質之間的物理量關系，由于大部分學生分不清兩種性質之間的物理量橋梁關系，或者公式應用混淆，沒有明確物理量的含義，導致物理公式張冠李戴。

4.自我解題思路構建模糊

解決問題主要是通過物理概念的形成與規律的建立，形成自己的方法和思路，構建自己的解法思路系統。而在處理平面的勻強電場的有關問題時，很多學生沒有通過學習和做題，形成自我的解題系統，對電場類型題應用怎樣的物理公式和分析思路，經常依賴于參考答案，對參考答案的分析理解就不去思考，認為自己也會了，當遇到不一樣的類型問題時，不會把知識和方法進行延伸，久而久之，對物理產生畏懼心理，使物理成績無法得到提高。

分析近幾年的全國卷及相應的省、市模擬試題發現，對于電場強度的考查主要是考查點電荷模型的電場強度的定性描述和勻強電場的定量計算。而勻強電場的考查通常把電場力的性質和能的性質，特別是勻強電場場強的計算，往往涉及幾何等相關數學知識的綜合應用。通過對一些高考試題和模擬試題的研究，把求解勻強電場場強的方法主要分為兩類：

第一類：已知電場所在的平面內的電勢高低，此類型條件下的電場強度求解的方法如思路框架一：

思路框架一

第二類：已知電場力做功或者電勢能的變化情況及位移，此類型條件下的勻強電場強度的求解方法如思路框架二：

思路框架二

基于以上的兩種解題思路框架，下面以近幾年全國卷的相關試題及一些省份的模擬試題為例，分別對這兩種條件下的勻強電場的求解方法進行分析和討論，闡述這兩類問題的解題策略。

一、已知電勢高低及坐標位置

【例1】(2017·全國卷Ⅲ)一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內a、b、c三點的位置如圖1所示，三點的電勢分別為10 V、17 V、26 V。下列說法正確的是

( )

圖1

A.電場強度的大小為2.5 V/cm

B.坐標原點處的電勢為1 V

C.電子在a點的電勢能比在b點的低7 eV

D.電子從b點運動到c點，電場力做功為9 eV

【方法策略】本題題述文字簡潔，題述給出的是所在平面內的某些點的電勢高低的具體數值，則主要是考查學生利用電場的力的性質與能的性質之間的關系進行求解電場強度等相關物理量，利用電場強度與電勢差的關系進行求解，但是只告訴三個點的電勢大小，則暗示學生應用勻強電場的特點關系找到相應的等勢面，再結合幾何關系計算出等勢面之間的距離，即可找到解決辦法。

【解析】這里主要介紹電場強度的求解方法，根據思路框架一，

第一步：構建平面內的平行四邊形Oacb，根據勻強電場電勢的特點有φa-φO=φc-φb，解得φO=1 V。

第二步：根據在勻強電場中任意方向的電勢降落是均勻的，但bO兩點的電勢差為UbO=φb-φO=16 V，dbO=8 cm，因此1 cm的長度電勢降落Δφ=2 V，可得坐標(4.5 cm,0)位置e點的電勢為10 V，而坐標(0,6 cm)位置的電勢也是10 V，則這兩點在同一個等勢面上。

第三步：找等勢面，根據上面兩步的分析建立等勢面如圖2所示，則a、O兩點所在的等勢面的電勢差為UaO=9 V。

( )

圖3

A.2 V/m B.3.5 V/m

【方法策略】本題屬于已知電勢高低及位置距離關系求電場強度的問題，因此求解方法可以按照“思路框架一”逐一進行，則不會迷路，而且方向很明確。讀者可以按照以上的思路進行求解，本練習題的參考答案為A。

二、已知電場力做功或電勢能的變化及位置關系

【例2】如圖4所示，O、A、B是勻強電場中的三個點，電場平行于三點所在的平面。OA與OB的夾角為60°，OA=3l，OB=l。現在有電荷量均為q(q>0)的甲、乙兩粒子以相同的初動能Ek從O點先后進入勻強電場，此后甲經過A點時的動能為4Ek，乙經過B點時的動能為2Ek，在此過程中，粒子只受到電場力的作用，則該勻強電場場強大小為？

圖4

【方法策略】本題也是考查電場的基本性質，考查電場力做功與電勢能變化的關系，已經知道電荷動能的改變量，則可以求出電場力做功的多少，又根據電場力做功與電勢能的變化關系W=-ΔEp，同時可以求出相應位置的電勢高低。所以本題可以應用“思路框架二”解決。

【解析】利用思路框架二：

方法一：根據思路1，由于帶電粒子為正電荷，甲粒子從O點到A點動能增加，所以電場力做正功，根據動能定理可以求出電場力做功的多少。

第一步：據動能定理，WOA=ΔEk，則WOA=3Ek，則WOA>0；同理，WOB=ΔEk，WOB=Ek，所以WOB>0，則可以知道電場強度具有豎直向上的分量。

【點評】從本題的解題思路和方法來看，“思路框架二”中的兩條支路都可以分別獨立地求解此條件下的勻強電場的大小，由于電場力做功與電勢能的變化數值上是相等的，所以只要知道電場力做功，就知道電勢能的變化量，反之亦然。兩條解題思路可以獨立使用，也可以相互結合，達到互補的作用。此類型的解題思路一般是上面所列思路框架二，此方法對于思維模糊的學生有很好的幫助。在此條件下對于勻強電場的求解，要正確認識電場力做功等于電勢能的變化的相反數，即W電=-ΔEp，已知電場力做功就相當于知道電勢能的變化量，再結合幾何關系找等勢面即可解決相應的問題。

三、勻強電場大小求解的拓展研究

圖6

由兩分量E1、E2與E的關系，他們可以構成如圖7所示的矢量三角形，根據正弦定理

圖7

所以sinα=cosθsinβ，由于sinβ=sin(α+θ)，所以有

sinα=cosθsin(α+θ)

sinα=cosθ(sinαcosθ+sinθcosα)

sinα(1-cos2θ)=cosθsinθcosα

所以有cosθcosα-sinαsinθ=0，因此有cos(α+θ)=0，由于α和θ都是三角形的內角，因此α+θ=90°，由此可得β=90°，說明在勻強電場中，電場強度E的兩個分量是相互垂直的。

從以上的分析和證明來看，在平面勻強電場中的某一電場強度E的兩個分量必須是相互垂直的，這樣它們才能構成矢量三角形。原因是在空間中的某個方向的場強E是確定的，并不像力一樣，一個力可以分解成無數個分力，只要它們能夠構成平行四邊形即可。因此對于電場的分量不能套用力的正交分解方法進行求解。

圖8

如果已知兩分量如圖9所示，根據以上的分析，分別作E1和E2的垂線，可知電場E的兩分量一定垂直，如圖10所示，所以兩條垂線的交點與O點的連線方向即為電場強度的方向，假設垂直于E1的直線與E2相交于O′，假設O′到E1端點的距離為x，O′到E2端點的距離為y，根據幾何關系有

圖9

圖10

根據相似三角形對應邊成比例，所以有

如【例2】

【評價】對于求解勻強電場的一般式，如果學生在復習時，能理解和掌握該公式的應用，在考試中會占據很大的優勢。應用該公式主要是找準兩分量的夾角關系，同時要注意用幾何關系尋找合場強方向，該公式無論在已知某點的電勢的高低或者是已知電場力做功，都可以先把每個分量的電場強度計算出來，根據公式可以快捷地計算出結果，使解決問題變得方便。